повышение эффективности диагностирования штанговых

Ãóñàðîâ À.À., Êóòóçîâ Â.È., Øåâåëåíêî Â.Ä.
Îðåíáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
ÏÎÂÛØÅÍÈÅ ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÑÒÈ ÄÈÀÃÍÎÑÒÈÐÎÂÀÍÈß
ØÒÀÍÃÎÂÛÕ ÍÅÔÒßÍÛÕ ÓÑÒÀÍÎÂÎÊ
Íà îñíîâå ðàññìîòðåíèÿ êîëîííû øòàíã íàñîñíûõ óñòàíîâîê â êà÷åñòâå ìåõàíè÷åñêîãî êàíàëà
ñâÿçè, ïåðåäàþùåãî èíôîðìàöèþ â âèäå âîëí äåôîðìàöèè îò ïëóíæåðà íàñîñà äî òî÷êè ïîäâåñà øòàíã,
ñïåêòðàëüíûì ìåòîäîì ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ óñèëèÿ íà ïëóíæåðû
íàñîñà ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå ñèãíàëû óñèëèÿ è õîäà, èçìåðåííûå íà ïîâåðõíîñòè. Îòêëîíåíèÿ ôîðìû ïëóíæåðíîé äèíàìîãðàììû îò «ýòàëîííîé», îáóñëîâëåííîé êëàññàìè ñîñòîÿíèÿ øòàíãîâîé íåôòÿíîé óñòàíîâêè «ØÍÓ», îïðåäåëÿþòñÿ èçìåðåíèåì ãëóáèíû àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè ãàðìîíèê, îáëàäàþùèõ ìàêñèìàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ ê èçìåíåíèÿì äèàãíîñòèðóåìîãî êëàññà ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ.
 Ðîññèè áîëåå 70% âñåãî ôîíäà íåôòÿíûõ
ñêâàæèí ýêñïëóàòèðóþòñÿ øòàíãîâûìè íåôòÿíûìè óñòàíîâêàìè (ØÍÓ), â êîòîðûõ ýëåêòðîäâèãàòåëü ÷åðåç ðåäóêòîð è êëèíîðåìåííóþ ïåðåäà÷ó ïðèâîäèò â äâèæåíèå êðèâîøèïíî-øàòóííûé ìåõàíèçì, ñîåäèíåííûé ñ áàëàíñèðîì,
óñòàíîâëåííûì íà íåïîäâèæíîé ñòîéêå è ñîîáùàþùèì âîçâðàòíî-ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå
êîëîííå øòàíã, îïóùåííûõ â ñêâàæèíó. Íèæíèé êîíåö êîëîííû øòàíã ñîåäèíåí ñ ïîðøíåì
äâóõêëàïàííîãî íåôòÿíîãî íàñîñà.
Òÿæåëûå óñëîâèÿ ýêñïëóàòàöèè øòàíãîâûõ
íàñîñîâ (âûñîêèå òåìïåðàòóðà è äàâëåíèå, íàëè÷èå ïåñêà, ïàðàôèíà èëè ãàçà â îòêà÷èâàåìîé
æèäêîñòè), êàê ïðàâèëî, âûçûâàþò íåèñïðàâíîñòè â ðàçëè÷íûõ óçëàõ ØÍÓ, ïðèâîäÿùèõ ê
àâàðèÿì êàê èñòî÷íèêàì ýêîëîãè÷åñêîãî çàãðÿçíåíèÿ.
 ýòèõ óñëîâèÿõ îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ïóòåé èíòåíñèôèêàöèè äîáû÷è íåôòè ÿâëÿåòñÿ
òåõíè÷åñêîå äèàãíîñòèðîâàíèå ØÍÓ. Îíî ïîçâîëÿåò: óìåíüøèòü ïðîñòîé ñêâàæèíû äî ðåìîíòà è âðåìÿ åå ðàáîòû ñ íåèñïðàâíûì îáîðóäîâàíèåì, ïðîãíîçèðîâàòü ñîñòîÿíèå ØÍÓ ïî
òåõíè÷åñêîìó ñîñòîÿíèþ â àíàëèçèðóåìûé è
ïðåäøåñòâóþùèé ìîìåíòû âðåìåíè, ïðåäñêàçûâàòü íåèñïðàâíîñòè â ðàçëè÷íûé ÷àñòÿõ
ØÍÓ.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ àâòîìàòè÷åñêîãî êîíòðîëÿ
ØÍÓ ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì è íåóäîáíûì äëÿ äèàãíîñòèêè îáúåêòîì â ñèëó íåïðåðûâíîãî õàðàêòåðà ðàáîòû è íåîáõîäèìîñòè äèàãíîñòèðîâàíèÿ ØÍÓ â ðàáî÷åì ðåæèìå, ïðîñòðàíñòâåííîé ðàññðåäîòî÷åííîñòè îáúåêòà, çíà÷èòåëüíîãî èñêàæåíèÿ ïîñòóïàþùåé íà ïîâåðõíîñòü
èíôîðìàöèè ïðè ïðîõîæäåíèè ïî êîëîííå
øòàíã.
 ñâÿçè ñ ýòèì â íàñòîÿùåå âðåìÿ îñîáóþ
àêòóàëüíîñòü ïðèîáðåëè âîïðîñû ñîçäàíèÿ ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ è ñðåäñòâ òåõíè÷åñêîãî äè-
àãíîñòèðîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì «ýòàëîííûõ»
ìîäåëåé òåõíîëîãè÷åñêîãî ïðîöåññà.
Èíôîðìàöèþ î òåõíè÷åñêîì ñîñòîÿíèè
ïîäçåìíîé ÷àñòè ØÍÓ ïîëó÷àþò â âèäå ñèãíàëîâ óñèëèÿ P(t) è õîäà S(t) ñ âûõîäîâ èíäóêòèâíûõ äàò÷èêîâ, óñòàíàâëèâàåìûõ íà áàëàíñèðå
ñòàíêà-êà÷àëêè (ÑÊ). Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè,
÷òî ôîðìà çàìêíóòîé êðèâîé P = f ( S ) , ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé çàâèñèìîñòü óñèëèÿ îò ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè ïîäâåñà øòàíã (ÒÏØ), òàê
íàçûâàåìîé äèíàìîãðàììû, ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîìó ñîñòîÿíèþ ØÍÓ. Îäíàêî èç-çà
íàëè÷èÿ êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà óïðóãîé ñèñòåìû «øòàíãè – æèäêîñòü - òðóáû», èíòåíñèâíîñòü êîòîðîãî ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ãëóáèíû
S ñïóñêà íàñîñà è ÷èñëà êà÷àíèé n áàëàíñèðà,
ôîðìà äèíàìîãðàììû ìîæåò èñêàæàòüñÿ äî
ïðàêòè÷åñêîé íåâîçìîæíîñòè åå âèçóàëüíîé
èíòåðïðåòàöèè.
 ñâÿçè ñ ýòèì îñîáîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàþò àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðàñ÷åòà äèíàìîãðàìì íà ïëóíæåðå íàñîñà. Ïëóíæåðíûå äèíàìîãðàììû íå ïîäâåðæåíû âëèÿíèþ êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà óïðóãîé ñèñòåìû «øòàíãè
– æèäêîñòü – òðóáû» è ïîçâîëÿþò äèàãíîñòèðîâàòü ØÍÓ, ðàáîòàþùèå â îñîáî ñëîæíûõ
óñëîâèÿõ.
Èçâåñòíû äâà àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäà ðàñ÷åòà ïëóíæåðíûõ äèíàìîãðàìì ïî äàííûì íàçåìíûõ èçìåðåíèé ñèãíàëîâ óñèëèÿ è õîäà: ñïåêòðàëüíûé [1] è ìåòîä Äàëàìáåðà-Ðèìàíà [2]. Â
îáîèõ ìåòîäàõ êîëîííà øòàíã ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ìåõàíè÷åñêèé êàíàë ñâÿçè, ïî êîòîðîìó
ïåðåäàåòñÿ èíôîðìàöèÿ â âèäå âîëí äåôîðìàöèè îò ïëóíæåðà íàñîñà äî òî÷êè ïîäâåñà
øòàíã. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòîò êàíàë îïèñûâàåòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì
2
∂U( x; t )
∂U( x ; t )
2 ∂ U( x ; t )
2
h
C
+
−
,
∂t
∂t 2
∂x 2
ВЕСТНИК ОГУ №2/ФЕВРАЛЬ`2006 Том 2. Естественные и технические науки
(1)
103
Òåõíè÷åñêèå íàóêè
ãäå U( x; t ) – ñìåùåíèÿ ñå÷åíèÿ øòàíã ïî ãëóáèíå Õ îò ñâîåãî èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ â òå÷åíèå
âðåìåíè t, M; h – êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòíîãî
òðåíèÿ, 1/C; C – ñêîðîñòü çâóêà â ìàòåðèàëå
øòàíã, M/C.
Ñîãëàñíî ñïåêòðàëüíîìó ìåòîäó, îáåñïå÷èâàþùåìó ìèíèìóì ýíåðãèè îøèáêè àïïðîêñèìàöèè, ôîðìó ïëóíæåðíîé äèíàìîãðàììû
Pïë = f ( S ) , ãäå Pïë – óñèëèå íà ïëóíæåðå íàñîñà, S – åãî õîä, îïðåäåëÿþò ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðåíèÿ äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé ýòèõ âåëè÷èí ñ
ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ìåòîä õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèìè ýòàïàìè. Èçìåðÿþòñÿ äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ ñèãíàëîâ óñèëèÿ è
õîäà çà öèêë êà÷àíèÿ ÑÊ ñ øàãîì äèñêðåòèçàöèè ∆t è ôîðìèðóþòñÿ äâà ìàññèâà îáúåìîì
N áàéò êàæäûé.
Ìåòîäîì äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (ÄÏÔ) îïðåäåëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå ýòèõ ñèãíàëîâ äëÿ íàçåìíîé äèíàìîãðàììû:
N
2
a p( k ) =
N
 2π

∑ P(i )cos  N (i − 1)k ;


i =1
2
N
∑ P(i ) sin  N (i − 1)k ;
b p( k ) =
a s( k ) =
bs( k ) =
2
N
2
N
N
 2π

i =1


N
 2π

i =1


N
 2π

i =1


∑ S(i )cos  N (i − 1)k ;
∑ S(i ) sin  N (i − 1)k  ,
ãäå i – íîìåð äèñêðåòíîãî çíà÷åíèÿ óñèëèÿ
(õîäà); k – íîìåð ãàðìîíèêè.
Îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû, õàðàêòåðèçóþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå óïðóãèõ êîëåáàíèé ïî
êîëîííå øòàíã:
kω





2
 2h   .
−1 + 1 +   
 cω  
 2h 
1+ 1+  
÷k =
c 2
 cω 
ξk =
kω
c 2
2
Ðåøåíèåì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (1) ñïåêòðàëüíûì ìåòîäîì, íàéäåííûì â [1], îïðåäåëÿåòñÿ çàêîí èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû è ôàçû êàæäîé ãàðìîíèêè ñèãíàëà óñèëèÿ ïðè ïðîõîæäåíèè âîëí äåôîðìàöèè ñ ïîâåðõíîñòè äî ïëóíæåðà íàñîñà. Ñîãëàñíî ýòîìó çàêîíó, ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå óñèëèÿ íà ïëóíæåð íàñîñà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå ãàðìîíèêè ñèãíàëîâ óñèëèÿ è õîäà, èçìåðåííûõ íà
ïîâåðõíîñòè:
104
a px ( k ) = {b p( k )Sh( ξ k L ) +


+ Ef [ bs ( k )ξ k − a s ( k )rk ]Ch( ξ k L )} sin( rk L ) + 

+ { a p( k )Ch( ξ k L ) +

+ Ef [ a s ( k )ξ k − bs ( k )rk ] × Sh( ξ k L )} cos( rk L )

b px ( k ) = {b p( k )Ch( ξ k L ) +

+ Ef [ bs ( k )ξ k − a s ( k )rk ]Sh( ξ k L )} sin( rk L ) − 

− { a p( k )Sh( ξ k L ) + Ef [ a s ( k )ξ k − bs ( k )rk ] × 

× Ch( ξ k L )} sin( rk L )

ãäå Å – ìîäóëü óïðóãîñòè ìàòåðèàëà øòàíã,
H/M2; f – ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ øòàíã,
Ì2.
Ìåòîäîì îáðàòíîãî ÄÏÔ âîññòàíàâëèâàþòñÿ çíà÷åíèÿ Pïë( i ) óñèëåíèÿ íà ïëóíæåðå íàñîñà â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè:
Pïë ( i ) =
a p( 0)
2

 2π
 
a px ( k )cos  ( i − 1)k  + 

N
 
+ ∑
,
 2π

k =1 
+ b px ( k ) sin  ( i − 1)k  

 
N
M
ãäå Ì – ÷èñëî ãàðìîíèê.
Ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèåé ïî ìàññèâàì S(i )
è Pïë( i ) îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòü Pïë = f ( S )
óñèëèÿ íà ïëóíæåðå îò õîäà ÒÏØ.
Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ôîðìà ïëóíæåðíîé äèíàìîãðàììû ïðàêòè÷åñêè íå èñêàæåíà âëèÿíèåì êîëåáàòåëüíîãî
ïðîöåññà â ØÍÓ (ðèñ.1)
Îòêëîíåíèÿ ôîðìû ïëóíæåðíîé äèíàìîãðàììû îò «ýòàëîííîé», îáóñëîâëåííûå êëàññàìè ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ (óòå÷êà â êëàïàíå; íåïðàâèëüíàÿ ïîñàäêà ïëóíæåðà; îòêà÷êà ñ ãàçîì)
èìåþò â êà÷åñòâå ïåðâîïðè÷èíû èçìåíåíèÿ
ôîðìû çàâèñèìîñòè Pïë(i ) óñèëèÿ íà ïëóíæåðå
íàñîñà â äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè.
Òàê êàê êàæäîìó êëàññó ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ
ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííàÿ ôîðìà çàâèñèìîñòè Pïë( i ) , òî èçìåíåíèÿ ýòîé ôîðìû îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùåé «ýòàëîííîìó» ñîñòîÿíèþ
ñîïðîâîæäàþòñÿ íå òîëüêî èçìåíåíèÿìè àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé ãàðìîíèê ñ âïîëíå îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè èõ íîìåðîâ, íî è íàëè÷èåì
ãàðìîíèê, ïîäâåðãàþùèõñÿ ýêñòðåìàëüíûì
(ìàêñèìàëüíûì èëè ìèíèìàëüíûì) îòíîñèòåëüíûì èçìåíåíèÿì àìïëèòóä, ñîçäàâàÿ äèíàìè÷åñêóþ îñíîâó ðàçâèòèÿ ñïåêòðàëüíîãî ìåòîäà äèàãíîñòèðîâàíèÿ êëàññà ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ
â äîïîëíåíèå ê ìåòîäèêå, áàçèðóþùåéñÿ íà
ôèêñàöèè àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé, îáëàäàþùèõ
ВЕСТНИК ОГУ №2/ФЕВРАЛЬ`2006 Том 2. Естественные и технические науки
Ãóñàðîâ À.À. è äð.
Ïîâûøåíèå ýôôåêòèâíîñòè äèàãíîñòèðîâàíèÿ øòàíãîâûõ íåôòÿíûõ óñòàíîâîê
íàèáîëüøèìè ýíåðãèÿìè ãàðìîíèê çàâèñèìîñòè Pïë( i ) .
Äðóãèì îáñòîÿòåëüñòâîì, ó÷åò êîòîðîãî íåîáõîäèì äëÿ îáîñíîâàíèÿ
ìåòîäà äèàãíîñòèðîâàíèÿ êëàññà ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â çîíå ìàêñèìàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòè àìïëèòóäû «k»-îé ãàðìîíèêè ê èçìåíåíèÿì
êëàññà ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ, ãàðìîíèêè ñ
íîìåðàìè «k±1» îáðàçóþò áèåíèÿ êîëåáàíèé, íåñóùàÿ ÷àñòîòà êîòîðûõ
fÁ =
( k + 1) f êp + ( k − 1) f êp
2
= kf êp ,
à ÷àñòîòà îãèáàþùåé áèåíèé êîëåáàíèé
f îã =
( k + 1) f êp − ( k − 1) f êp
2
P(H)
10500
9000
7500
6000
4500
3000
1500
0
-1500
0,11
0,22
0,33
0,44
0,55
0,66
0,77
0,88
S(M)
0,99
-3000
= f êp .
Ìîäåëè, îòðàæàþùèå ïðîöåññ ïåðåõîäà îò
äèàãíîñòèðîâàíèÿ «ýòàëîííîãî» ñîñòîÿíèÿ
(íîðìàëüíàÿ ðàáîòà) ê äèàãíîñòèðîâàíèþ îäíîãî èç äðóãèõ êëàññîâ (ñ îòêëîíåíèåì îò íîðìàëüíîé ðàáîòû) ó÷èòûâàþò çíà÷èìîñòü äèàãíîñòèðóåìûõ ñîñòîÿíèé ØÍÓ ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ñóïåðïîçèöèè «k»-îé ãàðìîíèêè, îáëàäàþùåé ìàêñèìàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ ïðè
ïåðåõîäå îò «ýòàëîííîãî» ðàáî÷åãî ðåæèìà ê
îäíîìó èç õàðàêòåðèçóþùèõ îòêëîíåíèå îò
«ýòàëîíà» è ãàðìîíèê ñ íîìåðàìè «k±1»:
cos( kω êp t + ϕ êp ) +

,
U Σ (t ) = U mk 
+ 1 + ξ 2 + 2ξ cos ω êp t cos( kω êp + ϕ êp )


ãäå ξ =
0
U m( k + 1)
- êîýôôèöèåíò, ó÷èòûâàþùèé
U m( k − 1)
ñòåïåíü íåðàâåíñòâà àìïëèòóä ãàðìîíèê.
Ìîäåëè íà îñíîâå ìîäóëèðîâàííûõ êîëåáàíèé, ïàðàìåòðû êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ êëàññàìè ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ, íàçâàíû ìîäóëÿöèîííûìè, ïîçâîëÿþùèìè ïîëó÷èòü êîëè÷åñòâåííûå
îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ îòíîñèòåëüíîé ãëóáèíû àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè.
Âûäåëåíèå îáëàäàþùèõ ìàêñèìàëüíîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ ê èçìåíåíèÿì äèàãíîñòèðóåìîãî ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ «k»-ûõ ãàðìîíèê îäíîâðå-
Ðèñóíîê 1.
ìåííî ñ ãàðìîíèêàìè íîìåðîâ «k+1» è «k-1»
äîëæíî ñîïðîâîæäàòüñÿ ñîõðàíåíèåì àìïëèòóäíûõ è ôàçîâûõ ñîîòíîøåíèé, õàðàêòåðíûõ
äëÿ íèõ â ñèãíàëå Pïë( i ) , ÷òî ìîæåò áûòü îáåñïå÷åíî ïîëîñîâûìè ôèëüòðàìè, îñíîâàííûìè
íà èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëèçèðóþùèõ ïîëèíîìîâ [3].
Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ýôôåêòà ïîëîñîâîé ôèëüòðàöèè â äèàïàçîíå ÷àñòîò f êp( k + 1) ÷ f êp( k − 1)
íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü
U âûõïô(t ) = U âûõâ÷ (t ) − [U âõ (t ) − U âûõí÷ ] =
[
]
= U âûõê +1 (t ) − Pi (t ) − U âûõê −1 (t )
,
ò. å. ñôîðìèðîâàòü áàçèñíóþ ôóíêöèþ
DÏÔ ( Õ ) = Dk +1( X ) − Dk −1( X ) =
1
1


sin ( k + 1) +  X − sin ( k − 1) +  X
2
2


=
2 sin( X / 2 )
sin{[( k + 1)X − ( k − 1)X ] / 2}
=
.
sin( X / 2 )
.cos{[( k + 1)X − ( k − 1)X + X ] / 2},
êîòîðàÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íàäåëÿåò
U âûõïô(t ) ñâîéñòâàìè îñöèëëèðóþùåé ôóíêöèè
ñ ãëóáèíîé àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè, îïðåäåëÿåìîé êëàññîì ñîñòîÿíèÿ ØÍÓ.
Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû:
1. Gibss S.G., Neely A.B. Computer diagnosis of down hole conditions in sucker rod rumring wells // Journal of Petroleum Technology.1986.-Vol 18, ¹1.-P.91-98.
2. Âèðíîâñêèé À.Ñ. Ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ ðàáîòó ãëóáèííîíàñîñíîé óñòàíîâêè, ïî äàííûì íàçåìíûõ èçìåðåíèé.// Íåôòÿíîå õîçÿéñòâî.-1952.-¹5.-Ñ.30-36.
3. Â.Ä. Øåâåëåíêî, Â.È. Êóòóçîâ, À.Ò. Ðàèìîâà, Å.Â. Êâèòåê. Ôèëüòðàöèÿ èçìåðèòåëüíûõ ñèãíàëîâ ôîðìèðîâàíèåì îðòîãîíàëèçèðóþùèõ ïîëèíîìîâ. «Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû è ýëåêòðîííûå ñèñòåìû». 2001.Ò6. ¹2-3, ñòð.113-118.
ВЕСТНИК ОГУ №2/ФЕВРАЛЬ`2006 Том 2. Естественные и технические науки
105