Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêò  12- 01-00365).

Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêò  1201-00365).
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. ×åëíîêîâ Þ. Í. Ïåðåîðèåíòàöèÿ îðáèòû êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà ïîñðåäñòâîì
ðåàêòèâíîé òÿãè, îðòîãîíàëüíîé ïëîñêîñòè îðáèòû // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 2012. Ò. 76, âûï. 6. Ñ. 895912.
2. Ïàíêðàòîâ È. À., Ñàïóíêîâ ß. Ã., ×åëíîêîâ Þ. Í. Îá îäíîé çàäà÷å îïòèìàëüíîé ïåðåîðèåíòàöèè îðáèòû êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà // Èçâ. Ñàðàò. óí-òà. Íîâ. ñåð.
Ñåð. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà. 2012. Ò, 12, âûï. 3. Ñ. 8795.
ÓÄÊ 533.6.011
Ä. È. Ëèâåðîâñêèé, Ñ. Ï. Øåâûð¼â
ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈß ÒßƜËÎÉ
ÍÅÑÆÈÌÀÅÌÎÉ ÍÅÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ ÌÅÒÎÄÎÌ
ÊÐÓÏÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ
 äàííîé ñòàòüå ðàññìîòðåíî ìîäåëèðîâàíèå äâèæåíèÿ òÿæ¼ëîé íåñæèìàåìîé íåâÿçêîé æèäêîñòè â äâóìåðíîì ñëó÷àå ÷èñëåííûì ìåòîäîì
êðóïíûõ ÷àñòèö è ïðîèçâåäåíî ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñ
ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ìåòîäîì êîíå÷íûõ îáú¼ìîâ. Áûëà èñïîëüçîâàíà ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ îáú¼ìîâ èç ïàêåòà OpenFOAM [1].
Ñóòü ìåòîäà Äàâûäîâà (ìåòîäà êðóïíûõ ÷àñòèö) ñîñòîèò â òîì, ÷òî
îí èñïîëüçóåò ðàñùåïëåíèå ïî ôèçè÷åñêèì ôàêòîðàì è ïî êîîðäèíàòàì.
 ìåòîäå Äàâûäîâà âûäåëÿþò òðè ýòàïà.
Íà ýòîì ýòàïå æèäêîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ ìîìåíòàëüíî çàòîðìîæåííîé, ò. å. ïðåíåáðåãàåì âñåìè ýôôåêòàìè, ñâÿçàííûìè ñ ïåðåìåùåíèÿìè ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè, ïîòîêà ìàññû ÷åðåç ãðàíèöû
ÿ÷ååê íåò, è äâèæåíèå ÿ÷åéêè êàê òâ¼ðäîãî òåëà ïðîèñõîäèò òîëüêî çà
ñ÷¼ò ñèë äàâëåíèÿ. Íà ýéëåðîâîì ýòàïå îïóñêàþò êîíâåêòèâíûå ïðîèçâîäíûå, îòâå÷àþùèå çà ïåðåòåêàíèå æèäêîñòè. Êðîìå òîãî, òàê êàê ïî
óñëîâèþ æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ íåñæèìàåìîé, òî íà ýòîì ýòàïå âûïîëíÿåòñÿ
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà äëÿ äàâëåíèÿ.
Íà ýòîì ýòàïå ïðîèñõîäèò ïåðåòåêàíèå æèäêîñòè èç îäîé ÿ÷åéêè â äðóãóþ çà ñ÷¼ò âû÷èñëåíèÿ íàïðàâëåííîãî ïîòîêà
ìàññû.
Íà ýòîì ýòàïå ïîëó÷àþòñÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ íà ñëåäóþùåì øàãå ïî âðåìåíè. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ìåòîäà
Äàâûäîâà ïðèâåäåíî â ðàáîòå [2]. Áûëî ïðîèçâåäåíî ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ äâèæåíèÿ íåâÿçêîé íåñæèìàåìîé òÿæ¼ëîé æèäêîñòè,
1. Ýéëåðîâ ýòàï.
2. Ëàãðàæíåâ ýòàï.
3. Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï.
124
ïîëó÷åííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà êðóïíûõ ÷àñòèö, è ðåçóëüòàòîâ,
ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ñâîáîäíî ðàñïðîñòðàíÿåìîãî ïàêåòà OpenFOAM
(ðèñ. 13).
à
á
Ðèñ. 1. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
à
á
Ðèñ. 2. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ
 ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ïîëîæåíèå ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè ìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, à ïîòîìó âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü å¼ îòñëåæèâàíèÿ.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà êðóïíûõ ÷àñòèö äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä ìàðêåðîâ. Ïðèâåä¼ì êðàòêîå îïèñàíèå ìåòîäà ìàðêåðîâ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÿ÷ååê, çàíÿòûõ æèäêîñòüþ, â
ðàññìîòðåíèå ââîäÿò ìàðêåðû. Îíè ïðåäñòàâëÿþò èç ñåáÿ ÷àñòèöû, íå
èìåþùèå ìàññû. Èçíà÷àëüíî ìàðêåðû ðàñïîëàãàþòñÿ â ÿ÷åéêàõ ðàñ÷¼òíîé îáëàñòè, çàíÿòûõ æèäêîñòüþ. Ìàðêåðû äâèæóòñÿ ïî âñåìó îáú¼ìó,
çàíÿòîìó æèäêîñòüþ, êàê áû ïåðåíîñÿòñÿ åþ. Ñêîðîñòü ìàðêåðîâ âû÷èñëÿåòñÿ èíòåðïîëèðîâàíèåì ìåæäó çíà÷åíèÿìè ëîêàëüíîé ñêîðîñòè
125
ñðåäû â ñîñåäíèõ ÿ÷åéêàõ ñåòêè, êîòîðûå ïðåäâàðèòåëüíî áûëè íàéäåíû ðàçíîñòíûì ðåøåíèåì. Îñíîâíàÿ öåëü ââåäåíèÿ ìàðêåðîâ ñîñòîèò â
òîì, ÷òî îíè ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ñâîáîäíóþ ïîâåðõíîñòü äâèæóùåéñÿ íåñæèìàåìîé ñðåäû, òàê êàê íà ïîäâèæíîé ãðàíèöå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ìàðêåðû ðàñïðåäåëåíû òàêæå ïî âñåìó îáúåìó ñðåäû äëÿ òîãî, ÷òîáû, èçîáðàçèâ èõ êîîðäèíàòû ãðàôè÷åñêè, áîëåå íàãëÿäíî ïîêàçàòü äâèæåíèå ñðåäû.
 ïàêåòå OpenFOAM äëÿ îòñëåæèâàíèÿ ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä îáú¼ìà æèäêîñòè(VOF ìåòîä).  äàííîì ìåòîäå â êàæäîé êëåòêå ñåòêè îáû÷íî çàäàåòñÿ ëèøü îäíî çíà÷åíèå äëÿ êàæäîé çàâèñèìîé âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùåå ñîñòîÿíèå æèäêîñòè. Òàê êàê ìåòîä
îáú¼ìà æèäêîñòè òðåáóåò õðàíåíèÿ òîëüêî îäíîãî çíà÷åíèÿ äëÿ êàæäîé
êëåòêè, òî åãî ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ èñïîëüçóåò ìåíüøå ïàìÿòè, ÷åì
ìåòîä ìàðêåðîâ, êðîìå òîãî, ìåòîä îáú¼ìà æèäêîñòè òðåáóåò ìåíüøå âðåìåíè íà îòñëåæèâàíèå ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè, òàê êàê íå òðåáóåòñÿ íà
êàæäîì øàãå ïî âðåìåíè âû÷èñëÿòü íîâóþ ïîçèöèþ äëÿ êàæäîãî ìàðêåðà. Ìàðêåðû, ïîìèìî îïðåäåëåíèÿ êëåòîê, ñîäåðæàùèõ ãðàíèöû, îïðåäåëÿþò êîíôèãóðàöèþ æèäêîñòè â ïîãðàíè÷íîé êëåòêå. Ìåòîä îáúåìîâ
äàåò ñõîæóþ èíôîðìàöèþ, íî êàðòèíà òå÷åíèÿ æèäêîñòè â îêðåñòíîñòè
ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè âûãëÿäèò áîëåå ñõåìàòè÷íî. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå
VOF ìåòîäà ìîæåò áûòü íàéäåíî â ðàáîòå [3] èç ñïèñêà öèòèðóåìîé ëèòåðàòóðû. Íà÷àëüíîå óñëîâèå ìîäåëüíîé çàäà÷è î ïðîðûâå äàìáû ìîæíî
óâèäåòü íà ðèñóíêå ðèñ. 1,à äëÿ ìåòîäà êðóïíûõ ÷àñòèö, è ðèñ. 1,á äëÿ
ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ïàêåòà OpenFOAM. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ìîäåëèðîâàíèè â ðàçíûõ ìåòîäàõ èñïîëüçîâàëàñü ðàçíàÿ
ñåòêà. Â ïàêåòå OpenFOAM èñïîëüçîâàëàñü ñåòêà, êîòîðàÿ ñòàíîâèòñÿ
÷àùå îêîëî ïðåïÿòñòâèÿ [4,5].
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ìåòîäîì êðóïíûõ ÷àñòèö èñïîëüçîâàëàñü ðåãóëÿðíàÿ ñåòêà ñ ïîñòîÿííûì øàãîì ïî îñÿì X è Y . Ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ
ìîæíî óâèäåòü íà ðèñ. 1 3.
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. OpenFOAM URL : http://www.openfoam.com (äàòà îáðàùåíèÿ : 17.03.2013).
2. Øåâûð¼â Ñ. Ï. Ðàñ÷¼ò òå÷åíèÿ òÿæ¼ëîé íåñæèìàåìîé íåâÿçêîé æèäêîñòè ìåòîäîì Äàâûäîâà (íåñòàöèîíàðíûé ïëîñêèé ñëó÷àé) // Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà : ñá.
íàó÷. òð. Ñàðàòîâ : Èçä-âî Ñàðàò. óí-òà, 2009. Âûï. 11. Ñ. 148153.
3. Hirt C. W., Nichols B. D. Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of Free
Boundaries // Journal of Computational Physics. 1981. Vol. 39. P. 201225.
4. Ïîòòåð Ä. Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû â ôèçèêå. Ì. : Ìèð, 1975.
5. Ëèâåðîâñêèé Ä. È., Øåâûð¼â Ñ. Ï. Ìåòîä Äàâûäîâà äëÿ ñëó÷àÿ íåñæèìàåìîé
íåâÿçêîé òÿæ¼ëîé æèäêîñòè íà ðåãóëÿðíîé ñåòêå // Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà : ñá.
íàó÷. òð. Ñàðàòîâ : Èçä-âî Ñàðàò. óí-òà, 2011. Âûï. 13. Ñ. 161164.
126