º а изгж Ь зи к и × ¸ г зо би и а НК ДОКОКП КЕ С ога й ¸ г н о a + b

MAT: Algebra 3 (tanári)
2011. november 1418.
8. feladatsor
Testb®vítések, fokszámtétel
1.
2.
3.
4.
√
a + b 2 (a, b ∈ Q) alakú számok résztestet alkotnak C-ben.
√
√
(6.1.24.) Igaz-e, hogy 3 ∈ Q( 2)?
√
√
3
3
(6.1.2.) Hozzuk két a + b 2 + c 4 alakú szám szorzatát is ugyanilyen alakra (a, b, c ∈ Q).
√
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3
3
(6.1.3.) Írjuk föl az 1 + 2 + 4 és a 2 + 2 + 4 szám reiprokát a + b 2 + c 4 alakban,
(2.2.35.) Igazoljuk, hogy az
ahol
5.
a, b, c ∈ Q.
(6.1.15.) Legyen
θ/(θ − 3)
6.
7.
8.
θ
az
számokat
(6.1.7, 6.1.25.)
x3 + 3x + 1
a + bθ + cθ 2
polinom (egyetlen) valós gyöke. Írjuk föl a
θ 5 + 2θ 3
és a
a, b, c ∈ Q. Mi θ minimálpolinomja Q fölött?
√
√ √
√ √
√
Q( 6) ⊆ Q( 3, 2 + 1), Q( 2, 3 2) = Q( 6 2),
alakban, ahol
Igazoljuk az alábbiakat:
√ √
√
√
Q( 2, 3) = Q( 2 + 3).
√
√
3
3
(6.2.14.) Felírható-e a + b 2 + c 4
√
2, illetve a 2, ahol a, b, c raionális számok?
√ √
√
√
4
2 foka Q és Q( 2) fölött; Q( 2, 3) : Q;
(6.2.15.) Számítsuk ki az alábbi fokszámokat:
√ √
√ √
√
√
√
√
√
Q( 2, 3 2) : Q, Q( 2 3 3) : Q; 4 2 foka Q( 3 7) fölött; 4 2 foka Q( 8) fölött; i foka Q( 4 2)
√
√
√
√
√
√
√
4
fölött;
2 foka Q(i) fölött; 2 + 4 2 foka Q( 2) fölött; 2 + 4 2 foka Q fölött; π foka Q(π)
√
6
alakban a
fölött.
9.
(6.2.1.) Tegyük föl, hogy
V
vektortér
V vektortér
R fölött is ugyanazokra a m¶veletekre, és b1 , . . . , bn , ib1 , . . . , ibn
Vagyis az
fölötti dimenzió a
R
C
√
1, i, 2 + 3i Q
(6.1.23.) Független-e
11.
(6.2.11.) Mutassuk meg, hogy ha
relatív prímek, akkor
(6.2.6.) Legyen
K[x]-beli
13.
K ≤L
fölött, és a
θ
nem valós gyöke az
Q(θ) ∩ R
√
1, i, 2 + 3i R
egy testb®vítés,
degK (α) ≤ n.
x3 − 2
testet. Igaz-e, hogy ha
fölött;
α, β ∈ L,
testb®vítés, és tegyük föl, hogy az
polinomnak. Igazoljuk, hogy
(6.2.9.) Legyen
fölött;
|K(α, β) : K| = degK (α) degK (β).
K ≤ L
bázis lesz
R fölött.
fölötti dimenziónak a kétszerese.
10.
12.
Mutassuk meg, hogy ha b1 , . . . , bn bázisa, akkor
C fölött.
α ∈ L
Fönnáll-e itt a
1, π, 1/π Q
és
degK (β)
elem gyöke egy
n-edfokú
és
≤
degK (α)
helyett oszthatóság?
polinomnak. Határozzuk meg
K ≤ L ≤ M,
és
α ∈ M,
fölött?
akkor
θ
fokát
√
Q( 3 2)
degL (α) | degK (α)?
http://www.s.elte.hu/agoston/bboard/mt11osz3/gyakorlat.html