ЬббобОТЗО^СПЬ Lb6 30660060560)6 6d>6eR0300b 8 СП 6 8 5 Оэ 93, № 2, 1У,9 С О О Б Щ Е Н И Я АКАДЕМИИ НАУК ГРУЗИНСКОЙ ССР, 93, № 2, 1979 BULLETIN of the ACADEMY of SCIENCES of the GEORGIAN SSR, 93, № 2, 1979 ""уд к J ^ J { ~ — МАТЕМАТИКА Б. С. КАШИН ' О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПРОСТРАНСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ, СВЯЗАННЫХ С РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТЬЮ (Представлено членом-корреспондентом Академии Л. В. Жижиашвили 16.11.1978) Для данного п>0 определим 2п + 1-мерное нормированное пространп СТЕО f/2n+1 многочленов t(x) вида t(x)= "Т/^" + / a k cos ^ x + bksin kx с нормой КХ) ||^2Л+1 = SUp О< г< я ^ 6 [0,2 тс] "j/^ + / &h c o s ^ x + bk sin &# В настоящей заметке, являющейся продолжением работы [1], указы­ вается ряд свойств пространства {У2П+1, сходных с теми, которые бь ли доказаны в [1] для пространства многочленов t(x) с нормо!: t (x)\\ciQt2n). Ниже, для данного набора чисел [Уь\1"о чеР^з t(x9 \yk}) обо2жк означаем единственный многочлен t(x) £[/ 2 П *\ такой, что 4o~~T~i = %. 0 < k < 2/г. • У т в е р ж д е н и е 1. Для любого набора чисел {У^Т-т '#*! ^ "-. 0 ^ k ^ 2/г найдется такой набор l&fe}!"0> 8А* = ± 1, 0 ^ k ^ 2п, что ||/(*. '{ел^))1(/2л+1 < i ^ Следствие 1. Для любых чисел п > 0, о >» 0 и любого нзборг {f//i}l=o> ll/fei ^ 1? 0 ^ й ^ 2я. найдется такой набор чисел {ук}1%> что а) У 1>(1-5).(2я+1); б) || *(х, Ы ) l b ^ i < 4 - к:Ук=Уи Следствие 1 можно считать конечномерным аналогом теоремы Д. Ч. Меньшова ('[2], стр. 448) о возможности исправления любой непре рывной функции на множестве малой меры до функции с равномер->.• сходящимся рядом Фурье» А. М. О л ев с к и й [3] показал, что изго­ няя даже половину чисел {ук} существенно уменьшить сумму мод; лей коэффициентов многочлена t(x, \yk\) вообще говоря нельзя. С1 Ниже через К, С, с обозначаются абсолютные постоянные, 282 Б, С. К а ш и н Из утверждения 1, с помощью рассуждений, приведенных в [1], вытекает У т в е р ж д е н и е 2. Объем V(B2(}Z+1) единичного шара В2/}*1 прост­ ранства U2'71*1 удовлетворяет неравенствам пп*с™11 >У(В%+1) > п-п-С~п. Из утверждения 2 и следствия 2 из [1] вытекает У т в е р ж д е н и е 3. Для всякого е > 0 существует постоянная сг > 0? такая, что в любом подпространстве L cz L 2 (0 ? 2n) коразмерно­ сти т найдется такой многочлен Т(х) ===~^+ ) йк cos kx + ^ sin kx m степени #^~o~*(l + s), что a) 1 T{x) \\игп+1 < i *l +\K\ >cs-m4*. Приведем доказательство утверждения 1. Л е м м а . Для любого о, 0 < о <с 1/2 и любого набора {у^'1%, \ук | ^ 1, 0 ^ k ^ 2л найдется такой набор {sA}|=0, еА = ± 1, что при всех О < / < /' < 2л S(/, /', ta})=s / £=/+1 5(Ь /', {eft^}) ) ЧУк^шкх skyk cos kx С(0,2Я) C(0,2Jt) <С6(?-1У I***', О) < 0>(/' - /) 1 / 2 + s - В доказательстве леммы используются следующие два факта (первый из них.-—простое следствие экспоненциальных оценок функций распределения полиномов по системе радемахера, а второй — след­ ствие неравенства Б е р н ш т е й н а ) : 1) для любого набора векторов i 1 / i^iiiLh li — {£//}/= 1» \ец\^ при 1 < i < i0 , шах 1«7=<7(0</о 1 найдется такой набор {s/}y!Li> 8 / == ± Ь <7 > е //еу что </c-(/oin(Wo)) 1/2 ; /=1 2) для любой пары чисел р и p'(p<Zp') найдется не более С(р' — р) точек х£ cz [0,2тс], таких, что для любого многочлена Р' Р (х) = У ак cos £t + bk sin &х, ||Р(х) ||С(0(2я) < Для данного 5, 0 < 6 <С 1/2, положим г = 4 т ж I P(xi) I- + 1. Не ограничивая общности, можно считать, что число 2л имеет вид 2л = (s!)r; s —целое. О некоторых свойствах пространства тригонометрических многочленов... 283 При l ^ v ^ s разобьем отрезок <0, 2п] на (s!/v!) r отрезков длины (v!)r. Построим последовательность наборов (e&Jl-i? 1 ^ v ^ s (г'1 = ± 1), которая будет такова, что а) неравенства (1) будут выполняться для набора {в1) и таких пар чисел (/, /'), что /?-(vl)r < / < / ' < ( / ? + l)(v!)r? 0</?<(s!/v!) r (тем самым набор |е|} будет искомым); б) при /?-(v!)r'<& sgl(p + l)(vl) r , 0 ^ p < ( s ! / v ! ) r будет выполняться равенство; 4 ? + 1 - Ф Г р , где г Р = ± Ь Будем обозначать 5V= max 0<p<(s!/v!) r . .. max(S(p(vir, /', {е^А}), SO^v!/, f, №yk])). (2) (3) p-(^)r<f<(P+l)(vDr Выбирая набор {е/г!|!!0 произвольно, получаем, что B-L ^ 1. Если теперь набор {е]£} уже выбран (и тем самым число Bv определено), то пользуясь .приведенными. в начале доказательства леммы утверждениями 1) и 2) мож­ но построить набор Js|+1}|2o так, чтобы соотношение (2) -выполнялось, а число Ву+Ъ определенное в (3) по набору (s| +1 ) удовлетворяло неравенству 5 v + 1 < / C - f i v - ( v + ir/ a -ln[(v + 1)!]', Таким образом, набор {4! ' (4) будет обладать тем свойством, что при max (S(/, /', {е|*/Л}), S(/ ? Л {4%)) ) < 2 ^ Bv» Но из (4) и неравенства Вг^\ (5) следует,-что £ v + 1 < [ ( v + l)4 r / 2 '# v + 1 -' , v + 1 - п 1п(й)<С г (у|) г / а + а . 1<£<V+1 •> Следовательно, правая часть в (5) не превосходит C'r(q\Yl2+2 ^ 1/2+д •^ Сб(/" —/) ; лемма доказана. Для доказательства утверждения Г рас­ смотрим набор {&k\l%, построенный в лемме по набору {yh}f/iQ, какому-то числу 6, 0 < 5 < 1/2 и оценим \\t(xf {цук})\\ц2п+ъ При О^т^п частная сумма Sm(y, t(x, {shyk})) в точке г/£[0,2и] равна (см. [4], стр. 16) , ы *=0 1 \ ,' 2nk sin т+ -jr I ~——r— # Sln "2" l ^ + l - ^ Применяя для оценки суммы (6) преобразование Абеля и пользуп шъ неравенствами (1) и очевидной оценкой I у 1 А>=1 ак sin (& — s) у 284 Б. С. К а ш и н ah sin ky I + \ у ah cos &# (s—любое число), получаем нужную» нам оценку k=\ Академия наук Математический СССР ИНСТИТУТ (Поступило 17.11.1978) 860Ю356СШ ъ. дъъот бсэдшБгаоббо^о зтс?п-Бгааог>оь ьозбвоь ът&ообою. отзоьоьоь ^о ^ ° а 3 о дЛооо oogo-'b^oo оооБооосо j&god^ocnodjooot) Qo-cyo^oAgoooo. MATHEMATICS В. S. К ASH IN ON SOME PROPERTIES OF THE SPACE OF TRIGONOMETRIC POLYNOMIALS IN CONNECTION WITH UNIFORM CONVERGENCE • Summary Some properties of the space of trigonometric polynomials of degree с^/г? connected with uniform convergence of Fourier series? are investigated, ^0606oOT66 — ЛИТЕРАТУРА — REFERENCES 1. 2. 3. 4. Б. С. К а ш и н. Труды МИАН? т. 145. Н. К. Б а р и . Тригонометрические ряды. М., 1961. A.M. О л е в с к и й. ДАН СССР, 238, № 4, 1978. А. 3 и г м у н д. Тригонометрические ряды, т. 2. Мв? 1965,