Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Факультет Экономики Программа дисциплины Анализ финансовых временных рядов для направления 080100.68 - Экономика подготовки магистра для магистерской программы « Финансовые рынки и финансовые институты» Автор: Шведов А.С., д.ф.-м.н., профессор Рекомендована секцией УМС «Математические и статистические методы в экономике» Одобрена на заседании кафедры математической экономики и эконометрики Председатель Поспелов И.Г. Зав. кафедрой Канторович Г.Г. «_____» __________________ 2010 г. «____»_________________2010 г. Утверждена УС факультета экономики Ученый секретарь « ____» ___________________2010 г. Москва, 2010 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы. Программа « Анализ финансовых временных рядов» предназначена для студентов 1 курса магистратуры специализации «Финансовые рынки и финансовые институты». Тематический план учебной дисциплины № Название темы Всего часов по дисциплине Аудиторные часы Лекции 1 2 3 4 5 6 Стационарные временные ряды и случайные процессы, включая некоторые предварительные сведения из математики Гильбертовы пространства Стационарные ARMA процессы Предсказание для стационарных случайных процессов Спектральные распределения и спектральные плотности стационарных случайных процессов Последующие разделы Итого Самостоятельная работа 20 4 Семинары 2 20 4 2 14 20 4 2 14 16 3 2 11 16 4 1 11 16 108 3 22 1 10 12 76 14 Базовые учебники Конспект лекций, раздаваемый студентам. Формы контроля Работа на семинарских занятиях Домашнее задание Письменный зачет (160 мин.) Итоговая оценка складывается на 70% из оценки на письменном зачете, на10% из оценки за работу на семинарах, на 20% из оценки за домашнее задание. Содержание программы 1. Стационарные временные ряды и случайные процессы, включая некоторые предварительные сведения из математики. Вероятностное пространство. Построение случайного процесса путем задания конечномерных функций распределения. Функции распределения как самостоятельный объект. Интеграл Римана – Стилтьеса . Характеристические функции. Многомерное нормальное распределение. Положительная полуопределенность и четность как характеризующие свойства автоковариационных функций стационарных случайных процессов. Литература P.J.Brockwell, R.A.Davis Time Series: Theory and Methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1991, Гл. 1. 2. Гильбертовы пространства. Пространства со скалярным произведением. Понятие полноты пространств. Ортогональная проекция на подпространство. Ортонормированные системы и детерминированные случайные процессы. Сходимость в среднем квадратичном, условное ожидание и наилучшее линейное предсказание в L2 (, F , P ) . Литература P.J.Brockwell, R.A.Davis Time Series: Theory and Methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1991, Гл. 2. 3. Стационарные ARMA процессы. Каузальные и обратимые ARMA процессы. Процессы скользящего среднего. Частная автокорреляционная функция стационарного случайного процесса. Литература P.J.Brockwell, R.A.Davis Time Series: Theory and Methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1991, Гл. 3. 4. Предсказание для стационарных случайных процессов. Наилучший линейный предсказатель в L2 (, F , P ) и его средняя квадратичная ошибка. Разложение Вольда. Литература P.J.Brockwell, R.A.Davis Time Series: Theory and Methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1991, Гл. 5. 5. Спектральные распределения и спектральные плотности стационарных случайных процессов. Автоковариационная функция комплекснозначного случайного процесса. Спектральное распределение для линейной комбинации синусоид. Теорема Эрглотца. Литература P.J.Brockwell, R.A.Davis Time Series: Theory and Methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1991, Гл. 4. 6. Последующие разделы. Фильтр Калмана и предсказание. Моделирование передаточных функций и использование при предсказании моделей с передаточными функциями. Оценка параметров ARMA процессов при пропущенных данных. Процессы с длинной памятью. Процессы с бесконечной дисперсией. Оценка пропущенных наблюдений для ARMA процессов. Литература P.J.Brockwell, R.A.Davis Time Series: Theory and Methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1991, Гл. 12. Тематика заданий по различным формам текущего контроля 1. Пусть { X t } и {Yt } - некоррелированные стационарные случайные процессы, т.е. случайные величины X s и Yt некоррелированы при любых целых s и t . Показать, что случайный процесс { X t Yt } стационарный, и что автоковариационная функция этого случайного процесса равна сумме автоковариационных функций случайных процессов { X t } и {Yt } . (Под стационарными случайными процессами понимаются ковариационно стационарные случайные процессы.) 2. Показать, что если { X t , t 0,1,...} - стационарный случайный процесс и | | 1 , то ряд j X n1 j сходится в среднем квадратичном. j 1 3. Пусть случайный процесс { X t } имеет вид Xt где j Z t j , j | j | . Показать, что j {Z t } ~ WN (0, 2 ), | (h) | , где () - автоковариационная функция h случайного процесса { X t } . 4. Покажите, что при 0 a функция h 1 sin( ah), h 1,2,... ( h) a h0 является автоковариационной функцией некоторого стационарного случайного процесса { X t , t 0,1,...} . Найдите спектральную плотность этого случайного процесса. 5. Найдите автоковариационную функцию случайного процесса со спектральной | | плотностью f ( ) , . 2 6. Приведите пример стационарного случайного процесса с длинной памятью. Вопросы для оценки качества освоения дисциплины Построение случайного процесса путем задания конечномерных функций распределения Интеграл Римана – Стилтьеса Характеристические функции Многомерное нормальное распределение Положительная полуопределенность и четность как характеризующие свойства автоковариационных функций стационарных случайных процессов Пространства со скалярным произведением Понятие полноты пространств, ортогональная проекция на подпространство Ортонормированные системы и детерминированные случайные процессы Сходимость в среднем квадратичном, условное ожидание и наилучшее линейное предсказание в L2 (, F , P ) Каузальные и обратимые ARMA процессы Процессы скользящего среднего Частная автокорреляционная функция стационарного случайного процесса Наилучший линейный предсказатель в L2 (, F , P ) и его средняя квадратичная ошибка Разложение Вольда Теорема Эрглотца Фильтр Калмана и предсказание Моделирование передаточных функций и использование при предсказании моделей с передаточными функциями Оценка параметров ARMA процессов при пропущенных данных Процессы с длинной памятью Автор программы А.С.Шведов