Рис. 1. ЦЕПЬ НА КОНУСЕ Концы однородной цепочки массы

Рис. 1. ...
ЦЕПЬ НА КОНУСЕ
Концы однородной цепочки массы m , длины l соединены. Эту петлю
набрасывают на прямой круговой конус с углом раствора α. Поверхность
конуса гладкая. Сила тяжести параллельна оси конуса. Найти возможные положения равновесия цепочки.
Введем декартову систему координат Oxyz так, что ось Z направлена вертикально вниз вдоль оси конуса, см. рис 1. Совместим данную
декартову систему с цилиндрической
(z, r, ψ),
x = r cos ψ,
y = r sin ψ.
Уравнение конуса приобретает вид
z = ar,
a = cot α > 0.
Будем считать, что линия цепочки на конусе описывается уравнением
r = r(ψ),
r(ψ + 2π) = r(ψ).
Элемент длины такой кривой на поверхности конуса выражается формулой
√
√
ds = dx2 + dy 2 + dz 2 = (1 + a2 )(r′ )2 + r2 dψ.
Будем исходить из того, что положением равновесия является такая конфигурация цепочки при которой высота ее центра масс минимальна. z−
координата ценра масс цепочки задается формулой
∫
a 2π
r(ψ)ds.
Z[r(·)] =
l 0
1
2
Таким образом, мы ищем максимум функционала Z[r] в классе 2π− периодических функций r(ψ) при условии
∫ 2π
ds = l.
(!)
0
Этой задаче отвечает лагранжиан
(a
)√
L(r, r′ ) =
r+λ
(1 + a2 )(r′ )2 + r2 ,
l
где λ – множитель Лагранжа.
Интеграл энергии имеет вид
∂L
h = r′ ′ − L
∂r
или
(a
)
√
(∗)
− r + λ r2 = h (1 + a2 )(r′ )2 + r2 .
l
(
)
Таким образом константа h и выражение − al r + λ должны иметь один
и тот же знак при всех ψ ∈ R. В этом предположении возведем равенство
(*) в квадрат
)2
1 (a
r + λ r4 = 0.
(1 + a2 )(r′ )2 + r2 − 2
h l
Сделаем в последней формуле замену переменных
λl
r = ρ.
a
Получим
(1 + a2 )(ρ′ )2 + ρ2 − u2 (ρ + 1)2 ρ4 = 0,
(∗∗)
где
λ4 l 2
u2 = 2 2 .
(∗ ∗ ∗)
h a
При этом, условие (!) приобретает вид
∫ 2π √
a
(1 + a2 )(ρ′ )2 + ρ2 dψ =
.
(!!)
|λ|
0
План дальнейших действий следующий. Подбором константы u мы найдем (если сможем) 2π−периодическое решение ρ(ψ) уравнения (**) и
затем подберем λ так, что бы было выполнено (!!). Затем известные u и
λ мы подставим в формулу (***) и найдем константу h2 .
При этом решение ρ должно быть таким, что бы выражение
)
(a
r + λ = λ(ρ + 1)
l
было знакопостоянным при всех ψ.√
Вводя новую переменную t = ψ/ a2 + 1 перепишем уравнение (**) в
виде
1
1
ρ̇2 + V (ρ) = u2 , V (ρ) = 2
,
(!!!)
(ρ + 1)2 ρ4
ρ (ρ + 1)2
3
где ρ̇ = dρ
dt . Теперь мы ищем решение уравнения (!!!) ρ(t) с периодом
√
2
2π/ a + 1.
Построив график ”потенциальной энергии” V легко убедиться, что на
фазовой плоскости (ρ, ρ̇) имеется положение равновесия типа ”центр” в
точке C = (−1/2, 0), которое окружают периодические траектории, зажатые между вертикальными прямыми ρ = −1 и ρ = 0. Траектории
маркеруются параметром u, u > 0. Поскольку ρ(t) ∈ (−1, 0) условие
знакопостоянства функции ρ + 1 выполнено. Отсюда, в частности следует, что λ < 0.
Положение равновесия C отвечает тривиальной ситуации, когда вся
цеепочка находится в горизонтальной плоскости и образует окружность.
Однако, возможны еще и другие конфигурации цепочки при которых
она находится в равновесии.
Интегрируя уравнение (!!!) мы находим период траектории
√
∫ ρ+
−1 ± 1 − 4/u
dρ
√
T (u) = −2
, u > 4.
, ρ± =
2
2 2
2
ρ− ρ u (ρ + 1) ρ − 1
Теперь надо понять при каких a уравнение
2π
T (u) = √
1 + a2
разрешимо относительно u. Этому значению u отвечает решение уравнения (!!!) с искомым периодом. Это решение соответствует косому равновесию цепочки см. рис 1.
Соответственно, дальнейший качественный анализ задачи состоит в
исследовании функции T (u). А мы приведем только результат численного моделирования графика T (u).
Рис. 2. T(u)
4
Отсюда вроде бы видно, что для континума значений a те угла раствора конуса имеются косые положения равновесия цепочки.