Рис. 1. 1. Цепь на конусе Концы однородной цепочки массы m

Рис. 1. ...
1. Цепь на конусе
Концы однородной цепочки массы m , длины l соединены. Эту петлю набрасывают на прямой круговой конус с углом раствора 2α, α ∈
(0, π/2). Поверхность конуса гладкая. Сила тяжести параллельна оси
конуса. Найти возможные положения равновесия цепочки.
Theorem 1. Если π/6 < α < π/4 то цепочка имеет два положения
равновесия. Одно из них тривиальное т.е. цепочка вся находится в горизонтальной плоскости и образует окружность. Другое положение
равновесия мы будем называть косым см. рис.
При всех прочих допустимых значениях угла α цепочка имеет лишь
тривальное положение равновесия.
1.1. Доказательство теоремы. Введем декартову систему координат
Oxyz так, что ось Z направлена вертикально вниз вдоль оси конуса, см.
рис 1. Совместим данную декартову систему с цилиндрической
(z, r, ψ),
x = r cos ψ,
y = r sin ψ.
Уравнение конуса приобретает вид
z = ar,
a = cot α > 0.
Будем считать, что линия цепочки на конусе описывается уравнением
r = r(ψ),
r(ψ + 2π) = r(ψ).
Элемент длины такой кривой на поверхности конуса выражается формулой
√
√
ds = dx2 + dy 2 + dz 2 = (1 + a2 )(r′ )2 + r2 dψ.
1
2
Будем исходить из того, что положением равновесия является такая конфигурация цепочки при которой высота ее центра масс минимальна. z−
координата ценра масс цепочки задается формулой
∫
a 2π
Z[r(·)] =
r(ψ)ds.
l 0
Таким образом, мы ищем максимум функционала Z[r] в классе 2π− периодических функций r(ψ) при условии
∫ 2π
ds = l.
(1)
0
Этой задаче отвечает лагранжиан
(a
)√
L(r, r′ ) =
r+λ
(1 + a2 )(r′ )2 + r2 ,
l
где λ – множитель Лагранжа.
Интеграл энергии имеет вид
∂L
h = r′ ′ − L
∂r
или
(a
)
√
− r + λ r2 = h (1 + a2 )(r′ )2 + r2 .
(2)
l
(
)
Таким образом константа h и выражение − al r + λ должны иметь один
и тот же знак при всех ψ ∈ R. В этом предположении возведем равенство
(2) в квадрат
)2
1 (a
(1 + a2 )(r′ )2 + r2 − 2
r + λ r4 = 0.
h l
Сделаем в последней формуле замену переменных
λl
r = ρ.
a
Получим
(1 + a2 )(ρ′ )2 + ρ2 − u2 (ρ + 1)2 ρ4 = 0,
(3)
где
λ4 l2
u2 = 2 2 .
(4)
h a
При этом, условие (1) приобретает вид
∫ 2π √
a
(1 + a2 )(ρ′ )2 + ρ2 dψ =
.
(5)
|λ|
0
План дальнейших действий следующий. Подбором константы u мы найдем (если сможем) 2π−периодическое решение ρ(ψ) уравнения (3) и затем подберем λ так, что бы было выполнено (5). Затем известные u и λ
мы подставим в формулу (4) и найдем константу h2 .
При этом решение ρ должно быть таким, что бы выражение
)
(a
r + λ = λ(ρ + 1)
l
3
было знакопостоянным при всех ψ. √
Вводя новую переменную t = ψ/ a2 + 1 перепишем уравнение (3) в
виде
1
ρ̇2 + V (ρ) = u2 ,
(ρ + 1)2 ρ4
V (ρ) =
ρ2 (ρ
1
,
+ 1)2
(6)
где ρ̇ = dρ
dt . Теперь мы ищем решение уравнения (6) ρ(t) с периодом
√
2
2π/ a + 1.
Построив график ”потенциальной энергии” V легко убедиться, что на
фазовой плоскости (ρ, ρ̇) имеется положение равновесия типа ”центр” в
точке C = (−1/2, 0), которое окружают периодические траектории, зажатые между вертикальными прямыми ρ = −1 и ρ = 0. Траектории
маркеруются параметром u, u > 0. Поскольку ρ(t) ∈ (−1, 0) условие
знакопостоянства функции ρ + 1 выполнено. Отсюда, в частности следует, что λ < 0.
Положение равновесия C отвечает тривиальной ситуации, когда вся
цеепочка находится в горизонтальной плоскости и образует окружность.
Однако, возможны еще и другие конфигурации цепочки при которых
она находится в равновесии.
Интегрируя уравнение (6) мы находим период траектории
∫
T (u) = −2
ρ+
ρ−
dρ
√
,
ρ u2 (ρ + 1)2 ρ2 − 1
ρ± =
−1 ±
√
1 − 4/u
,
2
u > 4.
Теперь надо понять при каких a уравнение
2π
T (u) = √
1 + a2
разрешимо относительно u. Этому значению u отвечает решение уравнения (6) с искомым периодом. Это решение соответствует косому равновесию цепочки см. рис 1.
Соответственно, дальнейший качественный анализ задачи состоит в
исследовании функции T (u). Приведем результат численного моделирования графика T (u).
4
Рис. 2. T(u)
Если поверить Maple в том, что график есть монотонная функция, то
доказательство теоремы завершается следующей леммой.
Lemma 1. Верны формулы
lim T (u) =
u→4+
√
2π,
lim T (u) = π.
u→∞
Действительно, дополнительное косое равновесие реализуется тогда и
только тогда ,когда
√
2π
π<√
< 2π,
1 + a2
или
π/6 < α < π/4.
1.1.1. Доказательство леммы. В окрестности точки C с точностью до
квадратичных членов уравнение (6) имеет вид
1
ρ = − + ξ.
2
Значит период
малых колебаний в окрестности положения равновесия
√
равен 2π/ 2. Или
√
lim T (u) = 2π.
ξ˙2 + 2ξ 2 = const,
u→4+
Это доказывает первую формулу.
Проверим вторую формулу. Отметим, что
∫
2 ρ+
dρ
√
T (u) = −
,
u ρ− ρ (ρ − ρ− )(ρ − ρ+ )(ρ − ρ̃− )(ρ − ρ̃+ )
5
где
−1 ±
√
1 + 4/u
.
2
Вводя параметр ϵ = 1/u → 0 при u → ∞ получим
ρ̃± =
ρ+ ∼ −ϵ,
Таким образом
∫
T (u) = −2ϵ
−ϵ
− 12
ρ
ρ− ∼ −1 + ϵ,
ρ̃+ ∼ ϵ,
√
dρ
(ρ − ρ− )(ρ − ρ+ )(ρ − ρ̃− )(ρ − ρ̃+ )
далее
∫
T (u) ∼ −2ϵ
ЧТД
ρ̃− ∼ −1 − ϵ.
−ϵ
− 12
dρ
(1 + O(ϵ)) √
∼ π.
ρ ρ2 − ϵ 2
√
+ O( ϵ),