[0,1] (∫[0,1]f(x, y)dλ(y)) dλ(x) = ∫ [0,1]

2006 május 2.
II/1. matematikus
2005-2006/II. félév
8. feladatsor
1. Tegyük fel, hogy
f : [0, 1] × [0, 1] → R
Z
Z
R
[0,1]
R
!
f (x, y)dλ(y) dλ(x) 6=
[0,1]
[0,1]
Mit mondhatunk
mérhet®, de
Z
[0,1]
Z
f (x, y)dλ(x) dλ(y).
[0,1]
|f
|dλ(x)
dλ(y)-ról?
[0,1]
2. Mi az önmagával vett szorzata az
(R, B1 , λ1 )
!
mértéktérnek, ahol
B1
az
R-beli
Borel halmazok osztálya?
f : R → R nemnegatív függvény. Bizonyítsuk be, hogy
R f akkor
H = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ f (x)} mérhet®, továbbá hogy ekkor λ2 (H) = f dλ !
3. a) Legyen
b) Igaz-e ugyanez tetsz®leges
4. Tetsz®leges
esetén melyikb®l következik a másik?
λ1 (Ax ) = 0 λ1 -m.m. x-re
(ii)
*
a) Bizonyítsuk be, hogy a
(ahol
**
Van-e
σ -véges
A
(i)
(ii)
és
([0, 1] × [0, 1], L2 , λ2 )
([0, 1], L, λ)
A ⊂ R2
d-dimenziós
mértékterek izomorfak!
szorzata is izomorf
eltolásinvariáns Borel mérték
7. (HF) Ellen®rizzük, hogy a
8. (HF) Tetsz®leges
Ax = {y : (x, y) ∈ A})
([0, 1], L, λ)
b) Igaz-e, hogy tetsz®legesen sok
6.
mértéktéren értelmezett nemnegatív értkék¶ mérhet® függvényre is?
λ2 (A) = 0
(i)
5.
A ⊂ R2
(X, A, µ)
és sak akkor mérhet®, ha
R-en
([0, 1], L, λ)-val?
a Lebesgue mérték konstansszorosain kivül?
balról zárt jobbról nyílt téglák halmaza félgy¶r¶t alkot!
esetén melyikb®l következik a másik?
nem Lebesgue mérhet®
λ-m.m. x-re Ax
nem Lebesgue mérhet®
f (x, y) = (x − y)/(x + y)3 .
R 1 R 1
R 1 R 1
Ellen®rizzük, hogy
f
dx
dy
=
6
f
dy
dx
0
0
0
0
9. (HF) Legyen
a)
!
b) Miért nem alkalmazható itt a Fubini tétel?
10. (HF) a) Bizonyítsuk be, hogy ha igaz a Kontinuum Hipotézis, akkor van olyan halmaz a síkon, amely minden függ®leges egyenest sak megszámlálható sok pontban metsz, viszont minden vízszintes egyenesb®l sak
megszámlálható sok pontot hagy ki!
b) Lehet-e egy ilyen halmaz Lebesgue mérhet®?
(Y, B, ν) mértéktér teljes, azaz egy nullmértéku halmaz minden részhalmaza
(X × Y, S, π) az (X, A, µ) es (Y, B, ν) mértékterek szorzata.
R
ha C ∈ S σ -véges, akkor µ-m.m. x-re Cx ∈ B, és π(C) =
X ν(Cx ) dµ(x) !
11. (HF) Tegyük fel, hogy az
is
mérhet® (és nullmérték¶). Legyen
a) Bizonyítsuk be, hogy
b) Elhagyható-e az
Y
teljességére vonatkozó feltétel?
12. (HF) Tekintsük a kokadobálás el®adáson tanult modelljét. Legyen
ha
xn = 6
es
f (x)
az els®
6-os
indexe, tehat
f (x) = n,
xi 6= 6 (i < n).
a) Bizonyítsuk be, hogy
f
m.m. értelmezve van és integralható!
b) Számítsuk ki az integrálját!
) Mit jelent ez az integrál a valószín¶ségszámítás nyelvén?
13. (HF) Tekintsük továbbra is a kokadobálás el®adáson tanult modelljet. Van-e olyan esemény (azaz
halmaz), amely nem függ véges sok dobás eredményét®l (azaz
megváltoztatva
C -ben
C
maradunk), amelynek valószín¶sége (azaz mértéke) szigorúan
A feladatsorok (remélhet®en) letölthet®ek a
www.s.elte.hu/anal/keleti/gyak
C
mérhet®
bármely elemét véges sok koordinátában
oldalról is.
0
és
1
között van?