Лекция 6. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 1. Производная по направлению. 2. Градиент. 1. Производная по направлению. Рассмотрим функцию z = f ( x, y ) , определенную и дифференцируемую в окрестности точки P0 (x0 ; y0 ) . и пусть r l = (cos α ; cos β ) – произвольный вектор плоскости, отличный от r нулевого, где cos α и cos β направляющие косинусы вектора l . Проведем через точку P0 ( x0 ; y0 ) прямую Γ так, чтобы одно из r ее направлений совпадало с направлением вектора l . Рис.1 Возьмем на направленной прямой точку P1 (x0 + ∆x; y0 + ∆y ) . Тогда P0 P1 = ∆l = ± ∆x 2 + ∆y 2 есть приращение вдоль прямой Γ . Функция z = f ( x, y ) получит при этом приращение ∆z = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y ) − f (x0 ; y0 ) . О п р е д е л е н и е 1. Производной по направлению вдоль r вектора l функции z = f (x, y ) в точке P0 (x0 ; y0 ) называется ∆z предел отношения при ∆l → 0 . ∆l 52 ∂z ∆z . = lim ∂l ∆l →0 ∆l Теорема 1. Если функция z = f ( x, y ) дифференцируема в точке P0 (x0 ; y0 ) , то производная по направлению в этой точке вычисляется по формуле: ∂z ∂z ∂z = cos α + cos β . ∂l ∂x ∂y ► Так как функция дифференцируема в точке P0 ( x0 ; y0 ) , то ее приращение в этой точке вдоль прямой Γ можно записать в виде: ∂z ∂z ∆z = ∆x + ∆y + α1∆x + α 2 ∆y , ∂x ∂y где α1 → 0 и α 2 → 0 при ∆l → 0 . Разделим обе части этого равенства на ∆l , получим ∆z ∂z ∆x ∂z ∆y ∆x ∆y = + + α1 + α2 . ∆l ∂x ∆l ∂y ∆l ∆l ∆l ∆x ∆y = cos α , = cos β . Учитывая, что (рис.1), имеем ∆l ∆l Поэтому ∆z ∂z ∂z = cos α + cos β + α1 cos α + α 2 cos β . ∆l ∂x ∂y Переходя к пределу при ∆l → 0 , имеем: ∂z ∂z ∂z = cos α + cos β .◄ ∂l ∂x ∂y π π ∂z ∂z = , а при α = В частности, при α = 0 и β = имеем 2 ∂l ∂x 2 ∂z ∂z = . и β = 0 имеем ∂l ∂y Отсюда следует, что частные производные по переменным x и y являются частными случаями производной по направлению. Пример. Вычислить производную по направлению функции z = x 2 + xy 2 Обозначается: 53 в точке P0 (1;2) в направлении вектора P0 P1 , где P1 (3;0 ) . Р е ш е н и е . Координаты вектора P0 P1 равны P0 P1 = (3 − 1;0 − 2 ) = (2;−2 ) . Тогда длина вектора есть P0 P1 = 2 2 + (− 2 ) = 2 2 . Координаты нормированного вектора есть r ⎛ 2 2 ⎞ ⎛⎜ 2 2 ⎞⎟ l = ⎜⎜ ;− ⎟⎟ = ;− . ⎜ 2 ⎟⎠ ⎝2 2 2 2⎠ ⎝ 2 2 2 3π Отсюда cos α = и cos β = − . Поэтому α = . 2 2 4 Значения частных производных в точке P0 (1;2) есть 2 ( ) ∂z = 2x + y 2 = 6, (1; 2 ) ∂x (1; 2 ) ∂z = 2 xy (1; 2 ) = 4 . ∂y (1; 2 ) Тогда производная по направлению равна ∂z = 2. ∂l 2. Градиент. О п р е д е л е н и е 2. Градиентом функции z = f ( x, y ) в точке P0 (x0 ; y0 ) называется вектор, координаты которого равны со∂z ∂z ответствующим частным производным , взятым в точке и ∂x ∂y P0 (x0 ; y0 ) . ⎛ ∂z ∂z ⎞ ⎛ ∂z ∂z ⎞ Обозначается: grad f = ⎜⎜ ; ⎟⎟ или ∇f = ⎜⎜ ; ⎟⎟ . ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ Градиент ∇f функции z = f ( x, y ) можно записать с помо- 54 r r ∂f r ∂f r j. щью координатных векторов i и j в виде ∇f = i + ∂x ∂y Используя скалярное произведение векторов в координатной форме, можно записать v ∂z ∂z cos α + cos β = l0 ⋅ ∇f , ∂x ∂y r r l r где l0 = r , l0 = 1 . l С другой стороны, скалярное произведение векторов равно v v l0 ⋅ ∇f = l0 ⋅ ∇f ⋅ cos ϕ , r где ϕ – угол между векторами l0 и ∇f . Сравнивая, получим ∂z ∂z = ∇f ⋅ cos ϕ . Отсюда следует, что имеет наибольшую ∂l ∂l r длину при cos ϕ = 1 , т.е. когда направление вектора l совпадает с направлением вектора ∇f . Градиент ∇f функции z = f (x, y ) в точке P0 ( x0 ; y0 ) характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке. Замечания. 1. Производная по направлению для функции трех переменных u = f (x, y, z ) имеет вид: ∂u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ , ∂l ∂x ∂y ∂z r где cos α , cos β , cos γ направляющие косинусы вектора l . 2. Пусть функция u = f (x ) , x = (x1 , x2 ,..., xn ) , n ≥ 2 , определе- ( ) на и дифференцируема в точке x0 = x10 ; x20 ;...; xn0 . И пусть задан r n -мерный вектор l ≠ 0, единичный вектор r r l l0 = r = (cos α1 ; cos α 2 ;...; cos α n ) , где cos α1 , cos α 2 , ... , cos α n l направляющие косинусы в пространстве R n . Тогда существует производная по любому направлению и 55 ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) = cos α1 + cos α 2 + ... + cos α n . ∂x1 ∂l ∂x2 ∂xn grad f (x ) = ∇f ( x ) u = f (x ) , 2. Градиент функции x = (x1 , x2 ,..., xn ) , n ≥ 2 , определяется по формуле: ⎛ ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) ⎞ ⎟⎟ . grad f (x ) = ⎜⎜ ; ;...; x x x ∂ ∂ ∂ 1 2 n ⎠ ⎝ 2 Пример. Найти градиент функции u = x + y 2 + z 2 в точке P(1;1;1) . Р е ш е н и е . Находим частные производные ∂f ∂f ∂f = 2x , = 2y , = 2z . ∂x ∂z ∂y Тогда ∂f ∂f ∂f = 2, = 2. = 2, ∂y (1;1;1) ∂x (1;1;1) ∂z (1;1;1) Следовательно, градиент функции равен grad f (x ) = (2;2;2 ) . Вопросы для самоконтроля 1. Сформулируйте определение производной по направле∂z ∂z ∂z = cos α + cos β . нию. Докажите формулу ∂l ∂x ∂y 2. Дайте определение градиента функции в пространствах 2 R , R3 , R n . 56