Задачи Решения

26
ÊÂÀÍT2001/¹2
Ïîìåëîâ Àðòåì – Êèðîâ, ÔÌË, 7êë.,
Ïîïëàâñêèé Ìèõàèë – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 8 êë.,
Ðóáöîâ Àíäðåé – Èâàíîâî, ëèöåé 33, 8 êë.,
Ñâåðäëèê Âàëåðèé – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 8 êë.,
Ñèäîðîâ Àëåêñåé – Êîñòðîìà, øêîëà 32, 8 êë.,
Ñîòíåçîâ Ðîìàí – ×åáîêñàðû, øêîëà 27, 8 êë.,
×àëêèíà Íàòàëüÿ – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», 7 êë.,
Øàïîâàëîâà Âàëåíòèíà – Ñòîêãîëüì, 8 êë.,
Øóëÿòüåâ Àíäðåé – ×åáîêñàðû, øêîëà 34, 8 êë.,
Ùóêèí Äìèòðèé – ×åáîêñàðû, øêîëà 27, 8 êë.
Ïðåäëàãàåì âàøåìó âíèìàíèþ íåñêîëüêî çàäà÷ òóðíèðà è èõ
ðåøåíèÿ, à òàêæå óñëîâèÿ çàäà÷ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.
Çàäà÷è
1. Íà íåêîòîðîì ïîëå øàõìàòíîé äîñêè ñòîèò êîðîëü.
Äâîå ïî î÷åðåäè ïåðåäâèãàþò åãî ïî äîñêå. Çàïðåùåíî
âîçâðàùàòü êîðîëÿ íà ïîëå, ãäå îí òîëüêî ÷òî áûë.
Âûèãðûâàåò òîò èãðîê, ïîñëå õîäà êîòîðîãî êîðîëü
îêàæåòñÿ íà ïîëå, ãäå îí êîãäà-òî óæå ïîáûâàë. Êòî èç
èãðîêîâ ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ïîáåäó ïðè ëþáîé èãðå
ïðîòèâíèêà?
È.Àêóëè÷
2. Êîëÿ è Ïåòÿ èãðàþò â ìîðñêîé áîé ïî èçìåíåííûì
ïðàâèëàì. Ó êàæäîãî èç íèõ èìååòñÿ êâàäðàòíîå êëåò÷àòîå ïîëå ðàçìåðîì 10 × 10. Ïåòÿ ðàññòàâëÿåò íà ñâîåì ïîëå
êîðàáëè ðàçìåðîì 1 × 3, à Êîëÿ íà ñâîåì – êîðàáëè
ðàçìåðîì 1 × 4. Êîðàáëè íå äîëæíû ñîïðèêàñàòüñÿ äàæå
âåðøèíàìè. Ïîáåäèòåëåì ñ÷èòàåòñÿ òîò, êòî ðàññòàâèë
áîëüøå êîðàáëåé. Ìîæåò ëè êòî-òî èç èãðîêîâ ãàðàíòèðîâàòü ñåáå ïîáåäó?
Â.Êàñêåâè÷
3. Îêðóæíîñòü, âïèñàííàÿ â ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, êàñàåòñÿ åãî îñíîâàíèÿ â òî÷êå D, à áîêîâûõ
ñòîðîí – â òî÷êàõ E è F. Ïðÿìàÿ, ïðîâåäåííàÿ ÷åðåç òî÷êó
E ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé DF, ïîâòîðíî ïåðåñåêàåò âïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êå P. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà P
ïðèíàäëåæèò ñðåäíåé ëèíèè òðåóãîëüíèêà.
Ä.Êàëèíèí
4. Îòðåçêè AC è BC ðàâíû è ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéäèòå ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê M, äëÿ êîòîðûõ ∠ AMC =
= ∠ CMB.
À.Åãîðîâ
Ðåøåíèÿ
1. Íà÷èíàþùèé ìîæåò ïîáåäèòü ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì
ïîëîæåíèè êîðîëÿ. Ñóòü ñòðàòåãèè â ñëåäóþùåì. Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî âåðòèêàëüíûõ õîäîâ, êîòîðûìè êîðîëü ìîæåò ñ
èñõîäíîãî ïîëÿ äîéòè äî íèæíåé (ïåðâîé) ãîðèçîíòàëè, à
òàêæå êîëè÷åñòâî âåðòèêàëüíûõ õîäîâ, êîòîðûìè êîðîëü
ìîæåò äîéòè äî âåðõíåé (âîñüìîé) ãîðèçîíòàëè. Ïîñêîëüêó
ñóììà ýòèõ ÷èñåë ðàâíà 8 – 1 = 7, òî îäíî èç íèõ íå÷åòíî.
Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, íàäî ñäåëàòü íå÷åòíîå ÷èñëî õîäîâ, ÷òîáû äîéòè äî íèæíåé ãîðèçîíòàëè (ðèñ.2). Òîãäà ïåðâûé èãðîê ìîæåò ïîéòè
ïðÿìî âíèç; íîìåð ãîðèçîíòàëè óìåíüøèòñÿ íà 1 è èç ÷åòíîãî ñòàíåò íå÷åòíûì. ×òî
äåëàòü âòîðîìó? Åñëè îí ñäåëàåò ãîðèçîíòàëüíûé õîä èëè
âåðíåòñÿ äèàãîíàëüíûì õîäîì
íà èñõîäíóþ ãîðèçîíòàëü (ò.å.
ïîéäåò íà îäíó èç çàêðàøåíÐèñ. 2
íûõ êëåòîê ðèñóíêà 2), òî
ïåðâûé èãðîê ñðàçó ñìîæåò âûèãðàòü. Ïîýòîìó âòîðîé èãðîê
áóäåò âûíóæäåí ñäåëàòü âåðòèêàëüíûé èëè äèàãîíàëüíûé
õîä, ñïóñòèâøèñü åùå íèæå.
 îòâåò ïåðâûé èãðîê îïÿòü ìîæåò ïîéòè âåðòèêàëüíî
âíèç. Âòîðîìó, ÷òîáû íå ïðîèãðàòü, îïÿòü ïðèäåòñÿ îïóñòèòü
êîðîëÿ åùå íèæå, è òàê áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äî òîãî, êàê
ïîñëå î÷åðåäíîãî õîäà ïåðâîãî èãðîêà êîðîëü ïîïàäåò íà
íèæíþþ ãîðèçîíòàëü. Òîãäà âòîðîìó èãðîêó ïðèäåòñÿ ñäåëàòü ãîðèçîíòàëüíûé õîä èëè ïîäíÿòü êîðîëÿ ïî äèàãîíàëè
ââåðõ, ïîñëå ÷åãî ïåðâûé èãðîê ïîáåæäàåò, ñòàâÿ êîðîëÿ íà
ðàíåå ïðîéäåííîå ïîëå.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû ðàçìåðû äîñêè áûëè èíûìè (íàïðèìåð, 9 × 9), òî íå êàæäîå èñõîäíîå ïîëîæåíèå êîðîëÿ ïðèíîñèëî áû âûèãðûø òîìó, êòî äåëàåò ïåðâûé õîä: 16 ïîëåé
(ïîäóìàéòå, êàêèå èìåííî) áûëè áû âûèãðûøíûìè äëÿ
âòîðîãî èãðîêà.
2. Êàæåòñÿ, ÷òî Ïåòÿ äîëæåí ïîáåäèòü – âåäü åãî êîðàáëè
ìåíüøå Êîëèíûõ. À íà ñàìîì äåëå ïðè ïðàâèëüíîé èãðå
áóäåò íè÷üÿ. Äåëî â òîì, ÷òî Êîëÿ ìîæåò ðàññòàâèòü 12
êîðàáëåé (ðèñ.3), à Ïåòÿ íå ìîæåò ðàññòàâèòü áîëåå 12
êîðàáëåé.
×òîáû äîêàçàòü ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå, ðàññìîòðèì 12
êâàäðàòîâ ðàçìåðîì 2 × 2, çàêðàøåííûõ íà ðèñóíêå 4. Î÷åâèäíî, ëþáîé òðåõêëåòî÷íûé êîðàáëü ñîäåðæèò õîòÿ áû
îäíó çàêðàøåííóþ êëåòêó, ïðè÷åì íèêàêèå äâà êîðàáëÿ íå
5. Ïóñòü n – íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî n!
ïðåäñòàâèìî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, ðàçëè÷àþùèõñÿ íå áîëåå ÷åì âäâîå.
Ñ.Êîíÿãèí
Ðèñ. 1
6. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ëàäåé ìîæíî ðàññòàâèòü
íà øàõìàòíîé äîñêå òàê,
÷òîáû êàæäàÿ áèëà ÷åòíîå
÷èñëî äðóãèõ? (Îäíà ëàäüÿ
áüåò äðóãóþ, åñëè îíè ñòîÿò
íà îäíîé âåðòèêàëè èëè ãîðèçîíòàëè è ìåæäó íèìè íåò
äðóãèõ ëàäåé. Íàïðèìåð,
ðàññòàíîâêà ëàäåé ðèñóíêà
1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
çàäà÷è.)
À.Øàïîâàëîâ
Ðèñ. 3
Ðèñ. 4
ìîãóò ñîäåðæàòü çàêðàøåííûå êëåòêè èç îäíîãî è òîãî æå
êâàäðàòà 2 × 2 (èíà÷å îíè áû ñîïðèêîñíóëèñü). Çíà÷èò,
êîëè÷åñòâî êîðàáëåé íå ïðåâîñõîäèò êîëè÷åñòâà çàêðàøåííûõ êâàäðàòîâ, ò.å. íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà 12. Ìîðñêîé
áîé, êàê ýòî íè ïàðàäîêñàëüíî, çàêîí÷èòñÿ âíè÷üþ.