41

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
ðàññòîÿíèè x îò òî÷êè, ëåæàùåé ïîñåðåäèíå ìåæäó íèìè (ðèñ.8), è íàéòè
ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ:
a
R
q
G
L
`G
`G
G′
G′ `
Ðèñ. 7
á
q
q′
l
Ðèñ. 5
q ′ = − qR L è ðàñïîëîæåííîãî íà ðàññòîÿíèè l = R2 L îò öåíòðà øàðà.
Òîæäåñòâåííîå ñîâïàäåíèå ýòèõ äâóõ
ïîëåé ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ, ÷òî ýêâèïîòåíöèàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü ñ ϕ = 0 äëÿ
ïîëÿ çàðÿäîâ q è q ′ ñîâïàäàåò ñ ïîâåðõíîñòüþ øàðà. Óáåäèìñÿ â ýòîì. Âîçüìåì
ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A íà ïîâåðõíîñòè øàðà
(ðèñ.6) è îáîçíà÷èì ÷åðåç r1 ðàññòîÿíèå îò
A
r
B
q
r
C
G
l
41
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
R
O
Ðèñ. 6
íåå äî çàðÿäà q (òî÷êà B), à ÷åðåç r2 —
ðàññòîÿíèå äî çàðÿäà q′ (òî÷êà C). Ïîñêîëüêó AO : OC = R/l = L/R =
= BO : OÀ, òðåóãîëüíèê AOC ïîäîáåí
òðåóãîëüíèêó BOA. Çíà÷èò, äëÿ ëþáîé
òî÷êè À îòíîøåíèå r1 r2 ðàâíî L/R è
ïîòåíöèàë ϕ A = kq r1 + kq ′ r2 ðàâåí
íóëþ (íàïîìíèì, ÷òî q ′ = − qR L ).
Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîëå, ñîçäàâàåìîå íàâåäåííûìè çàðÿäàìè âíå øàðà, ñîâïàäàåò ñ
ïîëåì îäíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà q ′ .
b g
Ïðèìåð 3. Òî÷å÷íûé çàðÿä è çàðÿæåííûé øàð. Åñëè â óñëîâèè ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà çàìåíèòü çàçåìëåííûé øàð íà çàðÿæåííûé çàðÿäîì Q, òî
ê çàðÿäó-èçîáðàæåíèþ q′ íåîáõîäèìî
äîáàâèòü âòîðîé çàðÿä-èçîáðàæåíèå
q ′′ = Q – q′ , ïîìåùåííûé â öåíòð
øàðà.
Êàêèì æå îáðàçîì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé â ñëó÷àå ïðîâîäÿùåãî øàðà â
îäíîðîäíîì ïîëå? Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàò íå äîëæåí çàâèñåòü îò òîãî, êàêàÿ
ñèñòåìà çàðÿäîâ ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì
→
ïîëÿ E0 , áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíî ñîçäà-
åòñÿ äâóìÿ çàðÿäàìè q è –q (ðèñ.7),
ðàñïîëîæåííûìè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî öåíòðà øàðà íà áîëüøîì îò
íåãî ðàññòîÿíèè ( L ≅ R ). Âåëè÷èíó
çàðÿäîâ íàäî âûáðàòü òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû ñîçäàâàåìàÿ èìè â öåíòðå øàðà
íàïðÿæåííîñòü áûëà ðàâíà E0 :
2q
= E0 .
2
4 πε 0 L
Ïîëå íàâåäåííûõ çàðÿäîâ â ïðîñòðàíñòâå âíå øàðà áóäåò ñîâïàäàòü ñ ïîëåì
äâóõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ q ′ è − q ′ , ãäå
q ′ = –qR/L, ðàñïîëîæåííûõ íà ðàñ2
ñòîÿíèè l = R L îò öåíòðà. Äâà çàðÿäà-èçîáðàæåíèÿ îáðàçóþò äèïîëü ñ
äèïîëüíûì ìîìåíòîì, ðàâíûì
p = q ′ ⋅ 2l =
2 qR3
2
L
Íàïðèìåð, â ñëó÷àå çàðÿäà è ïðîâîäÿùåé ïëîñêîñòè íåòðóäíî âû÷èñëèòü
íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ çàðÿäîâ q è –q íà
a
a
–q
x
E
Ðèñ. 8
e
qa
2
2π x + a
2
j
3 2
.
 ñëó÷àå øàðà â îäíîðîäíîì ïîëå íàäî
âû÷èñëèòü ïîëíîå ïîëå, ðàâíîå ñóììå
îäíîðîäíîãî âíåøíåãî ïîëÿ è ïîëÿ
òî÷å÷íîãî äèïîëÿ (ñì. Ïðèëîæåíèå)
âîçëå ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.
Êàê óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû (4)? Ïðîùå âñåãî ýòî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà (êòî ñ íåé çíàêîì), íî
ìîæíî îáîéòèñü è áåç íåå. Ïðåäñòàâèì ïîëå
âáëèçè ïîâåðõíîñòè â âèäå →ñóïåðïîçèöèè
äâóõ ïîëåé (ðèñ.9): ïîëÿ E1 , ñîçäàííîãî
ìàëûì áëèçëåæàùèì ó÷àñòêîì ïîâåðõíîñ-
-
-
= 3Vε 0 E0 ,
÷òî ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (3). Åñëè
ðàññìîòðåòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, ïðè
êîòîðîì çàðÿäû óäàëÿþòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòü, íî îäíîâðåìåííî èõ âåëè÷èíà ìåíÿåòñÿ òàê, ÷òî íàïðÿæåííîñòü
ïîëÿ îñòàåòñÿ ðàâíîé E0 , òî ïîëå áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê îäíîðîäíîìó, à äèïîëü áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê òî÷å÷íîìó
(ïðè ñîõðàíåíèè äèïîëüíîãî ìîìåíòà).
Îñòàåòñÿ îòâåòèòü íà âîïðîñ: êàê â
ðàìêàõ ìåòîäà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ
èçîáðàæåíèé íàéòè íå òîëüêî ïîëå
íàâåäåííûõ çàðÿäîâ, íî è èõ ðàñïðåäåëåíèå ïî ïîâåðõíîñòè? Ýòî ìîæíî
ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùåãî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ó ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà:
σ
E=
.
(4)
ε0
q
σ = ε0E =
Ðèñ. 9
òè, êîòîðîå ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûì ïîëþ
áåñêîíå÷íîé ïëîñêîñòè E1 = σ 2 ε 0 (â
ïðåäåëå, êîãäà ðàññòîÿíèå äî ïîâåðõíîñòè
ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðîì ýòîãî
ó÷àñò→
êà), è ïîëÿ îñòàëüíûõ çàðÿäîâ E2 . Âíóòðè
ïðîâîäíèêà ýòè äâà ïîëÿ äîëæíû ñîêðàòèòü äðóã äðóãà, ïîýòîìó E2 = E1 =
= σ 2 ε 0 . Âíå ïðîâîäíèêà ýòè íàïðÿæåííîñòè ñêëàäûâàþòñÿ, îòêóäà è ïîëó÷àåòñÿ
ôîðìóëà (4).
Êîíå÷íî, ìîæåò âîçíèêíóòü âîïðîñ: à
êàê (áåç òåîðåìû Ãàóññà) ïîëó÷èòü ôîðìóëó E = σ 2 ε 0 äëÿ íàïðÿæåííîñòè áåñêîíå÷íîé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè, íà êîòîðóþ îïèðàåòñÿ ýòîò âûâîä?
Ìîæíî ñäåëàòü ýòî, ðàññìîòðåâ ïîëå ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ñôåðû, êîòîðîå ñîâïàäàåò (âíå ñôåðû) ñ ïîëåì òî÷å÷íîãî
çàðÿäà, à âáëèçè ïîâåðõíîñòè ðàâíî σ ε 0 .
Åñëè ïðîâåñòè òàêîå æå ðàññóæäåíèå, êàê
âûøå, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå, òî ïîëó÷èì
èñêîìóþ ôîðìóëó.
d i
d i
d i
Ìåòîä íàëîæåíèÿ øàðîâ
Ïîñëåäíèé èç ðàññìàòðèâàåìûõ çäåñü
ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ çàäà÷è î ïðîâîäÿùåì øàðå â îäíîðîäíîì ïîëå äàåò
íàèáîëåå ïîëíîå, è ïðèòîì äîñòàòî÷íî
ïðîñòîå, åå ðåøåíèå. Êàê è ðàíüøå, ìû
ðàçîáüåì èçëîæåíèå ýòîãî ìåòîäà íà
íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýòàïîâ,
êàæäûé èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñâîþ
èíòåðåñíóþ çàäà÷ó.
1. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûé øàð.
Ðàññìîòðèì øàð ðàäèóñîì R, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûé ñ îáúåìíîé ïëîò-