О РАССТОЯНИИ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ НУЛЯМИ

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2014, том 57, №4
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Ш.А.Хайруллоев
О РАССТОЯНИИ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ НУЛЯМИ ПРОИЗВОДНОЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА ФУНКЦИИ ХАРДИ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 15.01.2014 г.)
В работе методом оптимизации экспоненциальных пар найдена нижняя грань длины промежутка критической прямой, в которой содержится нуль нечётного порядка производной первого
порядка функции Харди.
Ключевые слова: функция Харди – экспоненциальная пара – дзета-функция Римана – критическая
прямая.
Функция Харди Z (t ) задаётся равенством
1
Z (t )  e
it   1 it 
 it  1
1

   it   ei ( t )   2         
2

4 2 4 2
i ( t )
принимает вещественные значения при вещественных значениях t и вещественные нули Z (t ) являются нулями  ( s ) , лежащими на критической прямой.
Первым результатом о нулях дзета-функции Римана  ( s ) на критической прямой является
теорема Г.Харди [1]. В 1914 г. он доказал, что  (1  2  it ) имеет бесконечно много вещественных
нулей. Затем Харди и Литтлвуд [2] в 1921 г. доказали, что промежуток (T  T  H ) при H  T 1 4
содержит нуль нечётного порядка  (1  2  it ) . Ян Мозер [3] в 1976 г. доказал, что это утверждение
имеет место при H  T 16 ln2 T . В 1981 г. А.А.Карацуба [4] доказал теорему Харди–Литллвуда уже
при H  T 532 ln2 T .
В работе [5] задачу о величине промежутка (T  T  H ) критической прямой, в которой содержится нуль нечётного порядка дзета-функции, сведена к проблеме отыскания экспоненциальных
пар для оценки специальных тригонометрических сумм, то есть: пусть (k  l ) – произвольная экспоненциальная пара, отличная от (1  21  2) ,
1
1

 (k  l )  1 

2
2   1 (k  l )

1

1 (k  l ) 
l

0.5  k
(1)
Адрес для корреспонденции: Хайруллоев Шамсулло Амруллоевич. Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул. Айни, 299//4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
263
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №4
тогда промежуток (T  T  H ) , при T  T0  0 , H  T  ( k l )ln 2T содержит нуль нечётного порядка
дзета-функции Римана.
 (k  l )
Заметим, что минимизация
равносильна минимизации
1 (k  l )
и теорема
5 32
ln 2 T является следствием соотношения (1) при
А.А.Карацубы с H  T
 1 11 
 1 11  11
(k   )      AAB(0 1) 1      1.8 (3),
 14 14 
 14 14  6
 1 11  5
 
 015625
 14 14  32

В работе [6] найдена следующая нижняя грань величины 1 (k  l ) по
– множеству всех
экспоненциальных пар (k  l ) , отличных от (1  21  2) :
inf 1 (k  l )  R  1
( k l )
где R  08290213568591335924092397772831120… – постоянная Ранкина, то есть найдена нижняя грань длины промежутка критической прямой, в которой содержится нуль нечётного порядка
дзета-функции, и выражена она через константу Ранкина.
А.А.Карацуба [4] вместе с задачей о соседних нулях функции Z (t ) также изучил задачу о соседних точках экстремума или точках перегиба функции Z (t ) или в более общей подстановке – о
соседних нулях функции Z ( j ) (t ) , j  1 . Он показал, что с увеличением j длина промежутка, на котором заведомо лежит нуль Z ( j ) (t ) , уменьшается и доказал:
Теорема 1. Пусть j – натуральное число, T  T0 ( j )  0 . Тогда промежуток (T  T  H ) при
1
2
H  cT 6 j 6 (ln T ) j 1 
c  c( j )  0
содержит нуль нечётного порядка функции Z ( j ) (t ) .
В работе [7] задача о величине промежутка (T  T  H ) критической прямой, в которой заведомо лежит нуль нечётного порядка функции Z ( j ) (t ) ( j  1) , сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки тригонометрических сумм, то есть:
Теорема 2. Пусть (k  l ) – произвольная экспоненциальная пара, j – натуральное число,
1
2
 j (k  l )   1 

Тогда при H
T
 j ( k l )


2   (k  l ) 
1
1
j
2
 j (k  l ) 
l j

0.5  k  j
(ln T ) j 1 , T  T0 ( j )  0 промежуток (T  T  H ) содержит нуль нечётного
порядка функции Z ( j ) (t ) .
264
Математика
Ш.А.Хайруллоев
6 3
Заметим, что  j 1  2 
1 , то есть теорема А.А.Карацубы является следствием теоремы
6j6
6 3
2 при (k  l )  1  2 . В частности, при j  1 имеем
1 2
1
1     
 6 3  12
(2)
Автору удалось методом оценки специальных тригонометрических сумм Вандер Корпута,
методом оптимизации экспоненциальных пар [8] в сочетании с методами работ [6,9,10] доказать следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть
1
– множество всех экспоненциальных пар (k  l ) и
1 ( k  l ) 
l 1

k  1.5
Тогда
35
 13 75 
inf 1 (k  l )  1 

1


( k l )P1
 106 106  146
где
 13 75 
2
21 1


  ABA BA    
 106 106 
2 2
Следствие 1. Пусть
1
– множество всех экспоненциальных пар (k  l ) , тогда
1
6
 13 75  35
inf 1 (k  l )  1 

 


 106 106  432 12 2592
( k l )P1
Отметим, что последний результат является уточнением соотношения (2), являющимся следствием теоремы 1, принадлежащей А.А.Карацубе.
Поступило 15.01.2014 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Hardy G.H. Sur les zeros de la fonction ζ(s) de Riemann. – Compt.Rend. Acad.Sci–1914.–v.158.–P.1012
– 1014.
2. Hardy G.H., Littlewood J.E. The zeros of Riemann’s zeta–function on the critical line. — Math.Z.–
1921.–Bd 10.–S.283 – 317.
3. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана. — Acta arith., 1976, 31, S. 31 – 43.
4. Карацуба А.А. О расстоянии между соседними нулями дзета–функции Римана, лежащими на критической прямой. — Труды МИАН. 1981.–т. 157.С.49 – 63.
5. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями дзета–функции Римана,
лежащими на критической прямой. — ДАН РТ, 2006, т. 49, №5, стр. 393 – 400.
265
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2014, том 57, №4
6. Рахмонов З.Х., Хайруллоев Ш.А. Соседние нули дзета-функции Римана, лежащие на критической
прямой. — ДАН РТ, 2009, т. 52, №5, стр. 331 – 337.
7. Хайруллоев Ш.А. Расстояние между соседними нулями функции Z(j)(t), j ≥1. — ДАН РТ, 2006,
т. 49, №9, стр. 803 – 809.
8. Graham S.W. Kolesnik G. Vander Corput’s Method of Exponential sums. — Cambridge university press.
1991, Cambridge, New Vork, Port Chester, Melbourne, Sydney.
9. Рахмонов З.Х. Оценка плотности нулей дзета-функции Римана. — Успехи математических наук,
1994, т. 49, №2, с. 161 – 162.
10. Рахмонов З.Х. Нули дзета-функции Римана в коротких промежутках критической прямой. — Чебышевский сборник. 2006. Т. 7. В. 1. С. 263 – 279.
Ш.А.Хайруллоев
ОИДИ НУЛЊОИ ЊАМСОЯИ ЊОСИЛАЊОИ ТАРТИБИ ЯКЎМИ
ФУНКСИЯИ ХАРДИ
Институти математикаи ба номи А.Љӯраеви Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон
Бо истифода аз методи оптималии љуфтњои экспоненсиалї сарњади поёнии дарозии
порчањои хати рости критикї, ки дорои нули тартиби тоќи њосилањои тартиби якуми функсияи
Харди мебошанд, ёфта шудааст.
Калимањои калидї: функcияи Харди – љуфтњои экспоненсиалї – дзета-функсияи Риман – хати
рости критикї.
Sh.A.Khayrulloev
ON THE DISTANCE BETWEEN CONSECUTIVE ZEROS OF THE FIRST ORDER
DERIVATIVE OF THE HARDY FUNCTION
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The lower bound of the gap length in the critical line, which includes the odd-order zero of the first
derivative of Hardy function, is found by the method of optimization of exponential pairs.
Key words: Hardy function – exponential pair – the Riemann zeta function – critical line.
266