Геометрия и алгебра Экзаменационные вопросы Группы 0812

Геометрия и алгебра
Экзаменационные вопросы
Группы 0812-1, 0812-2
1. НОД целых чисел. Алгоритм Евклида.
2. Расширенный алгоритм Евклида. Коэффициенты Безу (линейное разложение НОД).
3. Взаимно простые числа. Критерий взаимно простых чисел. Свойства взаимно простых чисел.
4. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел.
5. Основная теорема арифметики.
6. Сравнения и классы вычетов. Операции (сложение, вычитание, умножение) с классами вычетов.
7. Поле комплексных чисел. Операции над комплексными числами в алгебраической форме записи.
8. Тригонометрическая форма записи и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Умножение и
деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра.
9. Извлечение корня натуральной степени из комплексных чисел.
10. Бинарная алгебраическая операция. Ассоциативность. Коммутативность. Полугруппа. Примеры
полугрупп. Нейтральный элемент в полугруппе. Симметричные элементы в полугруппе.
11. Группа. Примеры групп. Обратные элементы в группе.
12. Кольцо. Примеры колец. Мультипликативное свойство нуля. Правило знаков при умножении.
Дистрибутивность при вычитании. Лемма о сокращении.
13. Поле. Примеры числовых полей. Делители нуля в поле.
14. Кольцо вычетов. Необходимое и достаточное условие, при котором кольцо вычетов является полем.
15. Изоморфизм групп, колец и полей.
16. Кольцо многочленов. Деление с остатком. Делимость.
17. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
18. Расширенный алгоритм Евклида для многочленов. Коэффициенты Безу (линейное разложение НОД).
19. Взаимно простые многочлены. Критерий взаимно простых чисел. Свойства.
20. Неприводимые многочлены над полем. Существование и единственность разложения многочленов на
неприводимые множители.
21. Освобождение многочлена от кратных множителей.
22. Деление многочлена на линейный множитель. Теорема Безу. Схема Горнера
23. Корни многочлена. Кратность корня. Производная многочлена. Корни производной.
24. Лемма о младшем члене (при доказательстве основной теоремы алгебры).
25. Лемма о старшем члене (при доказательстве основной теоремы алгебры).
26. Доказательство основной теоремы алгебры.
27. Разложение многочлена на линейные множители над полем комплексных чисел. Разложение на
линейные и квадратичные множители многочлена с вещественными коэффициентами.
28. Формулы Виета.
29. Интерполяционный многочлен. Его существование и единственность. Интерполяционный многочлен в
форме Лагранжа.
30. Отыскание рациональных корней многочлена с целыми (рациональными) коэффициентами.
31. Примитивные многочлены. Лемма Гаусса. Эквивалентность неприводимости многочленов над полем
рациональных и кольцом целых чисел.
32. Признак Эйзенштейна неприводимости многочленов над кольцом целых чисел.
33. Алгоритм Кронекера разложения многочлена над кольцом целых чисел.
34. Геометрические векторы. Линейные операции над ними. Коллинеарные и компланарные векторы.
Базис. Аффинная (общая декартова) и прямоугольная системы координат.
35. Деление отрезка в заданном отношении.
36. Скалярное произведение геометрических векторов. Его свойства. Выражение скалярного произведения
через координаты в ортонормированном базисе.
37. Векторное произведение. Его свойства. Выражение векторного произведения через координаты
векторов в ортонормированном базисе.
38. Смешанное произведение. Его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты
векторов.
39. Метод Гаусса и метод Жордана–Гаусса решения систем линейных уравнений. Ступенчатый и
приведенный вид матрицы.
40. Линейное (векторное) пространство. Примеры (геометрические радиус-векторы, арифметическое
пространство, пространство многочленов). Простейшие следствия из аксиом.
41. Подпространство, его критерий. Линейная оболочка системы векторов. Линейная оболочка –
минимальное подпространство, содержащее данные векторы.
42. Линейная комбинация и линейная выразимость. Транзитивность отношения линейной выразимости.
Эквивалентные системы векторов, критерий эквивалентности.
43. Линейные зависимость и независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости.
44. Лемма о замене.
45. База и ранг системы векторов. Существование базы у конечной ненулевой системы.
46. Конечномерное пространство, его базис и размерность. Эквивалентные определения: базис –
максимальная линейно независимая система, базис – минимальная полная система.
47. Координаты векторов линейного пространства. Их свойства.
48. Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности.
49. Размерность подпространства конечномерного пространства. Сумма и пересечение подпространств.
Связь размерностей суммы и пересечения подпространств.
50. Прямая сумма подпространств. Критерий прямой суммы.
51. Матрицы. Определения и свойства операций A + B, αA, A⋅B, AT. Действия с матрицами, разбитыми на
блоки.
52. Понятия столбцового и строчечного ранга матрицы. Их эквивалентность.
53. Изменение координат вектора при замене базиса. Матрица перехода.
54. Изменение координат вектора при замене системы координат.
55. Евклидово и унитарное пространства. Определения. Простейшие следствия.
56. Неравенство Коши–Буняковского для векторов евклидова и унитарного пространств.
57. Неравенство треугольника для векторов евклидова и унитарного пространств.
58. Ортогональные векторы в евклидовом и унитарном пространстве. Теорема Пифагора и ее обобщение.
59. Матрица Грама. Запись скалярного произведения с помощью матрицы Грама.
60. Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова (унитарного) пространства. Их свойства.
61. Ортогональное дополнение к подпространству евклидова (унитарного) пространства. Проекция и
перпендикуляр. Метод нахождения проекции.
62. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.
63. Критерий Кронекера–Капелли совместности системы линейных уравнений.
64. Пространство решений системы линейных однородных уравнений. Его базис (фундаментальная
система решений) и размерность.
65. Описание множества решений системы линейных неоднородных уравнений. Линейное многообразие.
66. Задание линейного подпространства/многообразия в виде множества решений системы линейных
уравнений.