Cуществование иммиграционно состоятельного деления на
реклама
Ïðåïðèíò 292 íîÿáðü 2014 Â. Ì. Ìàðàêóëèí Cóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊ ÓÄÊ 519.865 Äàòà ïîñòóïëåíèÿ 10 íîÿáðÿ 2014 ã. Ìàðàêóëèí Â. Ì. Cóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû. Íîâîñèáèðñê, 2014. 12 ñ. (Ïðåïðèíò / ÐÀÍ. Ñèá. îòä-íèå. Èí-ò ìàòåìàòèêè; 292).  ðàáîòå èçó÷àåòñÿ âîïðîñ ñóùåñòâîâàíèÿ èììèãðàöèîííî-ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû â ðàìêàõ îäíîìåðíîãî ìèðà íà îòðåçêå [0,1], ãäå ðàñïðåäåëåíèå íàñåëåíèÿ îïèñûâàåòñÿ ïîñðåäñòâîì ìåðû Ðàäîíà, êîòîðàÿ âîîáùå ãîâîðÿ íå èìååò ïëîòíîñòè. Äëÿ ýòîãî îáùåãî ñëó÷àÿ äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå äåëåíèÿ íà ñòðàíû â âèäå îáîáùåííûõ èíòåðâàëîâ, ãäå ìîãóò ïîÿâèòñÿ ñòðàíû íóëåâîãî ðàçìåðà (äëèíû), íî íåíóëåâîé ìàññû (íàñåëåíèÿ). Ðàáîòà îáîáùàåò Rethinking Alesina and Spolaore's uni-dimensional world: existence of migration proof country structures for arbitrary distributed populations by Michel Le Breton, Daniil Musatov, Alexei Savvateev and Shlomo Weber, ïðåäñòàâëåííóþ êàê äîêëàä íà êîíôåðåíöèè ÂØÝ 2010 ãîäà. Êëþ÷åâûå ñëîâà è ôðàçû: Ñòðàíîîáðàçîâàíèå, ìèð Àëåñèíû è Ñïîëàîðå, ìè- ãðàöèÿ, ñòàáèëüíîå ðàçáèåíèå, ëåáåãîâñêîå ðàçëîæåíèå ìåðû. JEL Classication Numbers: D70, H20, H73 Àäðåñ àâòîðà: Ìàðàêóëèí Â. Ì., Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ, ïð. Àêàäåìèêà Êîïòþãà, 4, 630090 Íîâîñèáèðñê, Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, óë. Ïèðîãîâà 2, 630090, Íîâîñèáèðñê, Ðîññèÿ; e-mail: [email protected] c c Ìàðàêóëèí Â. Ì., 2014 Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ, 2014 Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè èì. Ñ. Ë. Ñîáîëåâà ÑÎ ÐÀÍ Ïðåïðèíò 292, íîÿáðü 2014 Cóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû Ìàðàêóëèí Â. Ì. Ââåäåíèå  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ îáùåå ðåøåíèå ïðîáëåìû äåëåíèÿ îòðåçêà [0, 1] íà ñòðàíû èíòåðâàëüíîãî âèäà. Äàííûé âîïðîñ âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ â îñíîâîïîëàãàþùåé ðàáîòå Alesina, Spolaore (1997) è çàòåì òàêæå èçó÷àåòñÿ â ðÿäå ïîñëåäóþ- ùèõ ðàáîò. Íàèáîëüøèå ïðîäâèæåíèÿ â ÷àñòè ðàçðåøåíèÿ ïðîáëåìû ñóùåñòâîâàíèÿ íóæíîãî ðàçáèåíèÿ áûëè ïîëó÷åíû â Le Breton et al. (2010), ãäå ñ ïðèìåíåíèåì ëåììû Ãåéëà Íèêàéäî Äåáðå áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà íà ñòðàíû-èíòåðâàëû, ò. å. òàêîãî, ÷òî íè ó êîãî íåò ñòèìóëîâ ê èçìåíåíèþ ñòðàíû ïðîæèâàíèÿ.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ÿ íàìåðåí ñóùåñòâåííî óñèëèòü ìàòåìàòè÷åñêóþ ÷àñòü è îñëàáèòü óñëîâèÿ íà ðàñïðåäåëåíèå íàñåëåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, â Le Breton et al. (2010) áûëî äîêàçàíî, ÷òî (i) Ðàçáèåíèå íà ñòðàíû ÿâëÿåòñÿ èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíûì åñëè è òîëüêî åñëè ôóíêöèÿ èíäèâèäóàëüíûõ çàòðàò (íàëîãîâûå èçäåðæêè) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé; ïðè ýòîì (óïðîù¼ííî) èçäåðæêè ïîäñ÷èòûâàþòñÿ êàê ñóììà ðàññòîÿíèÿ îò ìåñòîïðîæèâàíèÿ äàííîãî èíäèâèäà äî öåíòðà ñòðàíû (ñòîëèöà) ïëþñ äîëÿ îáùèõ ðàñõîäîâ íà ñîäåðæàíèå ïðàâèòåëüñòâà. (ii) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå æèòåëåé íà îòðåçêå çàäà¼òñÿ íåïðåðûâíîé f : [0, 1] → R+ , ðàâíîìåðíî îòäåë¼ííîé îò íóëÿ: f (x) ≥ α > 0, ∀x ∈ [0, 1]. Òîãäà äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n ∈ N ñóùåñòâóåò äåëåíèå îòðåçêà íà n ñòðàíîòðåçêîâ Ki = hwi−1 , wi i, wi−1 < wi , i = 1, 2, . . . , n. ïëîòíîñòüþ Ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èè íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòè, äà åùå îòäåë¼ííîé îò íóëÿ çäåñü âûçûâàåò ÿâíîå íåäîóìåíèå: íåóæåëè íàëè÷èå íåçàñåë¼ííûõ ó÷àñòêîâ ìîæåò êàê-òî ïðåïÿòñòâîâàòü äåëåíèþ íà ñòðàíû? À ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ãîðîäñêèì íàñåëåíèåì? â öèòèðóåìîé ðàáîòå ãîðîäîâ íåò âîîáùå...  òî æå âðåìÿ ïîíÿòíî, ÷òî ïåðâîïðè÷èíà îáîèõ óêàçàííûõ íåäîñòàòêîâ èìååò ñóãóáî ìàòåìàòè÷åñêóþ ïðèðîäó è ðåøåíèå áóäåò íàéäåíî åñëè óäàñòñÿ ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåõíèêó. Èìåííî íà ýòî íàöåëåíà íàñòîÿùàÿ ðàáîòà, â êîòîðîé ðàñïðåäåëåíèå æè- µ ýòî ñ÷¼òíî-àääèòèâíàÿ σ -àëãåáðå.  ñèëó èçâåñòíîé â ìàòå- òåëåé íà îòðåçêå îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåðû Ðàäîíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, çàäàííàÿ íà áîðåëåâñêîé ìàòè÷åñêîì àíàëèçå òåîðåìû, òàê íàçûâàåìîì ðàçëîæåíèè Ëåáåãà, ìåðó ðàçëîæèòü â ñóììó ÷èñòî äèñêðåòíîé ìåðû íî ìåðû Ëåáåãà ìåðû µ ϑ, ò. å. èìååì ñîîòâåòñòâóåò µ = ν + ϑ. ν µ ìîæíî è àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëü- Àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé ñîñòàâëÿþùåé íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå F (x) = ϑ([0, x]), x ∈ [0, 1], ÷òî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðàñïðåäåëåíèå ñåëüñêîãî íàñåëåíèÿ.  òî æå âðåìÿ ÷èñòî äèñêðåòíîå ñëàãàåìîå ν ñîîòâåòñòâóåò ãîðîäñêîìó íàñåëåíèþ, èáî òîãäà ìåðà èìååò ñ÷¼òíûé íîñèòåëü è ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ñóììà ìåð, ñêîíöåíòðèðîâàííûõ â òî÷êå (ìåðû Äèðàêà), âèäà ñåáÿ òî÷êó a δ({a}) = α = δ(A) äëÿ α ìîæíî ïîíèìàòü è íîëü èíà÷å. Çäåñü 3 âñåõ A⊆[0, 1], âêëþ÷àþùèõ â êàê íàñåëåíèå (ìàññà) ãîðîäà, ñêîíöåíòðèðîâàííîãî (ðàñïîëîæåííîãî) â òî÷êå a ∈ [0, 1]. Êîíå÷íî, íàëè÷èå ñ÷¼ò- íîãî ÷èñëà ãîðîäîâ ýòî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ àáñòðàêöèÿ, ïîëó÷åííàÿ çàäàðîì îäíàêî ñëó÷àé êîíå÷íîãî ÷èñëà ãîðîäîâ ïîëíîñòüþ ïîïàäàåò â ðàìêè òåîðèè. Ïîñëåäíåå: êàêîãî òèïà ðàçáèåíèå íà ñòðàíû ñóùåñòâóåò è ìîæåò ïîëó÷èòñÿ? ýòî îñíîâíîé ïðåäìåò íàñòîÿùåé ðàáîòû. Äåéñòâèòåëüíî, â ïîñòàíîâêå Le Breton et al. (2010) ýòîò âîïðîñ íå èìååò çíà÷åíèÿ íåâàæíî, âêëþ÷àþòñÿ èëè íåò êîíöû îòðåçêà â ñòðàíó èáî ìåðà îäíîòî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ ðàâíà íóëþ.  íàøåì ñëó÷àå ýòî íå òàê, ïîñêîëüêó èìåþòñÿ òî÷êè ñ íåíóëåâîé ìàññîé.  òàêîì ñëó÷àå òî÷êà ìîæåò ðàçäåëèòüñÿ íà äâå íåðàâíûå ïî ìàññå ÷àñòè, îäíà èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò îäíîìó ñìåæíîìó èíòåðâàëó-ñòðàíå, äðóãàÿ äðóãîìó. Òàêæå ìîæåò ïðîèçîéòè òàêàÿ ëþáîïûòíàÿ âåùü êàê ïîÿâëåíèå ñòðàí-ãîðîäîâ íóëåâîé äëèíû. 1 Îäíîìåðíûé ìèð ñ ðàçðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì íàñåëåíèÿ: ìîäåëü è îñíîâíîé ðåçóëüòàò Le Breton et al. [0, 1], êîòîðûé íóæíî ðàçáèòü íà ñòðàíû-èíòåðâàëû. Ðàçáèåíèå çàäà¼òñÿ âåêòîðîì w = (w1 , w2 , . . . , wn ), w0 = 0, wn = 1, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóþò ñòðàíû Ki = hwi−1 , wi i1 , êàê ïðîìåæóòêè èíòåðâàëà. Êðîìå òîãî, èìååòñÿ ìåðà µ íà [0, 1], îòðàæàþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå æèòåëåé. Äàëåå âåêòîðó w ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äâà âåêòîðà: Ñëåäóÿ ïîñòðîåíèÿì (2010), èìååì: îòðåçîê xi = wi − wi−1 , x = (x1 , . . . , xn ), i = 1, 2, . . . , n è a = (a1 , a2 , . . . , an ), ai = µ(hwi−1 , wi i), i = 1, 2, . . . , n. Σn ⊂ Rn , Îáà âåêòîðà ïðèíàäëåæàò ñòàíäàðòíîìó ñèìïëåêñó îòðåçêà-ñòðàíû (ïî ìåðå Ëåáåãà) è íî, ÷òî x îäíîçíà÷íî çàäà¼ò ai ýòî ðàçìåð i-é ãäå xi äëèíà i-ãî µ). ßñ- ïîïóëÿöèè (ïî ìåðå w. x ∈ [0, 1], è æåëàþùåãî áûòü ðåçèäåíòîì K(wi−1 , wi ) ñ ïðàâèòåëüñòâîì, ðàçìåù¼ííîì â òî÷êå m(wi−1 , wi ) ∈ hwi−1 , wi i, Çàòðàòû ãðàæäàíèíà, æèâóùåãî â òî÷êå ñòðàíû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå c(x, wi−1 , wi ) = Çäåñü g g µ(hwi−1 , wi i) + |m(wi−1 , wi ) − x|. ýòî çàòðàòû íà ñîäåðæàíèå ïðàâèòåëüñòâà è ñòîëèöû. Ôóíêöèè m(wi−1 , wi ) |m(wi−1 , wi ) − x| ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíûìè.  ðàññòîÿíèå äî Le Breton et al. (2010) áûëî îáîñíîâàííî, ÷òî ìèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîìó ðàçáèåíèþ íà ñòðàíû äîëæíà ñîîòâåòñòâîâàòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èíäèâèäóàëüíûõ çàòðàò (ñêëåéêà c(x, wi−1 , wi ) ïî èíòåðâàëàì ðàçáèåíèÿ). Î ìåðå µ. Âíå âñÿêîãî ñîìíåíèÿ â îáùåì ñëó÷àå ýòî äîëæíà áûòü ìåðà Ðàäî- íà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, çàäàííàÿ íà áîðåëåâñêîé σ -àëãåáðå.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ýòîé ìåðû (èçó÷àåòñÿ ïåðâîíà÷àëüíî) ïðåäïîëàãàåòñÿ íàëè÷èå ó íå¼ íåïðåðûâíîé f : [0, 1] → R+ òàêàÿ, ÷òî Z µ(B) = f (x)dµ(x), B ∈ B, ïëîòíîñòè, ò. å. ñóùåñòâóåò B 1 Ïðîìåæóòîê ha, bi ⊂ R ýòî îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ: [a, b], 4 . (a, b], [a, b), (a, b) ãäå B ÷åí â áîðåëåâñêàÿ σ -àëãåáðà Le Breton et al. íà [0, 1].2 Äëÿ íåïðåðûâíîé f íóæíûé ðåçóëüòàò ïîëó- (2010), íî êàê åãî ðàñïðîñòðàíèòü íà îáùèé ñëó÷àé? Ðàññìîò- ðèì äàëåå ïðèìåð ðàñïðåäåëåíèÿ æèòåëåé íà îòðåçêå ñ ðàçðûâíîé ïëîòíîñòüþ. Ïðèìåð 1 Ïðåäïîëîæèì íà [0, 21 ) = A è ( 12 , 1] = B íàñåëåíèå ðàñïðåäåëåíî êàê1 òî íåïðåðûâíî, íî ìåðà òî÷êè íåíóëåâàÿ. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî 2 ðàñïîëàãàþòñÿ ñòðàí-èíòåðâàëîâ. Ïóñòü µ(A) = x > 0, µ(B) = y > 0, µ({ 21 }) = z > 0, ïðè÷¼ì ýòè âåëè÷èíû óäîâëåòâîðÿþò ñòîëèöû â öåíòå |x − y| < z =⇒ 1 1 1 1 < & < . x+z y y+z x 1 1 Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äåëåíèå íà (äâå) ñòðàíû âèäà [0, i, h , 1] íåâîçìîæíî. 2 2 Îäíàêî âîçìîæíî 0 < α < 1 íàñåëåíèÿ ãîðîäà { 12 } îòíåñòè ê ëåâîé ñòðàíå, à äðóãóþ ÷àñòü 0 < 1 − α < 1 ê ïðàâîé. Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà ÷àñòü èçäåðæåê ó æèòåëåé ãîðîäà, ïðèíàäëåæàùèõ ðàçíûì þðèñäèêöèÿì, èìååì: 1 1 = x + αz y + (1 − α)z Çíà÷èò, åñëè äîëÿ ⇒ 2αz = y − x + z > 0 ⇒ α = y−x+z < 1. 2z (1) α æèòåëåé ãîðîäà èìååò ¾ëåâóþ¿ þðèñäèêöèþ, à ïðî÷èå ¾ïðà- âóþ¿, òî íè ó êîãî èç íèõ íå áóäåò ñòèìóëà ìåíÿòü ãðàæäàíñòâî. ðàâíîìåðíî Áîëåå òîãî, åñëè, íàïðèìåð, íàñåëåíèå ðàñïðåäåëåíî íà èíòåðâàëàõ 1 1 [0, 2 ), ( 2 , 1] (ïëîòíîñòü òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ 2x â ïåðâîì ñëó÷àå è 2y âî âòîðîì), òî íåòðóäíî óêàçàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äðóãîãî ìèãðàöèîííî óñòîé÷èâîãî äåëåíèÿ îòðåçêà íà äâå ñòðàíû íå ñóùåñòâóåò. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì äèíàìèêó 1 èìååì ¾ñòðàíû¿ [0, ti, èçìåíåíèÿ çàòðàò ó ãðàíè÷íîãî èíäèâèäóóìà. Äëÿ 0 < t < 2 ht, 1] è èçäåðæêè: c1 (t, 0, t) = g t + , 2xt 2 c2 (t, t, 1) = g 1−t g 1−t + < + 1 2 y+z 2 y + z + 2x( 2 − t) c1 (t, 0, t) − c2 (t, t, 1) > =⇒ g 1 g +t− − = f (t). 2xt 2 y+z g limt→+0 f (t) = +∞. Èìååì òàêæå f 0 (t) = 1 − 2xt 2 < 0 ïðè x < 2g , 1 1 îòêóäà ìîæíî çàêëþ÷èòü f (t) > 0, t ∈ (0, ]. Çíà÷èò, â èíòåðâàëå (0, ) ðàçäåëÿþùàÿ 2 2 ñòðàíû ãðàíèöà ïîÿâèòüñÿ íå ìîæåò. Ïîäîáíûì îáðàçîì ïðè y < 2g íå ìîæåò áûòü 1 ìåæñòðàíîâîé ãðàíèöû â èíòåðâàëå ( , 1). 2 Çäåñü f ( 12 ) > 0 è Íà ýòîì æå ïðèìåðå ìîæíî óâèäåòü, ÷òî ïðè îïðåäåë¼ííûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ ìîãóò ïîÿâèòüñÿ ñòðàíû íóëåâîãî ðàçìåðà ïðè òðè íåíóëåâîé ìàññå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ñòîèò çàäà÷à äåëåíèÿ íà ñòðàíû. Òåïåðü 1-ÿ è 3-ÿ ñòðàíû âêëþ÷àþò â 1 1 1 ñåáÿ îòðåçêè [0, ) è ( , 1] ñîîòâåòñòâåííî è ÷àñòè íàñåëåíèÿ ãîðîäà { }, îñòàâøååñÿ 2 2 2 íàñåëåíèå êîòîðîãî îáðàçóåò 2-þ ñòðàíó. Íàéòè òàêîãî ðîäà äåëåíèå ìîæíî òàêèì îáðàçîì. Åñëè èç ðàññìîòðåíèÿ âðåìåííî èñêëþ÷èòü 2-þ ñòðàíó âìåñòå ñî âñåì å¼ íàñåëåíèåì, òî ìû ïîëó÷èì óæå èçâåñòíîå íàì äåëåíèå (1), ãäå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàñå0 ëåíèå ¾ðåäóöèðîâàííîãî¿ ãîðîäà ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó z . Èìååì: â ïåðâóþ ñòðàíó Íàïîìíþ, ÷òî áîðåëåâñêàÿ σ-àëãåáðà çàäà¼òñÿ òîïîëîãèåé, ò. å. ñòðóêòóðîé îòêðûòûõ (èëè çàìêíóòûõ) ïîäìíîæåñòâ. Äàëåå ñ íèìè ïðîäåëûâàåì òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè (îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, ïåðåõîä ê äîïîëíåíèþ), ïðè÷¼ì â ñ÷¼òíîì ÷èñëå ðàç, ïîëó÷àÿ ðàçíûå (è òîëüêî òàêèå) ýëåìåíòû àëãåáðû. Êàæäàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà (ò. å. èíòåãðèðóåìàÿ) îòíîñèòåëüíî áîðåëåâñêîé àëãåáðû. 2 5 µ([0, 21 )) + αz 0 = x + αz 0 è àíàëîãè÷íî äëÿ òðåòüåé ñòðàíû 0 00 α = y−x+z . Äàëåå ÷èñëåííîñòü (ìàññó) íàñåëåíèÿ 2-é ñòðàíû z 2z 0 âêëþ÷åíî íàñåëåíèå y + (1 − α)z 0 , ãäå ìîæíî íàéòè èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà èçäåðæåê ó ãîðîäñêîãî æèòåëÿ íå âêëþ÷¼ííîãî â ñòðàíû 1, 3 (îíè ñîñòàâëÿþò íàñåëåíèå 2-é ñòðàíû) è èçäåðæåê ó ãîðîæàíèíà èç (íàïðèìåð) ïåðâîé ñòðàíû. Èìååì: g 1 g + = 00 0 x + αz 4 z =⇒ 1 2 1 = 00 , + 0 x+y+z 4g z 1 0 00 îòêóäà íàõîäèì îáùåå ÷èñëî z æèòåëåé ãîðîäà { }, ýòî z = z + z . Íàïðèìåð ïðè 2 g = 12 , x = y = 1, z 0 = 2 äîëæíî áûòü z 00 = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, z = 3. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå òðåòü æèòåëåé ãîðîäà íàõîäèòñÿ â þðèñäèêöèè ïåðâîé ñòðàíû, òðåòü â òðåòüåé è îñòàâøàÿñÿ òðåòü îáðàçóåò ñàìîñòîÿòåëüíóþ ñâîáîäíóþ ñòðàíó. Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ äâóõ ñòðàí ìîæíî íàéòè óñëîâèÿ ïðè êîòîðûõ äëÿ òð¼õñòðàíîâîãî äåëåíèÿ âñåãäà îáðàçóåòñÿ ñòðàíà-ãîðîä. Íàïðèìåð ïðîàíàëèçèðóåì òà1 0 0 0 êîé âàðèàíò äåëåíèÿ íà ñòðàíû: [0, t i, ht , ti è ht , 1], ãäå t < , ò. å. ãîðîä ïîëíîñòüþ 2 âêëþ÷àåòñÿ â òðåòüþ ñòðàíó. Òàê êàê ñòîëèöû â öåíòðå, òî èçäåðæêè ãðàíè÷íîãî 0 æèòåëÿ â òî÷êå t ðàâíû èçäåðæêàì ïîòðåáèòåëÿ â òî÷êå t , êîòîðûå ìîæíî âû÷èñ- 3 ëèòü êàê ïîëóñóììó èçäåðæåê ïåðâîé è âòîðîé ñòðàíû : t0 g t − t0 t g 1 g + + + + . ≥ 0 0 2 2xt 2 2x(t − t ) 2 xt 4 Íàéä¼ì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ èçäåðæêè æèòåëÿ 3-é ñòðàíû â òî÷êå t ìåíüøå âåëè- ÷èíû èç ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà. Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé çàêëþ÷àåì, ÷òî äîñòàòî÷íî ïîëó÷èòü f (t) = g 3t g 1 + > + . xt 4 x + z + y − 2tx 2 0 è, åñëè ëåâàÿ áóäåò óáûâàòü (f (t) < 0), òî 1 äîñòàòî÷íî áóäåò èìåòü íóæíîå íåðàâåíñòâî â òî÷êå t = ; óñëîâèÿ ñâîäÿòñÿ ê 2 Çäåñü ïðàâàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò ïî 2g 3 > x 8 & t 2g 3 g 1 + > + x 8 z+y 2 ⇐ g 3 > x 16 & z + y ≥ 4g. Íàïðèìåð, óñëîâèÿ ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ ïðè z = 3, x = y = g = 1. Ïîäîáíûì îáðàçîì àíàëèçèðóþòñÿ è îñòàëüíûå ñëó÷àè. Ñîäåðæàòåëüíûé îòâåò òàêîé: ñòðàíà íóëåâîé äëèíû ïîÿâèòñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ, åñëè ãîðîä äîñòàòî÷íî áîëüøîé ìàññû. Äëÿ òîãî ÷òîáû âîçìîæíî áûëî àíàëèçèðîâàòü îáùèé ñëó÷àé íóæíî ñíà÷àëà ðàçîáðàòüñÿ ñ èìåþùèìèñÿ â ýòîé ïîñòàíîâêå ôóíêöèîíàëüíûìè ïðîñòðàíñòâàìè è òîïîëîãèÿìè. Ñäåëàåì ýòî. Ìåðû Ðàäîíà îáðàçóþò ñòàíäàðòíûé ñèìïëåêñ â ïðîñòðàíñòâå c ñòðàíñòâî âñåõ ñ÷¼òíî àääèòèâíûõ ( ountably ñêîé σ -àëãåáðå íà [0, 1].  ñâîþ î÷åðåäü additive) ca([0, 1]) ca([0, 1]) ïðî- ìåð, çàäàííûõ íà áîðåëåâ- èçîìîðôíî ïðîñòðàíñòâó âñåõ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ íàä ïðîñòðàíñòâîì íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé 3 4 Ïðèìåíÿåì a1 + 1b ≥ a+b ∀a > 0, b > 0. 6 C([0, 1]), ðàññìîòðåííûõ ñ òîïîëîãèåé íîðìû ìàêñèìóì (ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü). Çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà ϕµ , àññîöèèðîâàííîãî ñ ìåðîé µ, çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé Z ϕµ (f ) = f ∈ C([0, 1]). f (x)dµ(x), [C([0, 1])]0 = ca([0, 1]) è ðàññìîòðåòü äâîéñòâåííîñòü (duality or pairing) hC([0, 1]), ca([0, 1])i, â êîòîðîé áèëèíåéíîå îòîáðàæåíèå h·, ·i Òàêèì îáðàçîì, ìû âïðàâå íàïèñàòü (ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå) çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé Z hf, µi = f ∈ C([0, 1]), f (x)dµ(x), µ ∈ ca([0, 1]). Äëÿ äâîéñòâåííîñòè ïðèíÿòî ðàññìàòðèâàòü è èçó÷àòü ðàçíûå èíäóöèðîâàííûå äâîéñòâåííîñòüþ òîïîëîãèè; âàæíåéøèìè â èõ ÷èñëå ÿâëÿþòñÿ ñëàáûå òîïîëîãèè. Ñëàáàÿ òîïîëîãèÿ ìîæåò áûòü çàäàíà íà èñõîäíîì ïðîñòðàíñòâå (çäåñü ýòî èëè ñîïðÿæ¼ííîì (ñåé÷àñ áàÿ ñî çâåçäîé 4 ca([0, 1])), C([0, 1])) â òàêîì ñëó÷àå ÷àñòî ãîâîðÿò, ÷òî ýòî ñëà- . Ïî îïðåäåëåíèþ ñëàáàÿ òîïîëîãèÿ ýòî òàêàÿ ñëàáåéøàÿ ëîêàëüíî âûïóêëàÿ òîïîëîãèÿ, ïðè êîòîðîé íåïðåðûâíû òîëüêî ôóíêöèîíàëû èç âòîðîãî ýëå- σ(C([0, 1]), ca([0, 1])) ñëàáàÿ òîïîëîãèÿ (ïî òðàäèöèè îáîçíà÷àåòñÿ σ ) íà C([0, 1]), çàäàííàÿ ïðîñòðàíñòâîì ca([0, 1]). Ñëàáàÿ ñî çâåç∗ 5 äîé σ (ca([0, 1]), C([0, 1])) çàäà¼òñÿ íà ca([0, 1]) è îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç C([0, 1]). Ñëàìåíòà äóàëüíîñòè.  íàøåì ñëó÷àå áûì òîïîëîãèÿì ìîæíî äàòü ðàçíûå õàðàêòåðèçàöèè, ïîëåçíûå â ðàçíûõ ñëó÷àÿõ íàïðèìåð â òåðìèíàõ ýëåìåíòîâ ôèëüòðà îêðåñòíîñòåé íóëÿ èëè åãî áàçû. Âåñüìà ïîëåçíîé ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèçàöèÿ â òåðìèíàõ ñõîäèìîñòè (íàïðàâëåííîãî ñåìåé∗ ñòâà èëè ñåòè). Ïðèâåä¼ì äàëåå òàêóþ õàðàêòåðèçàöèþ äëÿ σ (ca([0, 1]), C([0, 1])): Z µξ −→ µ ξ∈Ξ ⇐⇒ ∀g ∈ C([0, 1]), Z g(x)dµξ (x) −→ ξ∈Ξ g(x)dµ(x). (2) Èç äàííîãî îïðåäåëåíèÿ (è äðóãèõ åìó ïîäîáíûõ) ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî ïî÷åìó ñëàáûå òîïîëîãèè çà÷àñòóþ íàçûâàþò òîïîëîãèÿìè ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè. Çà÷åì ÿ âñ¼ ýòî ïèñàë? ïðî äâîéñòâåííîñòü è ïðî÷. Ê îáùåìó ñëó÷àþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîïóëÿöèè íà îòðåçêå ÿ áóäó ïîäáèðàòüñÿ ÷åðåç ïðåäåëüíûé ïåðåõîä äëÿ óæå äîêàçàííîãî ñëó÷àÿ ñ íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòüþ, ò. å. ÿ õî÷ó, ÷òîáû íàøëîñü ñåìåéñòâî fξ ∈ C([0, 1]) òàêîå, ÷òî äëÿ ìåðû µξ (f ) = µξ , çàäàííîé ïî ôîðìóëå Z µξ (B) = fξ (x)dx, B∈B (3) B ìû áû èìåëè µξ −→ µ. ξ∈Ξ Ãëàâíîå çäåñü ýòî ïîíÿòü â êàêîì ñìûñëå ñõîäèòñÿ ñåìåé- ñòâî è óñòàíîâèòü åãî ñóùåñòâîâàíèå. ß óòâåðæäàþ, ÷òî íóæíî âçÿòü ñëàáóþ ñî ∗ çâåçäîé òîïîëîãèþ σ (ca([0, 1]), C([0, 1])), òîãäà ïðîñòðàíñòâî C([0, 1]) áóäåò ïëîò∗ íî â ca([0, 1]), ò. å. åãî çàìûêàíèå â σ äà¼ò âñå ca([0, 1]), à çíà÷èò ëþáóþ íàïåð¼ä çàäàííóþ ìåðó ìîæíî áóäåò ðåàëèçîâàòü êàê ïðåäåë ìåð ñ íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòüþ. 6 Íèæå ÿ ïðèâåäó (ñîáñòâåííîå) êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî òåì áîëåå, ÷òî íà Ïðîèñõîäèò îò àíãëîÿçû÷íîé òðàäèöèè îáîçíà÷àòü äâîéñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ äîáàâëåíèåì ∗, íàïðèìåð, L∗ äëÿ L. Âî ôðàíêîôîíñêîé òðàäèöèè çäåñü ïèøóò øòðèõ L0 , íàïðèìåð ñì. Áóðáàêè. 5 Èìååò çíà÷åíèå ïîðÿäîê âõîæäåíèÿ àðãóìåíòà ñíà÷àëà òî, íà ÷¼ì òîïîëîãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ, à ïîòîì òî, ÷òî å¼ îïðåäåëÿåò. 6 Êàæåòñÿ ýòî äîëæåí áûòü êàêîé-òî èçâåñòíûé êëàññè÷åñêèé ôàêò. Èñêàòü íóæíî ãäå-òî â ðàéîíå Äàíôîðä Øâàðö, òîì 1. 4 7 íåîòðèöàòåëüíóþ ïîëîæèòåëüíûìè ñàìîì äåëå òðåáóåòñÿ íåìíîãî äðóãîå: íàì íóæíî ÷òîáû êàæäóþ ìåðó ìîæíî áûëî ðåàëèçîâàòü êàê ïðåäåë ìåð ñ íåïðåðûâíûìè ïëîòíîñòÿìè.  ñëàáîé ñî çâåçäîé òîïîëîãèè σ∗(ca([0, 1]), C([0, 1])) ìíîæåñòâî K ⊂ ca([0, 1]) âñåõ ìåð ñ ïîëîæèòåëüíûìè íåïðåðûâíûìè ïëîòíîñòÿìè ïëîòíî â ca+([0, 1]) â êîíóñå íåîòðèöàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà ca([0, 1]). Äîêàçàòåëüñòâî. K σ ∗ (ca([0, 1]), C([0, 1])) ∗ ∗ Ëåììà 1 Ðàññìîòðèì çàìûêàíèå çíà÷èì cl (K). ßñíî, ÷òî cl (K)⊆ca+ ([0, 1]) â , êîòîðîå îáî- è ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, ñëàáî- çâ¼çäíî çàìêíóòûì êîíóñîì. Ïðåäïîëîæèì óòâåðæäåíèå ëåììû íåâåðíî. Âîçüì¼ì ν ∈ ca+ ([0, 1]) \ cl∗ (K). Ìû íàõîäèìñÿ â óñëîâèÿõ 2-é êëàññè÷åñêîé òåîðåìû îòäåëèìîñòè (ñòðîãàÿ ðàçäåëèìîñòü çàìêíóòûõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, îäíî èç êîòîðûõ êîìïàêòíî) è ìîæåì íàéòè ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë G, íåïðåðûâíûé â òîïîëîãèè ∗ ñëàáîé ñî çâåçäîé, ñòðîãî îòäåëÿþùèé ν îò cl (K), ò. å. G(cl∗ (K)) ≥ γ > G(ν). ∃γ ∈ R : (4) Äàëåå â îòíîøåíèè ðàçäåëÿþùåãî ôóíêöèîíàëà ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: (i) Òàê êàê ôóíêöèîíàë íåïðåðûâåí â ñëàáîé ñî çâåçäîé òîïîëîãèè, òî îí äîëæåí çàäàâàòüñÿ íåêîòîðîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé g ∈ C([0, 1]) ïî ôîðìóëå Z G(µ) = g(x)dµ(x), µ ∈ ca([0, 1]). G(cl∗ (K)) ≥ γ , òî (îò ïðîòèâíîãî, K êîíóñ) ñòàíäàðòíî çàêëþ÷àåì Z ∗ G(cl (K)) ≥ 0 ⇒ g(x)h(x)dx ≥ 0 ∀h ∈ C+ ([0, 1]) ⇒ g(x) ≥ 0 ∀x ∈ [0, 1]. (ii) Òàê êàê (iii) Èç (ii) è ν≥0 çàêëþ÷àåì R g(x)dν(x) ≥ 0, îòêóäà èç ïðàâîé ÷àñòè (4) ñëåäóåò γ ≥ 0. Íàêîíåö, òàê êàê γ ≤ 0, 0 ∈ cl∗ (K), ÷òî ñîâìåñòíî ñ (iii) äà¼ò îòñþäà ñëåäóåò 0 = γ = G(ν), òî ëåâîå íåðàâåíñòâî â (4) ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü γ = 0. Îäíàêî ïðè fξ , ξ ∈ Ξ è γ ≥ ÷òî ïðîòèâîðå÷èò (4). Èòàê, äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ñåìåéñòâà ìåð ïëîòíîñòüþ ν ≥0 ñëàáî-çâ¼çäíî ñõîäÿùèåñÿ µξ ñ ê µ, R g(x)dν(x) ≥ 0 ïîëîæèòåëüíîé íåïðåðûâíîé ò. å. óäîâëåòâîðÿþò (3) è (2). Ýòîìó ñåìåéñòâó ñîîòâåòñòâóåò äâà ñåìåéñòâà òî÷åê èç ñòàíäàðòíîãî ñèìïëåêñà, n n ýòî xξ = (xξ1 , xξ2 , . . . , xξn ) ∈ Σ è aξ = (aξ1 , aξ2 , . . . , aξn ) ∈ Σ .  ñèëó êîìïàêòíîñòè ñèìïëåêñà ìû ìîæåì ñ÷èòàòü ýòè ñåìåéñòâà ñõîäÿùèìèñÿ, ò. å. èìååì (µξ , xξ , aξ ) −→(µ, x, a) ∈ ca+ ([0, 1]) × Σn × Σn . ξ∈Ξ Çäåñü íóæíî óêàçàòü, ÷òî, â îòëè÷èè îò ïëîòíîñòè, ðàâíîìåðíî îòäåë¼ííîé îò íóëÿ, çäåñü âåêòîðû x è a ìîãóò èìåòü íóëåâûå êîìïîíåíòû, ÷òî îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå ñòðàí ñ íóëåâûì íàñåëåíèåì èëè íóëåâîãî ðàçìåðà (ñòðàíà-ãîðîä, êàê ïîëèñû â äðåâíåé Ãðåöèè). Äàëåå, êîíå÷íî, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî òðîéêà (µ, x, a) îïðåäåëÿåò èñêîìîå ðàçáè- åíèå íà ñòðàíû. ß îòìå÷ó ñðàçó, ÷òî èçíà÷àëüíî íå ïðåäïîëàãàëàñü íàëè÷èå ó ìåðû 8 µ ïðîèçâîäíîé ïî ìåðå Ëåáåãà, ò. å. íàøà ìåðà íå îáÿçàíà áûòü àáñîëþòíî íåïðå- ðûâíîé îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà (ñì. òåîðåìó Ðàäîíà Íèêîäèìà). Îäíàêî ïðè ýòîì âñåãäà èìååò ìåñòî íîé è òî÷å÷íîé, ò. å. h : [0, 1] → R+ ðàçëîæåíèå Ëåáåãà µ = ϑ + ν, áîðåëåâñêîé ìåðû â ñóììó íåïðåðûâ- ãäå äëÿ íåêîòîðîé èçìåðèìîé ïî Ëåáåãó ôóíêöèè âûïîëíåíî Z ϑ(B) = B ∈ B, h(x)dx, B è äëÿ ñ÷¼òíîãî ñåìåéñòâà ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ òî÷åê ν({yk }) > 0, k = 1, 2, . . . , ν(B) = yk ∈ [0, 1] X ν({yk }), èìååò ìåñòî B ∈ B. k:yk ∈B Òàêèì îáðàçîì, âñå íàñåëåíèå îòðåçêà äåëèòñÿ íà äâå ÷àñòè äåðåâåíñêóþ, êàê-òî ïðèìåðíî ðàâíîìåðíî-íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííóþ íà îòðåçêå è ãîðîäñêîå íàñåëåíèå, ðàñïðåäåë¼ííîå ïî íå áîëåå ÷åì ñ÷¼òíîìó ÷èñëó òî÷åê íàñåëåíèå ãîðîäà ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó k -ãî µ({yk }) > 0, k = 1, 2, . . . Êàê ôîðìàëüíî ðàçîáðàòüñÿ ñî âñåìè ýòèìè äåëàìè? Ðàññìîòðèì ïðåäåëüíóþ òðîéêó (µ, x, a), êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò âåêòîð ðàçáèâàþùèé îòðåçîê [0, 1] w = (w1 , w2 , . . . , wn ), w0 = 0, wn = 1 íà ñåãìåíòû ïî ïðàâèëó: [0, w1 i, w1 = x1 ; hw1 , w2 i, w2 = x1 + x2 ; . . . hwn−1 , wn i, wn−1 = x1 + · · · + xn−1 , wn = 1. Ïðè ýòîì çàòðàòû æèòåëÿ y ∈ hwi−1 , wi i i-é ñòðàíû â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå ñîñòàâ- ëÿþò âåëè÷èíó c(y, wi−1 , wi ) = 1 υ(hwi−1 , wi i) + |y − m(wi−1 , wi )|. Êîíå÷íî, çäåñü âàæíî òîëüêî òî, ÷òî ýòè çàòðàòû äåëÿòñÿ íà äâå ñîñòàâëÿþùèå, ïåðâàÿ èç êîòîðûõ îáùàÿ äëÿ âñåõ ÷ëåíîâ ñòðàíû è çàâèñèò òîëüêî îò ÷èñëà å¼ æèòåëåé, â òî âðåìÿ êàê âòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ìåñòîì ïðîæèâàíèÿ è, ãëàâíîå, óäàë¼ííîñòüþ îò öåíòðà. Çäåñü â ôîðìóëå υ ýòî íåêîòîðàÿ ìåðà, àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ îòíîñè- òåëüíî ìåðû Ëåáåãà ïîýòîìó ýòî íåâàæíî êàêèå èç êîíöîâ ïðîìåæóòêà hwi−1 , wi i âêëþ÷åíû â ñòðàíó, à êàêèå íåò â îáùåì ñëó÷àå ýòî, êîíå÷íî, íå òàê. Ïàðàìåòð m(wi−1 , wi ) ∈ hwi−1 , wi i â ôîðìóëå ýòî ÷òî-òî òèïà ìåäèàíû ðàññìàòðèâàåìîãî ïðî- ìåæóòêà, íå îáÿçàòåëüíî â òî÷íîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà. Çàòðàòû æèòåëÿ ñòðàíû ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû è â ñóùåñòâåííî áîëåå îáùåì âèäå, îäíàêî ýòî íåâàæíî íà äàííûé ìîìåíò.  òî÷êàõ, ïî êîòîðûì îñóùåñòâëÿëñÿ ïðåäåëüíûé ïåðåõîä, áûëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1 1 ξ ξ ξ ξ +|wiξ −m(wi−1 , wiξ )| = c(wiξ , wi−1 , wiξ ) = c(wiξ , wiξ , wi+1 )= +|wiξ −m(wiξ , wi+1 )| aξi aξ(i+1) ãäå ξ aξi = µξ (hwi−1 , wiξ i).  ðàâåíñòâàõ ìîæíî ïåðåéòè ê ïðåäåëó åñëè çàìåòèòü, ÷òî íèêàêîé èç çíàìåíàòåëåé ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ íå ìîæåò. Íî ýòî äåéñòâèòåëüíî èìååò ìåñòî: ïðåäïîëàãàÿ ïðîòèâíîå âîçüì¼ì äâå ñîñåäíèå ñòðàíû òàêèå, ÷òî ìåðà îäíîé èç íèõ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à ìåðà äðóãîé â ïðåäåëå îòëè÷íà îò íóëÿ. Òàêàÿ ïàðà íàéä¼òñÿ, èáî ìåðû âñåõ ñòðàí ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ íå ìîãóò, ò. ê. èõ ñóììà ðàâíà åäèíèöå. Íî òåïåðü äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ξ â äàííîé ïàðå ñòðàí íàðóøàåòñÿ óñëîâèå ìèãðàöèîííîé ñîñòîÿòåëüíîñòè çàòðàòû îäíîé èç ñòðàí â ïîãðàíè÷íîé 9 òî÷êå ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à ó äðóãîé ê êîíå÷íîìó çíà÷åíèþ. Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíî, ÷òî âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà a = (a1 , a2 , . . . , an ) ñòðîãî áîëüøå íóëÿ è èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà 1 1 + |wi − m(wi−1 , wi )| = + |wi − m(wi , wi+1 )|, i = 1, 2, . . . , n − 1. ai ai+1 Äàëåå íóæíî ïðîâåñòè êîððåêòíîå ðàçáèåíèå îòðåçêà íà ñòðàíû-ïðîìåæóòêè. Çäåñü áóäåò ïîëåçíà ñëåäóþùàÿ ëåììà. Ëåììà 2 Ïðåäåëüíàÿ òðîéêà (µ, x, a) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì7 µ([0, wi ]) ≥ a1 + · · · + ai ≥ µ([0, wi )), Äîêàçàòåëüñòâî. ñèðóåì i Ïóñòü i = 1, 2, . . . , n. ε > 0 äîñòàòî÷íî ìàëàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà. Ôèê- è ðàññìîòðèì äâå ôóíêöèè, çàäàííûå ïî ôîðìóëàì: 1, αε (y) = 1 − y−wεi +2ε , 0, 1, 1 − y−wεi −ε , βε (y) = 0, ïðè ïðè ïðè ïðè ïðè ïðè Ïî ïîñòðîåíèþ äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ αε (·) ≤ ãäå : χ([0, wiξ ]) χ([0, wiξ ))(·) ξ 0 ≤ y ≤ wi − 2ε, wi − 2ε ≤ y ≤ wi − ε, y ≥ wi − ε, 0 ≤ y ≤ wi + ε, wi + ε ≤ y ≤ wi + 2ε, y ≥ wi + 2ε. èìååì ≤ χ([0, wiξ ])(·) ≤ βε (·), õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ (èíäèêàòîðíàÿ) ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà [0, wiξ ]. Îò- ñþäà ïîëó÷àåì Z αε (·)dµξ ≤ µξ ([0, wiξ )) = i X Z aξj ≤ βε (·)dµξ , j=1 îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïî ξ â ñèëó ñëàáî-çâ¼çäíîé ñõîäèìîñòè ìåð èìååì Z αε (·)dµ ≤ lim ε→0+ i X Z aj ≤ lim ε→0+ j=1 βε (·)dµ. Êðîìå òîãî, èìååì sup αε (·) = χ([0, wi ))(·) ≤ χ([0, wi ])(·) = inf βε (·), ε>0 ε>0 8 îòêóäà çàêëþ÷àåì Z µ([0, wi )) = sup αε (·)dµ ≤ ε>0 i X Z aj ≤ inf j=1 ε>0 βε (·)dµ = µ([0, wi ]).  ñèëó ëåììû 2 ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó ïîñòðîåíèÿ ïî-ñòðàíîâîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [0, 1]:  íåðàâåíñòâå ñïðàâà ñòîèò ìåðà ïîëóîòêðûòîãî èíòåðâàëà, à ñëåâà çàìêíóòîãî, ò. å. ðàçíèöà ìåæäó ìíîæåñòâàìè â îäíó òî÷êó wi . 8 Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òàêîå ñâîéñòâî èíòåãðàëà êàê ïîðÿäêîâàÿ íåïðåðûâíîñòü: åñëè ñåìåéñòâî ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè ïî îòíîøåíèþ ïîðÿäêà (ìîíîòîííî âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò), òî è çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ áóäóò ñõîäèòñÿ. 7 10 µ([0, w1 )) ≤ a1 ≤ µ([0, w1 ]) = µ([0, w1 )) + µ({w1 }). 0 ≤ β1 ≤ 1 òàêîé, ÷òî (i) Èìååì: Çíà÷èò, íàéä¼òñÿ a1 = µ([0, w1 )) + β1 · µ({w1 }). µ([0, w2 )) ≤ a1 + a2 ≤ µ([0, w2 ]) = µ([0, w2 )) + µ({w2 }). 0 ≤ α2 = 1 − β1 ≤ 1 íàéä¼òñÿ 0 ≤ β2 ≤ 1 òàêîé, ÷òî (ii) Èìååì: Çíà÷èò, äëÿ a2 = α2 · µ({w1 }) + µ((w1 , w2 )) + β2 · µ({w2 }), i-ÿ ñòðàíà ÿâëÿåòñÿ ãîñóäàðñòâîì, âêëþ÷àþùåì â ñåáÿ âñåõ æèòåëåé èç (wi−1 , wi ), à òàêæå äîëþ αi æèòåëåé èç ãîðîäà {wi−1 } è äîëþ βi æèòåëåé ãîðîäà {wi }, ãäå α1 = βn = 1. è ò. ä. Òàêèì îáðàçîì, ×òî âñ¼ ýòî îçíà÷àåò ïðèìåíèòåëüíî ê íàøåé òåìå? Äåëî â òîì, ÷òî â ìèðå, ñîîòâåòñòâóþùåì òðîéêå (µ, x, a), ìîãóò ïîÿâèòñÿ ñòðàíû íóëåâîãî ðàçìåðà ïðè íåíóëå- âîé ìàññå, ïðè÷¼ì ýòè ñòðàíû (÷àñòè÷íî èëè âñå) ìîãóò êîíöåíòèðîâàòüñÿ â îäíîé òî÷êå íàïðèìåð, ýòî ñëó÷àé, êîãäà â âåêòîðå âåêòîðå a x ïîÿâëÿþòñÿ ñìåæíûå íóëè, à â ýòè êîìïîíåíòû ñòðîãî áîëüøå íóëÿ. ×òî ýòî îçíà÷àåò? Âî-ïåðâûõ, ìåðà äàííîé òî÷êè w ìîæåò áûòü ïîëîæèòåëüíàÿ (yk = wi = w äëÿ íåêîòîðûõ k, i), à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî æèâóùèé â ýòîé òî÷êå íàðîä ìîã ðàñïðåäåëèòñÿ, êàê ìèíèìóì, ïî 4-ì ãîñóäàðñòâàì: äâóì ýòî òå, íîìåðà êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþò íóëÿì, è òàêæå èõ ñîñåäè... Ôîðìàëüíûé ÷èñëåííûé ïðèìåð áûë ïðèâåä¼í âûøå, à ïðèìåðû èç æèçíè ïåðåä ãëàçàìè ðàçäåë¼ííûé Áåðëèí, âñÿêèå òàì Âàòèêàíû, Ñàí-Ìàðèíî è äðóãèå êàðëèêîâûå ãîñóäàðñòâà. Èòàê, ðåçþìèðóåì: â ïî-ñòðàíîâîì ðàçáèåíèè èíòåðâàëû ìîãóò áûòü íóëåâîé äëèíû è ñ äðîáíûìè êîíöàìè åñëè êîíåö èíòåðâàëà ïîïàë â íîñèòåëü ν. Äîëÿ â êðàéíåé òî÷êå èíòåðâàëà óêàçûâàåò íà ÷àñòü æèâóùåãî â ýòîé òî÷êå íàñåëåíèÿ, ïîïàäàþùóþ ïîä þðèñäèêöèþ äàííîé ñòðàíû. Äàëåå åñòåñòâåííûì îáðàçîì îñóùåñòâëÿåòñÿ íàäëåæàùàÿ ìîäåðíèçàöèÿ ïîíÿòèÿ èììèãðàöèîííî-ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû ñ ó÷¼òîì äðîáíûõ êîíöîâ, íóëåâîãî ðàçìåðà è ïðî÷. Ýòó ðóòèííóþ ðàáîòó ÿ îñòàâëÿþ ÷èòàòåëþ. Çàêëþ÷åíèå Èòàê, âûøå áûëà îáîñíîâàíà âîçìîæíîñòü ïî-ñòðàíîâîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà íà ñòðàíû-èíòåðâàëû â ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèÿ æèòåëåé îïèñàííîãî ìåðîé Ðàäîíà. À äàëüøå ÿ õî÷ó ïðåäëîæèòü åùå îäíó èäåþ ïî÷åìó áû íå îñâîáîäèòü ïàðàìåòð ÷èñëà ñòðàí? Âîçìîæíî, â çàòðàòû èíäèâèäîâ íàäî âíåñòè òàêæå ðàñõîäû íà âñåìèðíîå ïðàâèòåëüñòâî (ÎÎÍ?), èëè ÷òî-òî òèïà äèïëîìàòè÷åñêèõ èçäåðæåê. Íàâåðíîå çäåñü ìîæíî ðàçîáðàòüñÿ ïóò¼ì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïîêà è òî÷íî êàê íå çíàþ... 11 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû Alesina, A. and E. Spolaore (1997). On the number and size of nations// Quarterly Journal of Economics 113, 1027-1056. Le Breton, M., Musatov, M., Savvateev, A. and S. Weber (2010). Rethinking Alesina and Spolaore's uni-dimensional world: existence of migration proof country structures for arbitrary distributed populations// in : Proceedings of XI International Academic Conference on Economic and Social Development. Moscow, 6 8 April 2010: University Higher School of Economics 12 Ìàðàêóëèí Âàëåðèé Ìèõàéëîâè÷ Cóùåñòâîâàíèå èììèãðàöèîííî ñîñòîÿòåëüíîãî äåëåíèÿ íà ñòðàíû Ïðåïðèíò 292 Îòâåòñòâåííûé çà âûïóñê Ñ. Ì. Àíöûç Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 11.11.14. Ôîðìàò 60 × 84 1/8. Óñë. ïå÷. ë. 1,4. Ó÷.-èçä. ë. 1,3. Òèðàæ 75 ýêç. Çàêàç 186 Îòïå÷àòàíî â ÎÎÎ ¾Îìåãà Ïðèíò¿ ïð. Ëàâðåíòüåâà, 6, Íîâîñèáèðñê 630090
