О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2013, том 56, №6
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
О.А.Джурахонов
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 17.04.2013 г.)
В работе найдены некоторые точные неравенства между наилучшим приближением аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усреднѐнными
значениями модулей непрерывности граничных значений производных в пространстве Харди
Hp 1 p
.
Ключевые слова: пространство Харди – наилучшие приближения – аналитические в единичном круге функции – положительная последовательность – модуль непрерывности.
1.Введѐм необходимые обозначения и понятия.
Пусть U R
U R Hq R
{z  z
R 1}  (U R ) – множество функций, аналитических в круге
R 0
– банахово пространство Харди, состоящее из всех функций
Hq (U R ) 1 q
 (U R ) с конечной нормой
f
f
f
qR
lim M q ( f
) 1 q
R 0
H q (U R )
sup{ f ( z ) z U R } q
где
Mq ( f
При
f
qR
R 1
f (R )
q
)
1
2
1q
2
it
q
f ( e ) dt
0
будем
писать
1 q
Хорошо известно, что норма функций f
H q ,1
Hq
f
q1
f
q
Очевидно,
1 q
что
Hq R реализуется на еѐ уг-
ловых граничных значениях f ( Reit ) , которые существуют почти для всех t
[0 2 ] (см. например
[1,2]).
Символом fa( m) ( Rt )
fa( m) ( Reit )(m  fa(0) ( Rt )
f ( Rt )) будем обозначать значения анали-
тической функции
m
f
tm
m
f ( eit )
tm
m 
Адрес для корреспонденции: Джурахонов Олимджон Акмалович. 734025, Республика Таджикистан,
г.Душанбе, ул.Рудаки 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
425
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
а символом
f (m) ( z)
f ( m ) ( Rt )(m  f (0) ( Rt )
2013, том 56, №6
f ( Rt )) – граничные значения аналитической функции
d m f dz m
При этом
f a( m ) ( z )
(ik ) m ck
k ikt
f a( m ) ( Rt )
e
lim f a( m ) ( eit )
R 0
k 1
f ( m) ( z)
k (k 1) (k m 1)ck z k
m
f ( m ) ( Rt )
lim f ( m ) ( eit )
R 0
k m
Всюду далее полагаем
m km 
k (k 1) (k m 1) k
km
n
Пусть n – множество комплексных алгебраических полиномов pn
ak z k
ak
 сте-
k 0
пени не более n . Символом
En 1 ( f ) Hq R
inf
f
pn
f a( m)
H q( m) и M
1
M
Hq R
f a( m)
qR
0 R 1) и
1
M
sup En 1 ( f )q f
Hq
H q( ma) Л.В.Тайков [3,4] доказал, что
En 1 ( H q( ma) ) Hq
En 1 ( H q( m) ) Hq
В случае q
Множество функций
H q – некоторый класс функций, то требуется найти величину
En
В случае M
1
1 обозначим символом H q( mR) . Аналогичным образом полагаем
qR
H q( mR) a
Если M
1
H q R (m  1 q
 (U R ) , у которых производные m -го порядка f ( m)
удовлетворяют условию f ( m )
n
1
Hq R множеством n
обозначим наилучшее приближение функции f
f
pn
1 Hq R
n
1
nm
mn  1 q
(1)
n m nm  1 q
(2)
m
( m)
( m)
равенства (1) и (2) ранее были доказаны К.И. Бабенко [5], а на классах H q R и H q R a
распространены в работах Ж.Т.Шейка [6] и B.И.Белого и M.З.Двейрина [7]. В этих же работах равенства (1) и (2) доказаны для дробных производных, причѐм для произвольных m
En 1 ( H q( mR) ) H q
(m n 1) n
R
(n 1)
426
0
R 1
0 и n [m]
(3)
Математика
где
О.А.Джурахонов
(u) – гамма-функция Эйлера.
Здесь мы докажем более общий результат в терминах дифференциальных операторов, из ко-
торого, в частности, вытекают равенства (1)-(3).
Пусть T
ck z k то мы последовательно получаем
z d dt . Тогда, если f ( z )
k 0
Tf ( z )
kck z k
zf ( z )
T 2 f ( x) T ( zf ( z ))
k 1
k 2ck z k
k 1
 получаем
и, продолжая этот процесс для произвольного m
T m f ( z)
k m ck z k
(4)
k 1
Из (4) следует, что T m f ( z)
T
i
m
fa( m) ( z) или, что то же, T m
i
m
f a( m) m  . Если же полагать
d то легко находим
dz
z mT m f ( z )
c zk
k m k
k m
Пусть функция
(w) определена для значений w n n 1
lim sup
(k )
k
Для произвольной f ( z)
k 0
ck z k
1
k
1
(5)
Hq R определим оператор
(k )ck z k
(T ) f ( z )
и удовлетворяет условию
(T ) из H q R в H q R равенством
(6)
k n
Говорят, что последовательность {ak }k
вольного действительного
сходится и G( R )
n
n  положительна, если для любых R (0 1] и произ-
ряд
1
an
2
k 1
S
f
an k R k cos
G( R )
0
Положим
где
Hq R
(T ) f определено равенством (6).
Имеет место следующее утверждение.
427
(T ) f
Hq R
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
Теорема 1. Пусть
2013, том 56, №6
(w) определена и отлична от нуля для w n n 1
условию (5). Тогда, если {1
(k )}k
n
и удовлетворяет
– положительная последовательность, то
Rn
0
( n)
En 1 ( S ) H q R
R 1
(7)
Из равенства (7) при
nm R
( n)
(n)
nm
R
n
n
(m n  0
R 1)
(m n  n m 0 R 1)
(n m 1)} 1 R n (m 0 n [m] 0
(n) { (n 1)
R 1)
получаем соотношения (1)-(3).
Если функция f
0 R 1) имеет непрерывные граничные значения, то их
Hq R (1 q
гладкость будем характеризовать модулем непрерывности
1
t sup
2
( f t )Hq R
1q
2
f ( Re
i(
)
)
i
q
f ( Re ) d
0
Имеет место следующая общая
Теорема 2. Для любых n m
 0 R 1 справедливы неравенства
En 1 ( f ) H q R
Следствие.
В
условиях
n Rn
4 ( n)
n
( f ( m ) t ) H q R dt
0
теоремы
2
при
( n)
nm n m 
и
(n) n(n 1) (n m 1) n m справедливы неравенства
En 1 ( f ) H q R
En 1 ( f ) H q R
Rn
4n m 1
n
( f a( m ) t ) H q R dt
0
Rn
4(n 1) (n m 1)
(n m)
( f ( m ) t ) H q R dt
0
Замечание. Полученные неравенства обобщают результаты работы Л.В.Тайкова [4] для пространста Hq R 1 q
0 R 1.
Поступило 17.04.2013 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Кусис П. Теория пространств H p . – М.:Мир, 1984, 256 с.
2. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. – J. Reine Angew Math, 1969, v.238, pp.32-60.
428
Математика
3.
4.
5.
6.
7.
О.А.Джурахонов
Тайков Л.В. – Матем. заметки, 1967, т. 1, №2, с.155-162.
Тайков Л.В. – Матем. заметки, 1977, т. 22, №2, с.285-295.
Бабенко К.И. – Изв.АН СССР. сер.матем, 1958, т. 22, №5, с.631-640.
Scheick J.Т. – Proc. Amer. Math. Soc., 1966, v.17, №6, pp.1238-1243.
Белый В.И., Двейрин М.З. В кн.: Метрические вопросы теории функций и отображений, вып.6.
Киев: Наукова думка, 1971, с.37-54.
О.А.Љўрахонов
НАЗДИККУНИИ БЕЊТАРИН ФУНКСИЯЊОИ ДАР ДАВРАИ ВОЊИДИ
АНАЛИТИКЇ
Донишгоњи миллии Тољикистон
Дар маќола нобаробарињои нави аниќ байни наздиккунии бењтарини функсияњои дар
давраи воњиди аналитикї ба воситаи бисёрузвањои алгебравии комплексї ва ќимати миёнаи
модулњои бефосилагии ќиматњои канории њосилањо дар фазои Харди H p 1
p
ёфта шуда-
анд.
Калимањои калидї: наздиккунии бењтарин – модули бефосилагї – пайдарпаии мусбат – функсияњои
аналитикї – фазои Хардї.
O.A.Jurakhonov
ON THE BEST APPROXIMATION ANALYTICAL FUNCTIONS IN UNIT DISK
Tajik National University
In this work was founded the new exact unequalities between the best analytical functions with algebraical complex polynomials in the unit disk and the average values of modulus continuity, derivatives of
boundary values in space of Hardy H p 1
p
.
Key words: the best polynomial approximation – modulus of continuity – analytical functions – space Hardy
– positive sequence.
429