R deg p = n ¸ deg q = m µ f(p, q) = p0 · q0 µ f(p, q) = pn · qm µ f(p, q

6. feladatsor
Mat./alk.mat. I.
2007. márius 20.
Bilineáris függvények
R[x] × R[x] →
együttható ját pi jelöli,
1. Melyek lesznek bilineárisak, s ezek közül melyek lesznek nem elfa julók az alábbi
R függvények közül (az
deg p = n, deg q = m):
a)
b)
)
f (p, q) = p0 · q0 ;
f (p, q) = pn · qm ;
n
P
f (p, q) =
pi ·
d)
f (p, q) =
e)
f (p, q) =
i=0
(p2 )0
+1
R
alábbiakban a
m
P
qj
j=0
p
polinom
i-edfokú
tagjának
;
· (q 2 )0 ;
p(x)q(x)dx.
−1
2. Mutassuk meg, hogy a
pn (x) =
1
2
n (n)
(x
−
1)
2n · n!
polinomok ortogonális bázist alkotnak
összefüggéssel értelmezett ún. Legendre-
R[x]-ben az f (p, q) =
+1
R
p(x)q(x)dx bilineáris függvényre
−1
nézve. (Itt
f (n)
az
f
függvény
n-edik
3. Keressünk ortogonális bázist az
deriváltját jelöli.)
U = {x ∈ Rn |
Pn
i=1
xi = 0} altérben a szokásos Rn -beli skaláris
szorzásra nézve.
4.
a) Igazoljuk, hogy tetsz®leges bilineáris függvény el®áll egy szimmetrikus és egy szimplektikus bilineáris függvény összegeként, és ez az el®állítás egyértelm¶!
(Azaz: A bilineáris
függvények vektortere a szimmetrikus, ill. a szimplektikus bilineáris függvények altereinek
direkt összegeként áll el®.)
b) Adjuk meg egy
V
vektortéren értelmezett bilineáris függvények terének, valamint a szim-
metrikus, illetve a szimplektikus függvények altereinek egy-egy bázisát.
V véges dimenzós vektortér, és f : V × V → T bilineáris
f pontosan akkor nem elfa juló, ha tetsz®leges g bilineáris
A ∈ Hom(V, V ), hogy g(x, y) = f (A, Ay) minden x, y ∈ V -re.
5. Legyen
hogy
függvény.
Mutassuk meg,
függvényhez létezik olyan
6. Igazoljuk, hogy tetsz®leges bilineáris függvény megkapható lineáris függvényekb®l a következ®
módon:
B(u, v) =
r
X
fi (u)gi (v),
ahol
fi , g i ∈ V ∗ !
i=1
n
u = (u1 , . . . , un ) és v = (v1 . . . vn ) esetén
PTn -et a szokásos skaláris szorzással:
⊥
hu, vi = i=1 ui · vi , és jelölje U ⊆ V -re U = {v ∈ V | ∀u ∈ U hv, ui = 0}. Milyen n-ekre
n
⊥
adható meg T -ben olyan U ≤ V altér, amelyre U = U ?
7. Tekintsük
A1 , A2 , . . . , Am ⊆ {1, 2, . . . , n} egymástól páronként különböz® halmazok.
Adjunk föls® korlátot m-re az n függvényében, ha minden 1 ≤ i, j ≤ m-re |Ai ∩ Aj | páros.
Milyen föls® korlát adható m-re, ha |Ai ∩ Aj | páros, ha i 6= j , viszont |Ai | páratlan?
Hát akkor, ha minden Ai páros sok elemet tartalmaz, a különböz® részhalmazok metszetei
8. Legyenek
a)
b)
)
viszont páratlan sokat?