Математическое моделирование вопросы и задачи

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ
ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
ÌÅÕÀÍÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ
Ìàòåìàòè÷åñêîå
âîïðîñû èìîäåëèðîâàíèå
çàäà÷è
c ÍÃÓ 2009
ÁÁÊ
ÓÄÊ
Â.162.12
517.5
Î-75
1
Ñîäåðæàíèå
1. Îñíîâíûå âîïðîñû ïî êóðñó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Òåíçîðà è òåíçîðíûé àíàëèç. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. . . . . . . . . . . . .
2. Çàäà÷è ê ýêçàìåíó. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Òåíçîðà è òåíçîðíûé àíàëèç. . . . . . . . . . .
2.2. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè.
2.3. Ñîîòâåòñòâèå çàäà÷ ê áèëåòàì. . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
. 5
. 5
. 17
. 24
1.
1.1.
Îñíîâíûå âîïðîñû ïî êóðñó.
Òåíçîðà è òåíçîðíûé àíàëèç.
1. Êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû â R3 . Áàçèñ. Êîáàçèñ (âçàèìíûé áàçèñ).
2. Âåêòîð. Êîâàðèàíòíûå è êîíòðâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû âåêòîðà. Èíâàðèàíòíîå îïðåäåëíèå âåêòîðà.
3. Îïðåäåëåíèå òåíçîðà ðàíãà äâà. Êîìïîíåíòû òåíçîðà. Äèàäíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Ñâîéñòâî äèàäíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Äèàäíûé áàçèñ.
4. Ôóíäàìåíòàëüíûé (ìåòðè÷åñêèé) òåíçîð è åãî ñâîéñòâà. Ôîðìóëû "æîíãëèðîâàíèÿ"èíäåêñàìè. Äëèíà âåêòîðà, óãîë ìåæäó âåêòîðàìè.
5. Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå òåíçîðà ðàíãà äâà êàê ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ (îïåðàòîðà) R3 → R3 . Ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (òåíçîðà).
6. Êîìïîçèöèÿ òåíçîðîâ. Òåíçîð îáðàòíûé ê äàííîìó. Ìàòðèöà òåíçîðà â
íîâîì áàçèñå. Òåíçîð, ñîïðÿæåííûé ê äàííîìó. Ñëåä òåíçîðà.
7. Ïîñòðîåíèå òåíçîðà ïî òåíçîðàì L è M ïîñðåäñòâîì óìíîæåíèÿ êàæäîé
êîìïîíåíòû L íà êàæäóþ êîìïîíåíòó M . Îïåðàöèÿ ñâåðòêè (ïðèìåðû).
Òåîðåìà î äåëåíèè òåíçîðîâ. Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ëþáîãî êîíêðåòíîãî ñëó÷àÿ ïî âàøåìó óñìîòðåíèþ.
8. Êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ êîíòðâàðèàíòíûõ è êîâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò
âåêòîðà. Òåíçîðíûé õàðàêòåð âåëè÷èí ∇i um , ∇i um .
9. Âåêòîðíîå ïîëå. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ãðàäèåíò. Ãðàäèåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ ϕ : Rn → Rm , m = 1.
10. Âåêòîðíîå ïîëå. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ãðàäèåíò. Ãðàäèåíò âåêòîðíîãî ïîëÿ ϕ : Rn → Rm , m = n.
11. Êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ êîíòðâàðèàíòíûõ êîìïîíåíò òåíçîðà ðàíãà
äâà. Êîâàðèàíòàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñóììû ∇j (αum + βv m ), ïðîèçâåäåíèÿ ∇j (um v m ).
12. Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà, òåíçîðà ðàíãà äâà. Ðîòîð âåêòîðà.
1.2.
Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè.
1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) â Ýéëåðîâîì îïèñàíèè. Çàìêíóòàÿ ìîäåëü ôèëüòðàöèè â îäíîðîäíîé ïîðèñòîé ñðåäå.
2. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû â Ëàãðàíæåâîì îïèñàíèè. Ýêâèâàëåíòíîñòü Ëàãðàíæåâà è Ýéëåðîâà îïèñàíèé â äàííîì, êîíêðåòíîì ñëó÷àå.
3. Òåíçîð èñòèííûõ íàïðÿæåíèé Êîøè (Ýéëåðîâî îïèñàíèå). Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà).
4. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà (èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà). Ñèììåòðè÷íîñòü òåíçîðà èñòèííûõ íàïðÿæåíèé.
5. Äèâåðãåíòíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû è çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
3
6. Çàìêíóòàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü èäåàëüíîé æèäêîñòè, îñíîâàííàÿ íà
çàêîíå ñîõðàíåíèÿ ìàññû è çàêîíå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. Çàêîí Äàðñè,
êàê ïðèáëèæåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
7. Òåíçîð äåôîðìàöèè Ãðèíà (Ëàãðàíæåâî îïèñàíèå).
8. Òåíçîð äåôîðìàöèè Àëüìàíñè (Ýéëåðîâî îïèñàíèå).
9. Ëèíåéíàÿ óïðóãàÿ ñðåäà. Ñîîòíîøåíèå "äåôîðìàöèè - íàïðÿæåíèÿ". Çàêîí Ãóêà. Îïèñàíèå ýêñïåðèìåíòîâ, ïîçâîëÿþùèõ îïðåäåëèòü êîíñòàíòû
Ëàìå.
10. Çàìêíóòàÿ ìîäåëü ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè, îñíîâàííàÿ íà ëèíåàðèçàöèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû, çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, òåíçîðà äåôîðìàöèé Àëüìàíñè è çàêîíå Ãóêà (íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé).
11. Çàìêíóòàÿ ìîäåëü ëèíåéíîé òåîðèè óïðóãîñòè (ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé).
Äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ (ïëîñêîé äåôîðìàöèè) ïîñòàíîâêè: â ïåðåìåùåíèÿõ, íàïðÿæåíèÿõ (óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè) è â òåðìèíàõ ôóíêöèè Ýðè.
12. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè (äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà).
13. Äèâåðãåíòíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè.
14. Èäåàëüíàÿ äâóõïàðàìåòðè÷åñêàÿ ñïëîøíàÿ ñðåäà (ãàç, æèäêîñòü).
4
2.
Çàäà÷è ê ýêçàìåíó.
2.1.
Òåíçîðà è òåíçîðíûé àíàëèç.
Ïîñòðîèòü îñíîâíîé è âçàèìíûé áàçèñû äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñè-
Çàäà÷à 1.
ñòåìû êîîðäèíàò:
x1 = r cos ϕ,
x2 = r sin ϕ,
x3 = z.
Ðåøåíèå.
Öèëèíäðè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò:

x1 = r cos ϕ;



x2 = r sin ϕ;


 x3 = z.
(1)
Âåêòîðû áàçèñà:
 ∂x1 



cos ϕ
∂r
2
e1 =  ∂x
=  sin ϕ  ,
∂r
∂x3
0
∂r
e2 =

∂x1
∂ϕ

 ∂x
 ∂ϕ2 
∂x3
∂ϕ
 ∂x1 


−r sin ϕ
=  r cos ϕ  ,
0
e3 =
∂z
 ∂x2 
∂z
∂x3
∂z
 
0

= 0
1
(2)
Èç ei · ej = δij èìååì:

− 1r sin ϕ
e2 =  1r cos ϕ  ,
0


cos ϕ
e1 =  sin ϕ  ,
0

 
0
3

e = 0 .
1
(3)
Ïóñòü
Çàäà÷à 2.
áàçèñà) â
R
3
~em
~e m
- âåêòîðû áàçèñà,
- âåêòîðû êîáàçèñà (âçàèìíîãî
. Äîêàçàòü, ÷òî:
[~e1 · (~e2 × ~e3 )] · [~e 1 · (~e 2 × ~e 3 )] = 1.
Ðåøåíèå.
∂x1
∂y1
2
W = ∂x
∂y1
∂x
∂y13
∂y1
∂x1
∂y1
−1
W = ∂x
∂y12
∂x
3
⇒W ·W
−1
∂x1
∂y2
∂x2
∂y2
∂x3
∂y2
∂y2
∂x1
∂y2
∂x2
∂y2
∂x3
∂x1 ∂y3 ∂x2 ∂y3 ∂x3 ∂y3
= e1 · (e2 × e3 ).
∂y3 ∂x1 ∂y3 ∂x2 ∂y3
∂x3
= e1 · (e2 × e3 ).
= 1.
5
Íàéòè êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gαβ äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò (1).
Çàäà÷à 3.
Ðåøåíèå.
gαβ - êîâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû.
gαβ = ~eα · ~eβ , èç (2) ñëåäóåò:


1 0 0
(gαβ ) = 0 r2 0
0 0 1
Çàäà÷à 4.
Íàéòè êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà g αβ äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò
(1).
Ðåøåíèå.
g αβ - êîíòðâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû.
g αβ = ~e α · ~e β , èç (3) ñëåäóåò:

1
αβ

(g ) = 0
0
0
1
r2
0

0
0
1
Çàäà÷à 5.
Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèÿ
det (Tβm − λgβm ) = 0,
det (Tβ··α − λgβα ) = 0,
det (T βm − λg βm ) = 0,
β·
det (T·α
− λgαβ ) = 0.
èìåþò îäèíàêîâûå êîðíè.
Ðåøåíèå.
Èç ôîðìóë "æîíãëèðîâàíèÿ"èíäåêñàìè:
T ij = Tαβ g αi g βj ,
Tij = T αβ gαi gβj ,
T·ji· = Tαj g αi ,
Ti··j = Tiα g αj
(4)
ñëåäóåò ñëåäóþùàÿ ìàòðè÷íàÿ çàïèñü:
(Tβm − λgβm )(g mα ) = (Tβ··α − λgβα )
α
α·
− λgm
),
(g αβ )(Tβm − λgβm ) = (T·m
·j
(g αi )(Tαβ − λgαβ )(g βj ) = (g αi )(Tα·
− λgαj ) = (T ij − λg ij )
Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî ìàòðèöà îïåðàòîðà G íåâûðîæäåíà â ëþáîì áàçèñå, ò.ê.
Gu = u.
6
Çàäà÷à 6.
áàçèñ â
1
3
R
Ïóñòü
, òî çà
T ϕi = λi ϕi è âñå λi - ðàçëè÷íû. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ϕi êîáàçèñ â R3 ìîæíî ïðèíÿòü ñèñòåìó âåêòîðîâ ψ : T ∗ ψi =
µi ψi .
Ðåøåíèå.
T ∗ ϕi = aj ϕj ⇒ aj = T ∗ ϕi · ϕj = T ϕj · ϕi = λj ϕj · ϕi = λj δji ⇒ T ∗ ϕi = λi ϕi , ò.å.
µi = λi .
Çàäà÷à 7.
Ïóñòü âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà
(T ϕi = λi ϕi ).
Íàéòè ìàòðèöó
â
(T )
λi òåíçîðà T ðàíãà 2
áàçèñàõ ϕi è ψi (T ∗ ψi = µi ψi ).
- ðàçëè÷íû
Ðåøåíèå.
b = T a. ai λi ϕi = T ai ϕi = T a = b = bi ϕi ⇒ bi = ai λi ⇒


λ1 0 0
(Tij ) =  0 λ2 0  .
0 0 λ3
Àíàëîãè÷íî íàéäåì Tij â áàçèñå ψi (T ∗ ψi = µi ψi ), èç ñîîáðàæåíèé, ÷òî ϕi = αi ψi 2 .
Çàäà÷à 8.
Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé
âàðèàíòíîé êîìïîíåíòû òåíçîðà
T
αβ
äàòü îïðåäåëåíèå äëÿ
∇j Tαβ .
Ðåøåíèå.
∂ei
∂ei
· ej = −Γijm ⇒
= −Γijm · ej .
∂ym
∂ym
T = Tij (ei ⊗ ej ).
i
∂T
∂Tij i
∂e
∂ej
j
j
i
=
(e ⊗ e ) + Tij
⊗ e + Tij e ⊗
=
∂ym
∂ym
∂ym
∂ym
=
∂Tij i
(e ⊗ ej ) + −Γiαm Tij (ei ⊗ ej ) − Γjαm Tij (ei ⊗ eα ) =
∂ym
∂Tij i
(e ⊗ ej ) − Tαj Γαim (ei ⊗ ej ) − Tiα Γαjm (ei ⊗ ej ) =
∂ym
∂Tij
α
α
=
− Tαj Γim − Tiα Γjm (ei ⊗ ej ) = ∇m Tij (ei ⊗ ej )
∂ym
=
1Â
2Ñ
îðèãèíàëå çàäà÷à ïîñòàâëåíà íå ñîâñåì êîððåêòíî.
òî÷íîñòüþ äî ïåðåîáîçíà÷åíèÿ, ãäå
αi
- íåêòîðûå êîíñòàíòû.
7
∇j
îò êî-
⇒ ∇m Tij =
∂Tij
− Tαj Γαim − Tiα Γαjm .
∂ym
Ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé
Çàäà÷à 9.
âàðèàíòíîé êîìïîíåíòû òåíçîðà
T αβ
äàòü îïðåäåëåíèå äëÿ
∇j
îò êî-
∇j T·βα· .
Ðåøåíèå.
T = T·ji· (ei ⊗ ej );
∂T·ji·
∂ej
∂ei
∂T
i·
j
i·
j
=
(ei ⊗ e ) + T·j
⊗ e + T·j ei ⊗
=
∂ym
∂ym
∂ym
∂ym
∂T·ji·
(ei ⊗ ej ) + T·ji· Γαim (eα ⊗ ej ) − T·ji· Γjαm (ei ⊗ eα ) =
∂ym
i·
∂T·j
α· i
i· α
=
+ T·j Γαm − T·α Γjm (ei ⊗ ej )
∂ym
⇒
∇m T·ji·
∂T·ji·
i· α
=
+ T·jα· Γiαm − T·α
Γjm .
∂ym
Çàäà÷à 10.
Âûïèñàòü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ
∇i ∇j um
è
∇j ∇i um .
Ðåøåíèå.
∂uk
∇j u =
+ ul Γklj .
∂yj
k
∂(∇j um )
∇i (∇j u ) =
+ (∇j uk )Γm
ki =
∂yi
m
∂Γm
∂ 2 um
∂ul m
∂uk m
lj
l
=
+
Γlj + u
+
Γji + ul Γklj Γm
ki =
∂yj ∂yi ∂yi
∂yi
∂yj
∂Γm
∂uk m ∂uk m
∂ 2 um
kj
k
+
Γkj +
Γki + u
+ uk Γlkj Γm
=
li .
∂yj ∂yi
∂yi
∂yj
∂yi
Çàäà÷à 11.
Äîêàçàòü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñèìâîëîâ Êðèñòîôåëÿ:
2Γm
ij
=g
αm
∂gαj ∂gαi ∂gij
+
−
∂yi
∂yj
∂yα
Ðåøåíèå.
Èç ôîðìóëû
8
.
(5)
Γm
ij · em =
∂ei
∂yj
Ïîëó÷àåì:
∂(gij )
∂ei · ej
∂ei
∂ej
m
m
m
=
=
· ej + ei ·
= Γm
iα (em · ej ) + Γjα (ei · em ) = Γiα gmj + Γjα gim ;
∂yα
∂yα
∂yα
∂yα
(6)
∂(gαi )
∂(eα · ei )
m
(7)
=
= Γm
αj gmi + Γij gαm ;
∂yj
∂yj
∂(gαj )
∂(eα · ej )
m
=
= Γm
αi gmj + Γji gmα ;
∂yi
∂yi
(8)
Èç (6) + (7) − (8):
∂gαj ∂gαi ∂gij
+
−
;
=g
∂yi
∂yj
∂yα
∂gαj ∂gαi ∂gij
m
αm
⇒ 2Γij = g
+
−
.
∂yi
∂yj
∂yα
m
2Γm
ij em e
αm
Çàäà÷à 12.
Íàéòè ñèìâîëû Êðèñòîôåëÿ âòîðîãî ðîäà â öèëèíäðè÷åñêîé ñè-
ñòåìå êîîðäèíàò
(1).
Ðåøåíèå.
Γm
ij =
∂~ei
· ~e m .
∂yj
Èç (2), (3) è


1 0 0
(gαβ ) = 0 r2 0 ,
0 0 1
èìååì:
Γ221 = Γ212 =

1
αβ

(g ) = 0
0
0
1
r2
0

0
0
1
11
1
(2r) = ;
2
2r
r
1
Γ122 = (−2r) = −r;
2
Îñòàëüíûå ñèìâîëû ðàâíû íóëþ.
Çàäà÷à 13.
Âû÷èñëèòü
íàò
f : R3 → R1 ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà.
êîìïîíåíòû (∇f )m , m = 1, 2, 3 â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèÏóñòü
(1).
Ðåøåíèå.
9
(def )
(∇f )i =
∂f
∂yi
(∇f )m = g mi (∇f )i
îòñþäà:

∂f
= ∂f
(∇f )1 = ∂y

∂r

1

2
22 ∂f
(∇f ) = g ∂y2 =


 (∇f )3 = ∂f = ∂f
∂y3
∂z
1 ∂f
r2 ∂ϕ
Çàäà÷à 14.
Çàïèñàòü äèâåðãåíöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ
(div V~ ) â ïîëÿðíîé ñèñòå-
ìå êîîðäèíàò:
x1 = r cos θ,
x2 = r sin θ.
(9)
Ðåøåíèå.
grad F = ∇F, div F = tr(∇ F )
(def )
div V~ = ∇m V m ,
Γ221 =
1
r
∇m V m =
∂V m
+ V i Γm
mi
∂ym
( Γ222 = −r - íàì íå ïîòðåáóåòñÿ).
∇1 V 1 =
∂V 1
,
∂y1
∇2 V 2 =
Òîãäà:
div V~ =
∂V 2
1
+V1·
y2
r
∂V m V 1
+
.
∂ym
r
Çàäà÷à 15.
Çàïèñàòü äèâåðãåíöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ
ñèñòåìå êîîðäèíàò
(div V~ )
â öèëèíäðè÷åñêîé
(1).
Ðåøåíèå.
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé çàäà÷å:
∇3 V 3 =
m
1
∂V 3
~ = ∂V + V .
è div V
∂y3
∂ym
r
Çàäà÷à 16.
Çàïèñàòü äèâåðãåíöèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ
ñòåìå êîîðäèíàò:
10
(div V~ )
â ñôåðè÷åñêîé ñè-
x1 = r cos ϕ sin θ, 0 ≤ θ < π
x2 = r sin ϕ sin θ, 0 ≤ ϕ < 2π
(10)
x3 = r cos θ.


y1 = r
 y2 = θ 
y3 = ϕ
Ðåøåíèå.
Çàïèøåì âåêòîðû áàçèñà, êîáàçèñà è êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêèõ òåíçîðîâ äëÿ
ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò:






cos ϕ sin θ
r cos ϕ cos θ
−r sin ϕ sin θ
e1 =  sin ϕ sin θ  , e2 =  r sin ϕ cos θ  , e3 =  r cos ϕ sin θ  ;
(11)
cos θ
−r sin θ
0

cos ϕ sin θ
e1 =  sin ϕ sin θ  ,
cos θ
1

e2 =
r
1
r

cos ϕ cos θ
sin ϕ cos θ  ,
− 1r sin θ


1 0
0
0 ,
(gαβ ) = 0 r2
2
0 0 r sin2 θ


−r sin ϕ sin θ
1
e3 = 2 2  r cos ϕ sin θ  ;
r sin θ
0
(12)


1 0
0
αβ
1
;

0
0
(13)
(g ) =
r2
1
0 0 r2 sin2 θ
Èçâåñòíà ôîðìóëà:
1 mk ∂gmk
Γm
.
im = g
2
∂yi
 íàøåì ñëó÷àå:
1 mm ∂gmm
Γm
.
im = g
2
∂yi
Òîãäà:
1
11
(2r) = , Γ222 = Γ232 = 0
2
2r
r
1
1
1
1
1
2
Γ323 =
2 sin θ cos θr2 = ctg θ
=
2 2r sin θ = ,
2
2
2 r sin θ
r
2 r sin2 θ
Γ1i1 = 0,
Γ313
Γ212 =
Γ333 = 0
∇1 V 1 =
∇2 V 2 =
∇3 V 3 =
∂V 1
∂V 1
=
∂y1
∂r
∂V 2
1
∂V 2 V 1
+V1 =
+
∂y2
y1
∂θ
r
∂V 3
1
∂V 3 V 1
+ V 1 + V 2 ctg y2 =
+
+ V 2 ctg θ
∂y3
y1
∂ϕ
r
È îêîí÷àòåëüíî:
11
div V~ = ∇m V m =
V1
∂V m
+2
+ V 2 ctg θ.
∂ym
r
Çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) â
Çàäà÷à 17.
ïîëÿðíîé
(9)(öèëèíäðè÷åñêîé (1),
ñôåðè÷åñêîé
(10))
ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Ðåøåíèå.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) â äèôôåðåíöèàëüíîé
ôîðìå:
dρ
+ ρdiv V~ = 0
(14)
dt
Èç çàäà÷ (2.14), (2.15), (2.16):
dρ
∂V
V1
+ρ
+
= 0 (äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé è ïîëÿðíîé ñ.ê.)
dt
∂ym
r
m
dρ
∂V
V1
2
+ρ
+ V ctg θ = 0. (ñôåðè÷åñêàÿ)
+2
dt
∂ym
r
divP = 0, P = P ∗ â äåêàðòîâîé
êîìïîíåíòíóþ çàïèñü. Çäåñü P - òåíçîð ðàíãà
Êîìïîíåíòíàÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ
Çàäà÷à 18.
ñèñòåìå êîîðäèíàò. (ò.å. äàòü
äâà)
Ðåøåíèå.
def
(divP) · a = div(P ∗ a), ∀a ∈ V
div(P ∗ a) =
n
X
i=1
∇i
n
X
P mi am =
m=1
⇒ div(P)m =
n
X
n
X
m=1
i=1
n
X
!
∇i P mi
am ⇒
∇i P mi ;
i=1
Ò.ê. ∇i P mi =
∂P mi
∂yi
mβ i
+ P βi Γm
Γβi , òî äëÿ äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò:
βi + P
m
divP = 0 ⇔ (divP) = 0 ∀m ⇔
3
X
∂P mi
i=1
∂yi
= 0 ∀m.
Çàäà÷à 19.
Êîìïîíåíòíàÿ çàïèñü óðàâíåíèÿ
ñèñòåìå êîîðäèíàò
(9).
(Çäåñü
P
divP = 0, P = P ∗
- òåíçîð ðàíãà äâà)
Ðåøåíèå.
12
â ïîëÿðíîé
1
Γ221 = Γ212 = ,
r
Òîãäà:
∂P 11
,
∂y1
∇1 P 11 =
∇1 P 21 =
0=
∂P 21 1 21
+ P ,
∂y1
r
n
X
n
X
∂P 12
1
− rP 22 + P 11 ,
∂y2
r
∇2 P 22 =
∂P 22 1 12 1 21
+ P + P
∂y2
r
r
∇i P 1i =
1
∂P 11 ∂P 22
+
− rP 22 + P 11
∂y1
∂y2
r
∇i P 2i =
∂P 21 ∂P 22 1 11 2 21
+
+ P + P .
∂y1
∂y2
r
r
i=1
0=
∇2 P 12 =
Γ122 = −r.
i=1
Çàäà÷à 20.
Ïóñòü
óðàâíåíèå Ëàïëàñà:
u - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Çàïèñàòü
div grad(u) = 0 â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Ðåøåíèå.
 äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò grad(u): (grad(u))m = (grad(u))m =
m
div V~ = ∇m V m = ∂V . Òîãäà:
∂u
,
∂xm
à
∂xm
∂ 2u
0 = div(grad(u)) =
.
∂xm 2
Çàäà÷à 21.
Ïóñòü
óðàâíåíèå Ëàïëàñà:
u - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Çàïèñàòü
div grad(u) = 0 â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (9).
Ðåøåíèå.
Èç çàäà÷ (2.13) è (2.14)
(∇u)1 =
∂u
,
∂r
div V~ =
(∇u)2 =
1 ∂u
,
r2 ∂ϕ
∂V m V 1
+
.
∂ym
r
⇒ 0 = div(grad(u)) =
1 ∂ 2 u 1 ∂u
∂ 2u
+
+
.
∂r2 r2 ∂ϕ2 r ∂r
Çàäà÷à 22.
Ïóñòü
óðàâíåíèå Ëàïëàñà:
u - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Çàïèñàòü
div grad(u) = 0 â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (1).
13
Ðåøåíèå.

1
(g αβ ) = 0
0

0
∂u
0 , (∇u)m = g mi (∇u)i = g mi
∂yi
1
0
1
r2
0
∂u
1 ∂u
∂u
, (∇u)2 = 2
, (∇u)3 =
;
∂r
r ∂ϕ
∂z
(∇u)1 =
∂V m V 1
+
(èç çàäà÷è (2.15));
∂ym
r
div V~ =
0 = div(grad(u)) =
∂ 2u
1 ∂ 2 u ∂ 2 u 1 ∂u
.
+
+
+
∂r2 r2 ∂ϕ2 ∂z 2 r ∂r
Çàäà÷à 23.
Ïóñòü
óðàâíåíèå Ëàïëàñà:
u - ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Çàïèñàòü
div grad(u) = 0 â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (10).
Ðåøåíèå.
Èç çàäà÷è (2.16)

1
(g αβ ) = 0
0
(∇u)1 =
∂u
,
∂r
0
1
r2
0

0
0
1
r2 sin2 θ
(∇u)2 =
,
1 ∂u
,
r2 ∂ϕ
(∇u)m = g mi
(∇u)3 =
r2
∂u
;
∂yi
1
∂u
2
sin θ ∂z
∂V m
vm
~
div V =
+ v 2 ctg θ;
+2
∂ym
r
⇒ 0 = div(grad(u)) =
∂ 2u
1 ∂ 2u
1
∂ 2 u 2 ∂u ctg θ ∂u
+
+
+
+ 2
.
∂r2 r2 ∂ϕ2 r2 sin2 θ ∂z 2 r ∂r
r ∂ϕ
Çàäà÷à 24.
Ïóñòü
f, g
- ñêàëÿðíûå ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Äîêà-
çàòü, ÷òî:
∇(f g) = f ∇g + g∇f.
Ðåøåíèå.
(∇(f g))m =
∂(f g)
∂f
∂g
=
g+f
= (∇f )m g + f (∇g)m = (f ∇g + g∇f )m ⇒
ym
∂ym
∂ym
⇒ ∇(f g) = f ∇g + g∇f.
14
Çàäà÷à 25.
Ïóñòü
f
- ñêàëÿðíàÿ, à
~g
- âåêòîðàÿ ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãó-
ìåíòà. Äîêàçàòü, ÷òî:
∇(f~g ) = ~g ⊗ ∇f + f ∇~g .
Ðåøåíèå.
Äëÿ ~u:
def
∇~u = ∇j um (em ⊗ ej ) = ∇j um (em ⊗ ej );
∇(f~g ) = ∇j (f gm )(em ⊗ ej ) = (∇j f )gm (em ⊗ ej ) + f ∇j gm (em ⊗ ej ),
~g ⊗ ∇f = (gm em ⊗ ∇j f ej ) = gm ∇j f (em ⊗ ej ),
|{z}
∂f
∂yj
f ∇~g = f ∇j gm (em ⊗ ej ) ⇒
⇒ ∇(f~g ) = ~g ⊗ ∇f + f ∇~g .
Çàäà÷à 26.
~u
Ïóñòü
f~, ~u
- âåêòîðíûå ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãóìåíòà, ïðè÷åì
- ïîñòîÿííàÿ. Äîêàçàòü, ÷òî:
(∇f~)~u = div(f~ ⊗ ~u).
Ðåøåíèå.
Ôîðìóëû:
∇f~ = ∇j f m (em ⊗ ej )
div(f~ ⊗ ~u) =
n
X
!
∇j (f m uj ) em
j=1
Îòñþäà:
div(f~ ⊗ ~u) = ∇j (f m uj )em = uj ∇j f m em uj - êîíñòàíòà, ò.å. ∇j uj = 0
(∇f~)~u = ∇j f m (em ⊗ ej )~u = ∇j f m (~u · ~e j )em = ∇j f m uj em = uj ∇j f m em
Çàäà÷à 27.
Ïóñòü
f~, ~u
- âåêòîðíûå ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãóìåíòà. Äîêà-
çàòü, ÷òî:
∇(f~ · ~u) = [∇f~]∗~u + [∇~u]∗ f~.
Ðåøåíèå.
Ôîðìóëû:
15
∇f~ = ∇j fm (em ⊗ ej ),
Ñëåäîâàòåëüíî:
(T ∗ )ij = Tji (Tij = (T ej ei ) = (ej T ∗ ei ) = (T ∗ )ji )
(∇f~)∗ = ∇m fj (em ⊗ ej );
Òîãäà:
[∇f~]∗~u = (∇m fj )uj em ;
Àíàëîãè÷íî:
∇~u = ∇j um (em ⊗ ej ) ⇒ [∇~u]∗ = ∇j um (ej ⊗ em ) = ∇m uj (em ⊗ ej ).
T·ji· = (T ∗ )·ij·
[∇~u]∗ f~ = (∇m uj )fj em ,
def
f~ · ~u = fj uj ;
∇(f~·~u) = ∇m (f~·~u)em = ∇m (fj ·uj )em = (∇m f j )uj em +(∇m uj )fj em = [∇f~]∗~u+[∇~u]∗ f~.
Çàäà÷à 28.
Ïóñòü
ϕ
- ñêàëÿðíàÿ, à
f~
- âåêòîðíàÿ ôóíêöèè âåêòîðíîãî àðãó-
ìåíòà. Äîêàçàòü, ÷òî:
div(ϕf~) = f~ · grad ϕ + ϕ div f~.
Ðåøåíèå.
div(ϕf~) = ∇m (ϕf m ) = (∇m ϕ)f m +ϕ·∇m f m = (∇ϕ)m f m +ϕ·∇m f m = ∇ϕ·f~+ϕdiv f~.
Çàäà÷à 29.
Ïóñòü
T
- òåíçîðíàÿ, à
f~
- âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðíîãî àð-
ãóìåíòà. Äîêàçàòü, ÷òî
div(T f~) = (div T ∗ ) · f~ + tr(T grad f )
Ðåøåíèå.
div(T f~) = div(T ij (ei ⊗ej )(fm em )) = div(T ij fj ~ei ) = ∇i (T ij fj ) = (∇i T ij )fj +T ij ·(∇i fj );


(∇i T ij )fj = (∇i (T ∗ )ji )fj = (div T ∗ )j fj = div T ∗ · f~



i· αj
i·
αj
i·
~ β·
~ α·
T ij · (∇i fj ) = T ij (∇f~)ji = (T·α
g )(gjβ (∇f~)β·
·j ) = T·α (g gjβ )(∇f )·j = T·α (∇f )·i =



 = (T ∇f~)i··i = tr(T ∇f~).
16
2.2.
Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè.
Çàäà÷à 1.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè):
dρ
+ ρ div ~v = 0,
dt
ïðèâåñòè ê äèâåðãåíòíîìó âèäó:
∂ρ
+ div(ρ~v ) = 0.
∂l
Ðåøåíèå.
i
∂ρ
∂ρ
∂ρ i
∂v
dρ
i
j i
+ ρ div ~v =
+ ~v (∇ρ) + ρ · ∇i v =
+
v +ρ·
+ v Γji
=
dt
∂t
∂t
∂xi
∂xi
∂ρ
∂(ρv)i
∂ρ
j i
=
+
+ div(ρ~v ).
+ (ρv) Γji =
∂t
∂xi
∂t
Çàäà÷à 2.
ãäå
J
Äîêàçàòü, ÷òî
- ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ
∂J
= J div~v ,
∂t
V0 → V : dV = JdV0 .
Ðåøåíèå.

J =
∂
∂t
∂xi
∂ξj
∂x1
∂ξ1
 ∂x
det  ∂ξ12
∂x3
∂ξ1
∂
=
∂ξj
∂xi
∂t

∂x1
∂ξ2
∂x2
∂ξ2
∂x3
∂ξ2
=
∂x1
∂ξ3
∂x2 
∂ξ3 
∂x3
∂ξ3
∂vi
∂vi ∂xk
=
·
∂ξj
∂xk ∂ξj
Ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèèðîâàíèÿ îïðåäåëèòåëÿ è ïî ñâîéñòâàì îïðåäåëèòåëÿ:
⇒
∂J
∂v1
∂v2
∂v3
=
J +
J +
J == J div ~v .
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
Çàäà÷à 3.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
ρ
d~v
= div P
dt
ïðèâåñòè ê äèâåðãåíòíîìó âèäó:
17
(15)
∂(ρ~v )
= div (P − ρ~v ⊗ ~v ).
∂t
Ðåøåíèå.
∂
∂ρ
∂vi
= (ρvi ) − vi
∂t
∂t
∂t
∂vi
∂
∂
ρvj
=
(ρvi vj ) − vi
(ρvj )
∂xj
∂xj
∂xj
êîìïàêòíàÿ çàïèñü äèâåðãåíòíîãî óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè:
ρ
∂ρ
∂
+
(ρvj ) = 0
∂t ∂xj
Òàê æå:
ρ
⇒ρ
Îòñþäà:
(16)
dvi
∂vi
∂vi
=ρ
+ ρvj
dt
∂t
∂xj
dvi
∂
∂
= (ρvi ) +
(ρvi vj )
dt
∂t
∂xj
∂
∂(ρvi )
=
(Pij − ρvi vj )
∂t
∂xj
Âåëè÷èíû vi , vj - êîìïîíåíòû ñèììåòðè÷åñêîãî äèàäíîãî òåíçîðà (v ⊗ v).
⇒
∂(ρ~v )
= div[P − ρ(v ⊗ v)].
∂t
Çàäà÷à 4.
Êàêèå óñëîâèÿ îáåñïå÷èâàþò ñèììåòðè÷íîñòü
èñòèííûõ íàïðÿæåíèé â çàêîíå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
(P = P ∗ )
(15)?
Ðåøåíèå.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà:
Z
Z
Z
d
ρ(x × v)dV =
ρ(x × f )dV + (x × pn )dS
dt
V (t)
v(t)
S(t)
Ïóñòü F = ρf − ρa, ãäå a - óñêîðåíèå.
Z
Z
(x × F )dV + (x × pn )dS = 0
V
Z
Z
(x × pn )dS =
S
S
Z
(x × pxi cos (n[
, xi ))dS =
S
V
18
∂
(x × pxi )dV =
∂xi
òåíçîðà
Z =
Z ∂x
∂pxi
x×
× pxi dV +
dV =
∂xi
∂xi
V
V
Z
Z
(x × div P )dV
(qi × qj )pji dV +
=
V
V
Z
⇒
Z
[x × (div P + F )]dV +
V
(qi × qj )pji dV = 0
V
(qi × qi ) = 0, (qi × qj ) = −(qj × qi ) ⇒ (qi × qj )pji = (qi × qj )(pji − pij ), i < j
⇒ pij = pji
ò.å. P ∗ = P , ò.ê. div P + F = 0 - çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà.
Çàäà÷à 5.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè
dE
ρ
+ div~q = P · D,
dt
1X
P ·D =
pij
2 i,j
∂vi
∂vj
+
∂xj ∂xi
(17)
ïðèâåñòè ê äèâåðãåíòíîìó âèäó
∂(ρε)
+ div[~v (ρε + P) + ~q] = 0,
∂t
1
ε = E + |~v |2 .
2
Ðåøåíèå.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè:
Z
Z
Z
d
ρεdV =
~v pn dS +
qn dS
dt
V (t)
S(t)
(18)
S(t)
qn = −q · n - âåêòîð ïîòîêà òåïëà, pn = P · n. Òîãäà, ïî ôîðìóëå ÃàóññàÎñòðîãðàäñêîãî:
Z
Z
Z
dε
div(Pv)dV −
div q dV
ρ dV =
dt
V
V (t)
⇒
ρ dε
=ρ
dt
∂(ρε)
∂t
∂ρ
ε
∂t
=
∂ε
∂t
∂ε
+ vi ∂x
i
+ ρ ∂ε
∂t
V
dε
∂(ρε) ∂ρ
∂ε
− ε + ρvi
⇒ρ =
dt
∂t
∂t
∂xi
Òîãäà èç (14) (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû)
ρ
∂(ρε)
∂(ρε)
dε
∂ε
=
− div(ρ~v )ε + ρvi
=
+ div(ρ~v ε)
dt
∂t
∂xi
∂t
∂(ρε)
+ div[(ρε + P)~v + ~q ] = 0
∂t
19
Ïóñòü
Çàäà÷à 6.
εij
- êîìïîíåíòû ëèíåéíîãî òåíçîðà äåôîðìàöèé â äåêàð-
òîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
äåôîðìàöèé:
(i, k = 1, 2).
Äîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè
∂ε11 ∂ε22
∂ 2 ε12
+
=
2
∂x22
∂x21
∂x1 ∂x2
ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âåêòîðà ïåðåìåùåíèé
~u.
Ñ êàêèì ïðîèçâîëîì îïðåäåëÿåòñÿ ýòîò âåêòîð â äàííîì ñëó÷àå?
Ðåøåíèå.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïëîñêîé äåôîðìàöèè: ïðè òàêîé äåôîðìàöèè âåêòîð
óïðóãèõ ïåðåìåùåíèé ëåæèò â ïëîñêîñòè ïàðàëëåëüíîé îäíîé èç êîîðäèíàò2
1
= ∂u
= 0. Ïî îïðåäåëåíèþ:
íûõ ïëîñêîñòåé. Ïóñòü u3 = 0, ∂u
∂x3
∂x3
du1 =
du2 =
∂u1
dx1
∂x1
∂u2
dx1
∂x1
+
+
∂u1
dx2
∂x2
∂u2
dx2
∂x2
ε11 , ε22 - çàäàíû è
2 · ε12 =
1
= ε11 dx1 + ∂u
dx2 ;
∂x2
∂u2
= ∂x1 dx1 + ε22 dx2 .
∂u1 ∂u2
+
.
∂x2 ∂x1
Ïóñòü 2ω(ω1 , ω2 , ω3 ) = rot u - âåêòîð ïîâîðîòà.
2ω1 =
∂u3 ∂u2
∂u1 ∂u3
∂u2 ∂u1
−
, 2ω2 =
−
, 2ω3 =
−
.
∂x2 ∂x3
∂x3 ∂x1
∂x1 ∂x2
ω1 = ω2 = 0, ω3 6= 0
∂u1
∂u2
= ε12 − ω3 ,
= ε12 + ω3 .
∂x2
∂x1
⇒ du1 = ε11 dx1 + (ε12 − ω3 )dx2 ; du2 = (ε12 + ω3 )dx1 + ε22 dx2 .
Óñëîâèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà äëÿ dui äàþò:
∂ε12 ∂ε11 ∂ω3
∂ε22 ∂ε12
∂ω3
=
−
;
=
−
;
∂x1
∂x1
∂x2 ∂x2
∂x1
∂x2
⇒
∂ 2 ε12
∂ 2 ε12 ∂ 2 ε22
=
+
∂x1 ∂x2
∂x22
∂x21
Çàäà÷à 7.
Ïóñòü ñêàëÿðíîå, âåêòîðíîå èëè òåíçîðíîå ñâîéñòâî ïðåäñòàâëåíî
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Z
Aij (t) =
Bij (~x, t)dV,
V (l)
ãäå
V (t)
- îáúåì â ìîìåíò âðåìåíè t. Äîêàçàòü, ÷òî:
dAij
=
dt
Z ∂Bij
∂
+
(vm Bij ) dV.
∂t
∂xm
V (l)
20
Ðåøåíèå.
Z
D(x)
d
x→ξ
J =
=
Bij J (ξ, t)dV0 =
Bij (x, t)dV =
V → V0
D(ξ)
dt
Z
d
dt
v0
V (t)
Z
d
(Bij (ξ, t)J )dV0 =
dt
=
Z d
(Bij ) · J +
dt
d
J
dt
Bij dV0 =
V0
V0
dJ
=
= J div v
dt
Z =
d
(Bij )J + Bij J div v dV0 = [îáðàòíàÿ çàìåíà] =
dt
V0
Z =
Z d
∂Bij
∂Bij
(Bij (x, t)) + Bij div v dV =
+ vm
+ Bij div v dV =
dt
∂t
∂xm
V (t)
V (t)
Z =
∂Bij
∂
+
(vm Bij ) dV
∂t
∂xm
V (t)
Çàäà÷à 8.
Ïóñòü
- äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ,
f (~x(t), t)
Äîêàçàòü, ÷òî
Z
d
dt
Z
f (~x, t)ρdV =
V (l)
ρ(~x, t)
- ïëîòíîñòü.
df
ρdV.
dt
V (l)
Ðåøåíèå.
d
dt
Z
x→ξ
d
D(x)
=
= J =
f (ξ, t)ρJ dV0 =
V → V0
D(ξ) dt
Z
v0
v(t)
Z
=
d
(f ρJ )dV0 =
dt
v0
=
dρ
dt
dJ
dt
Z df
dρ
dJ
ρJ + f J + f ρ ·
dV0 =
dt
dt
dt
v0
= −ρdiv ~v
= J div ~v
Z
=
df
ρJ dV0 = |îáðàòíàÿ çàìåíà| =
dt
v0
Z
df
ρdV
dt
v(t)
Çàäà÷à 9.
Ïóñòü
d
dt
f (~x(t), t)
Z
Z
f (~x, t)dV =
V (t)
ãäå
S(t)
- äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòü, ÷òî
ãðàíèöà îáëàñòè
∂
f (~x, t)dV +
∂t
V (t)
V (t), ~n
Z
f
d~x
· ~ndS,
dt
S(t)
- âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê
21
S(t).
Ðåøåíèå.
Z
d
dt
Z
x→ξ
D(x)
d
J =
f (~x, t)J dV0 =
f (~x, t)dV = =
V → V0
D(ξ) dt
V0
V (t)
Z
=
d
(f · J )dV0 =
dt
Z Z d
dJ
(f )J + f
dt
dt
dV0 =
V0
V0
d
(f )J + f J div ~v dV0 =
dt
V0
= |îáðàòíàÿ çàìåíà| =
Z ∂f
+ f div ~v dV =
∂t
V (t)
Z
=
Z
∂f
dV +
∂t
V (t)
∂f
dV +
∂t
Z
f
Z
f~v~ndS =
S(t)
d~x
~ndS.
dt
S(t)
V (t)
Äîêàçàòü, ÷òî
Çàäà÷à 10.
ε123 = ~e1 · (~e2 × ~e3 ) =
ãäå
~ei , i = 1, 2, 3
- âåêòîðà áàçèñà,
q
det(gij ),
gij , i, j = 1, 2, 3
- êîâàðèàíòíûå êîìïîíåíòû
ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà.
Ðåøåíèå.
 
e1
2
2
2

ε123 = (~e1 (~e2 × ~e3 )) = det (e1 e2 e3 ) = det e2  det e1 e2 e3 =
e3
 

e1
p
= det e2  e1 e2 e3  = det(gij ) ⇒ ε123 = ± det gij .
e3
Ïóñòü
f (~x(t), t) - äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòü,
Z
Z d
df (~x, t)
f (~x, t)dV =
+ f div ~v dV.
dt
dt
Çàäà÷à 11.
V (t)
V (t)
Ðåøåíèå.
d
dt
Z
Z
x→ξ
D(x)
d
~ t)dV0 =
, J =
=
J f (ξ,
f (~x, t)dV = V → V0
D(ξ) dt
V0
V (t)
22
÷òî
Z
=
d
(f · J )dV0 =
dt
V0
Z =
Z d ~
~ t) dJ
f (ξ, t) · J + f (ξ,
dt
dt
dV0 =
V0
d ~
~ t) · J div ~v
f (ξ, t) · J + f (ξ,
dt
dV0 = |îáðàòíàÿ çàìåíà| =
V0
Z =
df (~x, t)
+ f div ~v dV.
dt
V (t)
∂u ∂u
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïðåíåáðå÷ü âåëå÷èíàìè ∂x i ∂xk ≈ o(δ 2 ), (äåj
l
êàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò) òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
Çàäà÷à 12.
ρ = ρ0 (1 − J1 (ε)),
ãäå
J1 (ε) = ε11 + ε22 + ε33 =
ïåðâûé âàðèàíò òåíçîðà äåôîðìàöèé
∂u1 ∂u2 ∂u3
+
+
∂x1 ∂x2 ∂x3
ε
Ðåøåíèå.
ρ
1
=
= J −1 ;
ρ0
J
∂ξi
∂xi
−1
⇒ J = det
J = det
∂ξj
∂xj
ρ0 = ρJ ⇒
xi = ξi + ui ⇒ ξi = xi − ui ⇒
J
−1
= det
1
1 − ∂u
∂u∂x1
= − ∂x12
− ∂u3
∂x1
∂u1
= 1−
1−
∂x1
∂ξi
∂xj
∂ui
∂ξi
= vij −
;
∂xj
∂xj
=
1
1 − ∂u
− ∂u
∂x2
∂x3 2
2 1 − ∂u
− ∂u
∂x2
∂x3 =
∂u3
∂u3 − ∂x2 1 − ∂x3
∂u2
∂u3
1−
+ O(v 2 ) =
∂x2
∂x3
∂u1 ∂u2 ∂u3
−
−
+ o(v 2 ) ≈ 1 − J1 (ε)
∂x1 ∂x2 ∂x3
ρ
⇒
= 1 − J1 (ε) ⇒ ρ = ρ0 (1 − J1 (ε)).
ρ0
1−
Çàäà÷à 13.
x3
(Äîïîëíèòåëüíî)  îñåñèììåòðè÷íîì ïîòîêå â íàïðàâëåíèè îñè
ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
x3
è
r,
ãäå
r2 = x21 + x22 .
Íàéòè, êàêîé âèä
ïðèíèìàåò óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû) (14), åñëè
23
~v = k~er + v3~e3
2.3.
Ñîîòâåòñòâèå çàäà÷ ê áèëåòàì.
1. (Áèëåò 1) - çàäà÷à 5 èç 2.2.
2. (Áèëåò 2) - çàäà÷à 3 èç 2.2.
3. (Áèëåò 3) - çàäà÷à 4 èç 2.2.
4. (Áèëåò 4) - çàäà÷à 7 èç 2.2.
5. (Áèëåò 5) - çàäà÷à 6 èç 2.2.
6. (Áèëåò 6) - çàäà÷à 8 èç 2.2.
7. (Áèëåò 7) - çàäà÷à 1 èç 2.2.
8. (Áèëåò 8) - çàäà÷à 12 èç 2.2.
9. (Áèëåò 9) - çàäà÷à 9 èç 2.2.
10. (Áèëåò 10) - çàäà÷à 11 èç 2.2.
11. (Áèëåò 12) - çàäà÷à 2 èç 2.2.
12. (Áèëåò 13) - çàäà÷à 26 èç 2.1.
13. (Áèëåò 14) - çàäà÷à 25 èç 2.1.
14. (Áèëåò 15) - çàäà÷à 17 èç 2.1. (äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé ñ.ê.)
15. (Áèëåò 16) - çàäà÷à 22 èç 2.1.
16. (Áèëåò 17) - çàäà÷à 21 èç 2.1.
17. (Áèëåò 18) - çàäà÷à 19 èç 2.1.
18. (Áèëåò 19) - çàäà÷à 29 èç 2.1.
19. (Áèëåò 20) - çàäà÷à 27 èç 2.1.
20. (Áèëåò 21) - çàäà÷à 17 èç 2.1. (äëÿ ñôåðè÷åñêîé ñ.ê.)
21. (Áèëåò 22) - çàäà÷à 18 èç 2.1.
22. (Áèëåò 23) - çàäà÷à 23 èç 2.1.
23. (Áèëåò 24) - çàäà÷à 20 èç 2.1.
24. (Áèëåò 25) - çàäà÷à 24 èç 2.1.
25. (Áèëåò 26) - çàäà÷à 28 èç 2.1.
26. (Áèëåò 27) - çàäà÷à 24 èç 2.1.
27. (Áèëåò 28) - çàäà÷à 6 èç 2.1.
28. (Áèëåò 29) - çàäà÷à 23 èç 2.1.
29. (Áèëåò 30) - çàäà÷à 7 èç 2.1.
30. (Áèëåò 31) - çàäà÷à 9 èç 2.2.
24