Взаимодействие двух неодновременно возникших

УДК 51(06) Проблемы современной математики
А.В. АКСЕНОВ
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ НЕОДНОВРЕМЕННО ВОЗНИКШИХ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ
Дано решение задачи о взаимодействии двух неодновременно возникших центрированных волн разрежения.
Рассмотрим систему уравнений, описывающую изэнтропическое одномерное неустановившееся движение газа со степенной зависимостью
давления от плотности [1]. Запишем ее в следующем виде
r (  1)r  (3   )l r

 0,
t
4
x
l (3   )r  (  1)l l

 0.
t
4
x
Здесь переменные имеют следующий смысл: t – время, x – пространственная переменная, r  u  2a /(  1) и l  u  2a /(  1) – инварианты
Римана, u – скорость,  – плотность, a – скорость звука,  – показатель степени.
Рассмотрим задачу о взаимодействии двух центрированных волн разрежения или задачу о двух поршнях. Пусть по однородному покоящемуся
газу распространяются навстречу друг другу две центрированные волны
разрежения (волна вправо c центром ( x1 , t1 ) и волна влево c центром
( x2 , t2 )). Центрированные волны можно считать возникшими в результате соответствующего движения поршней, между которыми в области
x1  x  x2 был заключен невозмущенный газ. Считаем, что поршень,
движущийся влево с некоторой постоянной скоростью, был мгновенно
приведен в движение в момент времени t  t1 , а поршень, движущийся
вправо – в момент времени
t  t2 . Встретившись в точке  x0 , t0  , цен-
трированные волны начинают взаимодействовать.
Для нахождения решения в области взаимодействия необходимо решить задачу Гурса для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (на переменную t ), рассматриваемого в плоскости инвариантов Римана. Решение задачи Гурса было получено методом Римана. Для построения функции
ISBN 978-5-7262-0883-1. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2008. Том 9
57
УДК 51(06) Проблемы современной математики
Римана использовался метод, предложенный в [2]. Функция Римана
уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу может быть записана в виде
 1
 r  l  2( 1)
 (r  l )(r  l )  2(rl  r0l0 ) 
R(r , l ; r0 , l0 )  
P 3  0 0

,
(r0  l0 )(r  l )
 r0  l0 

2(  1) 
где
P ( z ) – функция Лежандра первого рода.
Сформулируем основной результат работы.
Утверждение. Решение сформулированной задачи Гурса может быть
записано в виде
t1  t2 
t t 
  t0  1 2  R* (r , l ; r0 , l0 ) 
2
2 

l
 r R* ( r , l ;  , l )
R* (r , l; r0 , ) 
 1
0

d  
d  ,
 t2  t1   

4(  1)
  l0
r0  
l0
 r0

где R* (r , l ; r0 , l0 )  R(r0 , l0 ; r , l ) – функция Римана сопряженного уравнеt (r , l ) 
ния Эйлера-Пуассона-Дарбу.
В качестве примера рассмотрим случай
Римана принимает вид
  3 . В этом случае функция
R(r, l; r0 , l0 )   r  l  /  r0  l0  . Тогда, согласно
утверждению, находим
t1  t2 

 t0 
  r0  l0   t1r  t2l
2 

t (r , l ) 
.
r l
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (проекты 05-01-00375 и 06-01-00707).
Список литературы
1. Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные волны: М.: Изд-во ИЛ,
1950.
2. Аксенов А.В. Метод построения функции Римана гиперболического уравнения второго порядка // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения академика
И.Н.Векуа. Новосибирск: Изд-во НГУ. 2007. С. 47-48.
58
ISBN 978-5-7262-0883-1. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2008. Том 9