µ {(a b c d e f ) ∈ R2×3 ∣ ∣ a + b + c = d + e + f = 0} a b 0 c d 0 0 0

Mat. BSC: Algebra 2
2008. ápr. 14.ápr. 18.
9. feladatsor
Csoportok, szimmetrikus soport, részsoport
1.
Ellen®rizzük, melyek alkotnak soportot az alábbi halmazok közül a megadott m¶veletekre nézve:
a b c
2×3 ∈R
a + b + c = d + e + f = 0 , a mátrixösszeadásra
d e f 

 a b 0

 c d 0  ∈ R3×3 | ad − bc 6= 0 , a mátrixszorzásra nézve;


0 0 0
A ∈ R2×2 | det A > 0 a mátrixszorzásra nézve;
A ∈ R2×2 | det A = 0 a mátrixszorzásra nézve;
az 1 abszolút érték¶ komplex számok a szorzásra nézve;
az 1 abszolút érték¶ komplex számok az összeadásra nézve;
a)
b)
)
d)
e)
f)
nézve;
g) a komplex egységgyökök a szorzásra nézve;
h) a
100-adik
primitív egységgyökök a szorzásra nézve;
i) a sík elforgatásai a kompozíióra nézve;
j) a sík origó körüli elforgatásai a kompozíióra nézve.
2.
Igazoljuk, hogy ha egy soportban
ab = b
valamely soportelemekre, akkor
a∈G
a soport egységeleme.
Következtessünk ebb®l arra, hogy egy részsoport egységeleme szükségképpen megegyezik az egész soport
egységelemével.
3.
Mutassuk meg, hogy ha egy soportban tetsz®leges
2
2 2
(ab) = a b
a2 = e,
a)
b)
a, b
soportelemekre igaz, hogy
, ill.
akkor a soport kommutatív.
4.
Hány különböz® egybevágósága van egy egyenl® szárú háromszögnek, egy négyzett®l különböz® téglalapnak, egy körnek, illetve egy szabályos tetraédernek?
5.
Igazoljuk, hogy tetsz®leges
6.
Adjuk meg az alábbi
a)
d)
7.
a, b
soportelemekre
(ab)−1 = b−1 a−1 .
S6 -beli permutáiók iklusfölbontását:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
;
;
b)
1 6 5 3 2 4
2 3 4 5 6 1
3
e) (1 2)(1 2 3 4 5 6)(1 2);
(1 2)(3 2 4)(5 3 1) ;
1 2 3 4 5 6
;
6 5 4 3 2 1
(1 2)(2 3)(3 4)(4 5)(5 6);
)
f)
transzpozíiók
(azaz
2
Sn -ben
minden permutáió el®áll ún.
Sn -ben
minden permutáió el®áll olyan transzpozíiók szorzataként is, amelyekben
a) Igazoljuk, hogy
hosszúságú iklusok)
szorzataként.
b) Igazoljuk, hogy
az egyik mozgatott elem az
*) Mutassuk meg,
(azaz
8.
nem generálható
h1i ≤ Z+
5;
Legyen
60◦
D6
b)
a szabályos
fokos forgatást,
t
a) Igazoljuk, hogy a
n−2
h1i ≤ Z×
5;
Sn
minden elemét el®állítani szorzat alakban
transzpozíióval).
6-szög
h6, −14i ≤ Z+ ;
d)
h3i ≤ Z×
7;
egybevágóságainak soportja, és jelölje ebben
D6
tetsz®leges eleme fölírható
b) Írjuk föl az el®bbi alakban
a
Számozzuk meg a
)
e)
f
h(2 3), (4 3 2) ≤iS4 .
6-szög
a
középpontja körüli
pedig egy tetsz®leges szimmetriatengelyre való tükrözést.
) Mutassuk meg, hogy
10.
1-es.
transzpozíióval már nem tudjuk
Határozzuk meg az alábbi részsoportokat:
a)
9.
Sn
n−2
6-szög
tf t elemet.
3
1, f , t, tf 3 kommutatív
súsait rendre az
a súsokon vizsgálva kapunk egy
tudjuk, hogy megseréli az
1-es
és
fi
vagy
tf i
alakban (i
∈ {0, 1, . . . , 5}).
4
részsoport.
1, 2, . . . , 6
S6 -beli permutáiót.
2-es elemeket?
számokkal. Ekkor
Mi lesz a
tf
3
D6
minden elemének hatását
-nek megfelel® permutáió, ha t-r®l
http://www.s.elte.hu/agoston/bboard/ma08tav/gyakorlat.html