О влиянии подъемной силы Магнуса на движение частиц в

Î âëèÿíèè ïîäúåìíîé ñèëû Ìàãíóñà
íà äâèæåíèå ÷àñòèö â ïîòîêå ãàçîâçâåñè
ßöåíêî Â. Ï., Øðàéáåð À. À.
Èíñòèòóò ïðîáëåì ýíåðãîñáåðåæåíèÿ ÍÀÍ Óêðàèíû, ã. Êèåâ
Ïðè äâèæåíèè â ïîòîêå ãàçîâçâåñè ÷àñòèöû, â îñîáåííîñòè äîñòàòî÷íî
êðóïíûå, ïðèîáðåòàþò èíòåíñèâíîå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå. Îñíîâíûìè
ïðè÷èíàìè ýòîãî ÿâëÿþòñÿ íåïðàâèëüíàÿ ôîðìà ÷àñòèö, ãðàäèåíò ñêîðîñòè
íåñóùåé ñðåäû, ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèö ìåæäó ñîáîé, ñî ñòåíêàìè êàíàëà è äð.
 ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ ÷àñòèö âîçíèêàåò ñèëà Ìàãíóñà, âåëè÷èíà êîòîðîé
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
r
r
r
F = C ρg (δ / 2 )3 Ω r × U r ,
r
r
r
ϕ r = ϕ g − ϕ p (ϕ = Ω ,U ),
(1)
r r
ãäå U ,Ω - ïîñòóïàòåëüíàÿ è óãëîâàÿ ñêîðîñòè, r - ïëîòíîñòü, d - äèàìåòð
÷àñòèöû, âåëè÷èíû ñ èíäåêñàìè g, p îòíîñÿòñÿ ê ãàçó è ÷àñòèöàì. Íà îñíîâàíèè
àíàëèçà ðàçìåðíîñòåé ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ãëàäêèõ øàðîîáðàçíûõ ÷àñòèö
â íåñæèìàåìîé ñðåäå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà Ñ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ
äâóìÿ êîìïëåêñàìè, íàïðèìåð, ÷èñëàìè Ðåéíîëü-äñà ReU = Ur d/n, ReΩ =
Ωr d 2/n (n - êîýôôèöèåíò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè). Ïðè ReU ® 0, ReΩ ®
0 èçâåñòíîå òåîðåòè÷åñêîå ðåøåíèå [1] äàåò Ñ = p, â äðóãîì êðàéíåì ñëó÷àå
ReU ® ¥, ReΩ ® ¥ ñîãëàñíî [2] Ñ =8p/3. Äëÿ ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé Re
òåîðåòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè íå ïîëó÷åíû, îäíàêî èçâåñòåí
ðÿä ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðàáîò [3-9].  ýòèõ ðàáîòàõ çíà÷åíèå F îáû÷íî
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
F = 0 ,5 π C L ρ g (δ /2)2 U r2
(2)
è îïûòíûå äàííûå ïðåäñòàâëÿþòñÿ â êîîðäèíàòàõ Γ - CL , ãäå
à = 2 ReΩ / ReU . Ïî íàøåìó ìíåíèþ, òàêàÿ îáðàáîòêà äàííûõ íåóäîáíà, ò.
ê. êîýôôèöèåíò Ñ áîëåå êîíñåðâàòèâåí, è åãî îïðåäåëåíèå ïðîùå.
Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû [3-8] â êîîðäèíàòàõ ReΩ - Ñ ; ïîñêîëüêó â
ýòèõ ðàáîòàõ èçìåðåíèÿ ïðîâåäåíû â íåêîòîðûõ äèàïàçîíàõ ReΩ , à çíà-÷åíèÿ
Ñ ïîëó÷åíû
ñ îïðåäåëåííîé ïîãðåøíîñòüþ, çàâèñèìîñòè Ñ( ReΩ )
ïðåäñòàâëåíû â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêîâ 1-9 (çäåü ReU ~ 20, 4000, 20, 50, 100,
1000, 13000, 2300 è 2300 ñîîòâåòñòâåííî). Àíàëèç ýòèõ äàííûõ ïîçâîëÿåò
63
ñäåëàòü íåêîòîðûå âûâîäû. (1) Èçìåðåíèÿ íå ïîäòâåðæäàþò ðåøåíèå [2] äëÿ
áîëüøèõ ReΩ , ReU - êîýôôèöèåíò Ñ áûñòðî óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì
âðàùàòåëüíîãî ÷èñëà Ðåéíîëüäñà. (2) Ðÿä îáëàñòåé çíà÷åíèé ReΩ , ReU
ïðàêòè÷åñêè íå èçó÷åí. (3) Ïðè íèçêèõ ReU êîýôôèöèåíò Ñ óáûâàåò ñ
ðîñòîì ReU , â òî âðåìÿ êàê ïðè áîëüøèõ ReU ýòà çàâèñèìîñòü
ïðîòèâîïîëîæíà. (4) Íåêîòîðûå äàííûå ( íàïðèìåð, [6]), íåëüçÿ ïðèçíàòü
íàäåæíûìè, ò. ê. ìåòîä èçìåðåíèÿ îáëàäàåò íèçêîé ðàçðåøàþùåé
ñïîñîáíîñòüþ. Íàøè ðàñ÷åòû, ïðîâåäåííûå ïðè óñëîâèÿõ îïûòîâ [6], ïîêàçàëè,
÷òî ðàñõîæäåíèå ìåæäó òðàåêòîðèÿìè ÷àñòèö ïðè Ñ = 0 ¸ p ñóùåñòâåííî ìåíüøå
ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèé.
C /π
1
10
2
0.8
Íîìåð
ïðÿìîóãîëüíèêà
1
2
3-5
6
7
8,9
0.4
0
0.1
0
Ññûëêà
[5]
[7]
[8]
[6]
[3]
[4]
1
3
11
4
5
10
100
7
6
8
1000
103
4
10000
10
12
9
ReΩ
100000
Ðèñ.1.
Åäèíñòâåííàÿ ïîïûòêà îáîáùèòü ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë
ïðåäïðèíÿòà â [9]. Íà îñíîâàíèè äàííûõ [4,6,7] è ðåçóëüòàòîâ ñîáñòâåííûõ
èçìåðåíèé ïîëó÷åíà ôîðìóëà
C = 6.05 πReΩ-0,39
(100< ReΩ < 36000),
(3)
íåäîñòàòêîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå ó÷åòà âëèÿíèÿ ReU . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòîé çàâèñèìîñòè áûëè ïðîâåäåíû îïûòíûå èññëåäîâàíèÿ ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ âðàùàþùåãîñÿ ñôåðè÷åñêîãî òåëà. Ïëàñòìàññîâûå ïîëûå èëè
ñïëîøíûå øàðèêè ðàçëè÷íûõ ðàçìåðîâ ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî óñòðîéñòâà
ïðèâîäèëèñü âî âðàùåíèå ñ íåêîòîðîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω p0 è ïàäàëè â
ïîêîÿùåìñÿ âîçäóõå. Çíà÷åíèå Ω p0 èçìåðÿëîñü â ñòðîáîñêîïè÷åñêîì îñâåùåíèè ïî ìåòêå, íàíåñåííîé íà ïîâåðõíîñòü øàðèêà. Èçìåðÿëàñü àáñöèññà x°
64
òî÷êè ïàäåíèÿ ÷àñòèö, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò âåðòèêàëè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç èõ
öåíòð â íà÷àëüíûé ìîìåíò.  óñëîâèÿõ îïûòîâ åäèíñòâåííîé ïðè÷èíîé
óêëîíåíèÿ ÷àñòèö îò âåðòèêàëè ÿâëÿåòñÿ ýôôåêò Ìàãíóñà, ò.å. äàííûé ìåòîä
( â ñðàâíåíèè, íàïðèìåð, ñ [6]) èìååò âûñîêóþ ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü.
Çíà÷åíèå x° îïðåäåëÿëîñü òàêæå ïóòåì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû ëàãðàíæåâûõ óðàâíåíèé ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ
÷àñòèö.  óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ íå ó÷èòûâàëèñü ýôôåêò ïðèñîåäèíåííîé
ìàññû, ãðàäèåíò äàâëåíèÿ è ñèëà Áàññå, êîòîðûå, êàê ïîêàçàëè îöåíêè, â
äàííûõ óñëîâèÿõ çàâåäîìî ìàëû. Óðàâíåíèÿ èìåþò âèä [10]
a = πδ 2ρg U p C R / 8
m dup / dt = − aup + bvpΩ p ;
(4)
m dvp / dt = − avp − bupΩ p + mg ; b = C ρgδ 3/ 8
(5)
IdΩ p / dt = −C Ω ρgδ 5 Ω p2 / 64 ,
(6)
ãäå up ,vp - ãîðèçîíòàëüíàÿ è âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè, t - âðåìÿ,
Ñ R - êîýôôèöèåíò àýðîäèíàìè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, m, I, ìàññà è ìîìåíò
èíåðöèè ÷àñòèöû, g - óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè, C W - êîýôôèöèåíò
ñîïðîòèâëåíèÿ âðàùåíèþ (âû÷èñëÿåòñÿ ñîãëàñíî [11]). Ñèñòåìà (4)-(6)
èíòåãðèðîâàëàñü
÷èñëåííî
ñ
íà÷àëüíûìè
óñëîâèÿìè
t = 0 , up = 0 , v p = 0 , Ω p = Ω p 0 , è äëÿ êàæäîãî îïûòà ïîäáèðàëîñü
òàêîå çíà÷åíèå Ñ â (1), êîòîðîå îáåñïå÷èâàëî íàèëó÷øåå ñîâïàäåíèå îïûòíûõ
è ðàñ÷åòíûõ àáñöèññ x°.  êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 2 ïîêàçàíû òðàåêòîðèè
äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, ïîñòðîåííûå ïðè «ýêñïåðèìåíòàëüíûõ» çíà÷åíèÿõ Ñ
(ñïëîøíûå ëèíèè) è Ñ = p (øòðèõîâûå ëèíèè); êðèâûå 1, 2, 3 ñîîòâåòñòâóþò
Wð0 = 36, 220 è 386 ñ-1.
x, ì
y, ì
Ðèñ. 2.
Èç ýòèõ äàííûõ âèäíî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ
èñïîëüçîâàíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ [1] ïðèâîäèò íå òîëüêî ê
êîëè÷åñòâåííûì, íî è ê ñóùåñòâåííûì êà÷åñòâåííûì èñêàæåíèÿì ðåàëüíîé
êàðòèíû äâèæåíèÿ ÷àñòèö: íà÷èíàÿ ñ îïðåäåëåííîãî ìîìåíòà, îíè äâèæóòñÿ ïðàêòè÷åñêè ãîðèçîíòàëüíî.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî çà âðåìÿ ïàäåíèÿ øàðèêà ïîñòóïàòåëüíîå ÷èñëî
Ðåéíîëüäñà ìåíÿëîñü îò 0 äî êîíå÷íûõ çíà÷åíèé ~ 104. Ïîýòîìó äëÿ îáðàáîòêè
îïûòíûõ äàííûõ íåîáõîäèìî âûáðàòü íåêîòîðîå ñðåäíåå çíà÷åíèå ReU . Äëÿ
65
ýòîãî èñïîëüçóåì ñëåäóþùèé ïðèåì. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçàëè, ÷òî çà
âðåìÿ ïàäåíèÿ øàðèêà óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìåíÿåòñÿ íå áîëåå ÷åì íà 3%, âëèÿíèå
ñèëû Ìàãíóñà íà åãî âåðòèêàëüíîå äâèæåíèå ìàëî è uð<<vð. Ïîýòîìó, îïóñêàÿ
âòîðîé ÷ëåí ïðàâîé ÷àñòè (5) è ïîëàãàÿ Wð » const, U p » vp , CR » const, ëåãêî
ïîëó÷èòü ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå (4) - (5).
up = A [1-1 /ch(gt/ w )];
y = (w
2
v p = w th(gt/ w );
A = C Ω pδ / (π C R )
(7)
/g )lnch(gt/w ); x = A {t − (w /g )[2arctgexp(gt/ w )-π /2]},
ãäå w - ñêîðîñòü âèòàíèÿ ÷àñòèöû. Ñðàâíåíèå ñêîðîñòåé è êîîðäèíàò ÷àñ-òèöû,
íàéäåííûõ ÷èñëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì (4) - (6), ñ îäíîé ñòîðîíû, è
âû÷èñëåííûõ ïî ôîðìóëàì (7), ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ óñëîâèé
îïûòîâ ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó íèìè íå áîëåå 2-3%. Òåïåðü â óðàâíåíèè (4)
äîïîëíèòåëüíî ïîëàãàåì vp » const = ⟨v p ⟩ , òîãäà åãî ðåøåíèå ïðèìåò âèä
up = A [1-exp(-g ⟨v p ⟩ t / w 2)];
(8)
x = A {t − w 2(g ⟨v p ⟩ )-1[1-exp(-g ⟨v p ⟩ t / w 2)]}
Ïðèðàâíèâàÿ çíà÷åíèÿ x°, âû÷èñëåííûå èç (7) è (8), íàõîäèì íåêóþ
ýêâèâàëåíòíóþ ⟨v ⟩ , êîòîðàÿ äàåò òî æå óêëîíåíèå x° , ÷òî è ðåàëüíàÿ
p
ïåðåìåííàÿ vp ( t ).
Ïîëó÷åííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1 â
âèäå ïðÿìîóãîëüíèêîâ 10 -12 (çäåñü ReU ~ 3000, 3600 è 5200). Ýòè äàííûå
ñîâìåñòíî ñ íàèáîëåå íàäåæíûìè ðåçóëüòàòàìè èç ëèòåðàòóðû îáðàáàòûâàëèñü ðàçäåëüíî äëÿ îáëàñòåé ReU
< 120 è ReU > 1000, ãäå õàðàêòåð
çàâèñèìîñòè Ñ ( ReU ) ðàçëè÷åí (ñì. âûøå).  èòîãå ïîëó÷åíû ôîðìóëû
R|
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
|S
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
||
T
2 ,81Re−0, 208Re−U0 ,344 , 0,24< ReΩ < 103,
Ω
'
Re<
U
ReU < 120
C
0,94,
< 260,
2000<
Re
ReU < 6000 (9)
Ω
=
π
19,5Re−0,846 ReU0 ,438 , 2 < ReΩ ⋅ 10-3 < 38, 1000< ReU < Re'U'
Ω
Re'U = max(20,2Re−Ω0, 605, 1); Re'U' = min(1690+ 0,535ReΩ , 1,4 ⋅ 104 )
66
Ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè (9) âûïîëíåíû èññëåäîâàíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé
äâèæåíèÿ è îñàæäåíèÿ ÷àñòèö â ïëîñêîì ãîðèçîíòàëüíîì êàíàëå. Çàäà÷à
ðåøàëàñü â äâóìåðíîé ëàãðàíæåâîé ïîñòàíîâêå. Èñõîäíûå óðàâíåíèÿ
çàïèñûâàëèñü àíàëîãè÷íî (4) - (6). Ïîëå ñêîðîñòåé ãàçà ìîäåëèðîâàëîñü
1/7
*
*
èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì ug = ug (2 y /H ) , ãäå ug - ïðîäîëüíàÿ ñêîðîñòü
ãàçà íà îñè êàíàëà, y - ðàññòîÿíèå îò ñòåíêè, H - âûñîòà êàíàëà. Ïîïåðå÷íàÿ
ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ãàçà ïðèíèìàëàñü ðàâíîé íóëþ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
'
' '
çàìûêàëèñü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé äëÿ up ,v p ,Ω p , õàðàêòåðèçóþùèõ
âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö ñî ñòåíêîé êàíàëà
u'p = (5 + 2 kτ )up / 7 ± (kτ − 1)δΩ p / 7; v'p = knv p .
(10)
Ω'p = (5 kτ + 2 )Ω p / 7 m 10up (1 − kτ )/7δ
(11)
Çäåñü kn , kt -êîýôôèöèåíòû âîññòàíîâëåíèÿ íîðìàëüíîé è òàíãåíöèàëüíîé
ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè ïðè óäàðå, âåëè÷èíû ñî øòðèõîì ñîîòâåòñòâóþò
äâèæåíèþ ïîñëå óäàðà î ñòåíêó, íèæíèé çíàê îòíîñèòñÿ ê ñîóäàðåíèþ ñ íèæíåé
ñòåíêîé (äíîì) êàíàëà, âåðõíèé - ñ âåðõíåé. Âëèÿíèå d ug dy íà èçìåíåíèå
Ω íå ó÷èòûâàëîñü. Ðàñ÷åòû âûïîëíåíû äëÿ d = 1,9.10-3ì, ρ ρ = 1000,
p
p
g
ug* = 20 ì/ñ, kn = = - 0,62, kt = 0,33, H = 0,1 ì.. Ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ÷àñòèöû
ââîäÿòñÿ â òî÷êó íà îñè êàíàëà ïðè Wp = 0, up, = 0,vp = 0.
Íà ðèñ. 3 â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîêàçàíû òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ÷àñòèö ñ
ó÷åòîì èõ âðàùåíèÿ (ñïëîøíûå ëèíèè) è áåç ó÷åòà âðàùåíèÿ (øòðèõîâûå
ëèíèè) . Çäåñü Y = 2y / H, X = 2x / H. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ïðè âûáðàííîé
ñêîðîñòè ãàçà âðàùàþùèåñÿ ÷àñòèöû ïåðåìåùàþòñÿ âäîëü êàíàëà, ñîâåðøàÿ
ñêà÷êîîáðàçíîå äâèæåíèå îò äíà ê ïîòîëêó è îáðàòíî. Åñëè æå â óðàâíåíèÿõ
äâèæåíèÿ âðàùåíèå íå ó÷èòûâàòü, òî ÷àñòèöû ïðè Õ > 50 îñåäàþò íà äíî
êàíàëà, ñîâåðøèâ äî ýòîãî íåñêîëüêî çàòóõàþùèõ «ñêà÷êîâ». Ýòè ðåçóëüòàòû
ñîãëàñóþòñÿ ñ èçâåñòíûìè îöåíêàìè, ïðèâåäåííûìè â [12].
Y
2.0
1.0
0.0
0.0
20.0
40.0
Ðèñ.3.
67
X
Âûâîäû. Íà îñíîâàíèè îáðàáîòêè íàèáîëåå íàäåæíûõ îïûòíûõ äàííûõ
ïîëó÷åíû îáîáùàþùèå ôîðìóëû (9), ïîçâîëÿþùèå âû÷èñëèòü âåëè÷èíó ñèëû
Ìàãíóñà ïðè óìåðåííûõ è âûñîêèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà. Ïîêàçàíî, ÷òî ýôôåêò
Ìàãíóñà îêàçûâàåò áîëüøîå âëèÿíèå íà äâèæåíèå è âçâåøèâàíèå ÷àñòèö â
ïîòîêàõ ãàçîâçâåñè.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå INTAS (ãðàíò ¹ 94 - 4348)
Ëèòåðàòóðà
1. Rubinow S.I., Keller J.B. The transverse force on a spinning sphere moving in a
viscous fluid// J. Fluid Mech., 1961. V.11, P. 447-459.
2. Íèãìàòóëèí Ð. È. Äèíàìèêà ìíîãîôàçíûõ ñðåä. ×. 1.- Ì.: Íàóêà, 1987.-464 c.
3. Äåìåíòüåâ Ì. À. Òðàíñïîðòèðîâàíèå îäèíî÷íîãî òâåðäîãî òåëà íåîäíîðîäíûì ïîòîêîì æèäêîñòè // Èçâ. ÂÍÈÈÃ, 1955, âûï. 54, C. 3-26.
4. Barkla H.M., Auchterlonie L.J. The Magnus or Robins effect on rotating spheres // J.
Fluid Mech., 1971. V. 47, P. 437-447.
5. Oesterle B. Repartitions de concentration dans un écoulement gaz-solide. Origine et
influence des forces de portance // C. R. Acad. Sci. Paris, 1979. V. B288, ¹ 10, P.
167-170.
6. Öóäçè, Ìîðèêàâà, Ìèäçóíî. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçìåðåíèå ñèëû Ìàãíóñà
äëÿ âðàùàþùåãîñÿ øàðà ïðè ìàëûõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà // Òåîðåò. îñíîâû
èíæ. ðàñ÷åòîâ, 1985, ¹ 4. C. 254-261.
7. Yamamoto F. A study of motion of a sphere in air flow through a horizontal pipe
// Bull. JSME, 1986. V. 29, ¹ 253, P. 2055 - 2061.
8. Oesterle B., Dinh Tri B., Vial J.L. Measurements of lift and torque on a rotating sphere
at intermediate Reynolds numbers // Mech. Res. Commun., 1991. V. 18, P. 145-150.
9. ßöåíêî Â.Ï., Íàóìîâ Â.À., Ñîëîìåíêî À.Ä. Î êîýôôèöèåíòå â ôîðìóëå äëÿ
ñèëû Ìàãíóñà ïðè áîëüøèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà // Ìîäåëèðîâàíèå â ìåõàíèêå,
1992. T. 6, ¹ 4, C. 150 - 156.
10. Øðàéáåð À.À., Ãàâèí Ë.Á., Íàóìîâ Â.À., ßöåíêî Â.Ï. Òóðáóëåíòíûå òå÷åíèÿ
ãàçîâçâåñè. -Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1987.
11. Dennis S. C. R., Singh S. N., Ingham D. B. The steady flow due to a rotating
sphere at low and moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech., 1980. V. 101,
¹ 2, P. 257-279.
12. Øðàéáåð À.À., Ìèëþòèí Â. Í., ßöåíêî Â.Ï. Ãèäðîìåõàíèêà
äâóõêîìïîíåíòíûõ ïîòîêîâ ñ òâåðäûì ïîëèäèñïåðñíûì âåùåñòâîì. -Êèåâ:
Íàóê. äóìêà, 1980.
68