Ôàìèëèÿ_____________________________________________ Èìÿ_____________________________________________ Îò÷åñòâî_____________________________________________ Ãðóïïà___________ Ðàçðåøàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå êàëüêóëÿòîðà. Îáîçíà÷åíèÿ: E(X) - ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå V ar(X) - äèñïåðñèÿ Ac - îòðèöàíèå ñîáûòèÿ A Òåñò 1 2 3 4 5 6 7 8 9À 9Á Èòîãî Òàáëèöà çàïîëíÿåòñÿ ïðîâåðÿþùèì ðàáîòó. Êîììåíòàðèé: Êîíòðîëüíàÿ áóäåò èìåòü àáñîëþòíî òàêîé æå ôîðìàò, êàê äåìî-âåðñèÿ. Êîíòðîëüíàÿ áóäåò ñîäåðæàòü çàäà÷è òåõ æå òåì è òîãî æå óðîâíÿ ñëîæíîñòè. ÓÄÀ×È! 1 2 ÃÓ-ÂØÝ, 2 êóðñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Êîíòðîëüíàÿ 1. demo-version. ×àñòü I. Îáâåäèòå âåðíûé îòâåò: 1. Äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû P (X > 0) ≥ P (X + 1 > 0). 2. Äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ E(X) < 2, Äà. Íåò. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå P (X < 2) = 1. Äà. Íåò. 3. Åñëè A ⊂ B, 4. Åñëè X òî P (A|B) ≤ P (B|A). - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî Äà. Íåò. E(X) + 1 = E(X + 1). Äà. Íåò. 5. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé. Äà. Íåò. 6. Äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A è B, 7. Äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A è B âûïîëíÿåòñÿ âåðíî, ÷òî P (A|B) + P (A|B c ) = 1. P (A|B) ≥ P (A ∩ B), Äà. Íåò. åñëè îáå âåðîÿòíîñòè ñóùå- ñòâóþò. Äà. Íåò. 8. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ìîæåò áûòü ïåðèîäè÷åñêîé. Äà. Íåò. 9. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè, òî 10. Äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû E(X) ≥ E(−X). 11. Âåðîÿòíîñòü áûâàåò îòðèöàòåëüíîé. Äà. Íåò. [ïðàâèëüíî=+1 P (X = 0) = 0. áàëë; íåò îòâåòà=íåïðàâèëüíî=0 áàëëîâ ] Äà. Íåò. Äà. Íåò. ÃÓ-ÂØÝ, 2 êóðñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Êîíòðîëüíàÿ 1. demo-version. ×àñòü II 3 Ñòîèìîñòü çàäà÷ 10 áàëëîâ. Çàäà÷à 1 Íà äåíü ðîæäåíèÿ ê Âàñå ïðèøëè äâå Ìàøè, äâà Ñàøè, Ïåòÿ è Êîëÿ. Âñå âìåñòå ñ Âàñåé ñåëè çà êðóãëûé ñòîë. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî Âàñÿ îêàæåòñÿ ìåæäó äâóìÿ òåçêàìè? Çàäà÷à 2 Ïîåçäà ìåòðî èäóò ðåãóëÿðíî ñ èíòåðâàëîì 3 ìèíóòû. Ïàññàæèð ïðèõîäèò íà ïëàòôîðìó â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïóñòü Íàéäèòå X - âðåìÿ îæèäàíèÿ ïîåçäà â ìèíóòàõ. P (X < 1), E(X) Çàäà÷à 3 Æèòåëè óåçäíîãî ãîðîäà N íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ãîâîðÿò ïðàâäó ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 . 3 Â÷åðà ìýð ãîðîäà çàÿâèë, ÷òî â 2014 ãîäó â ãîðîäå áóäåò ïðîâåäåí ìåæïëàíåòíûé øàõìàòíûé òóðíèð. Çàòåì çàìåñòèòåëü ìýðà ïîäòâåðäèë ýòó èíôîðìàöèþ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî øàõìàòíûé òóðíèð äåéñòâèòåëüíî áóäåò ïðîâåäåí? Çàäà÷à 4 Âðåìÿ óñòíîãî îòâåòà íà ýêçàìåíå ðàñïðåäåëåíî ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó, ò.å. èìååò p(t) = c · e−0.1t çíà÷åíèå ïàðàìåòðà c ôóíêöèþ ïëîòíîñòè à) Íàéäèòå ïðè t > 0. á) Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Èâàíîâ áóäåò îòâå÷àòü áîëåå ïîëó÷àñà? â) Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Èâàíîâ áóäåò îòâå÷àòü åùå áîëåå ïîëó÷àñà, åñëè îí óæå îòâå÷àåò 15 ìèíóò? ã) Ñêîëüêî âðåìåíè â ñðåäíåì äëèòñÿ îòâåò îäíîãî ñòóäåíòà? Çàäà÷à 5 Ñòóäåíò ðåøàåò òåñò (ìíîæåñòâåííîãî âûáîðà) ïðîñòàâëåíèåì îòâåòîâ íàóãàä.  òåñòå 10 âîïðîñîâ, íà êàæäûé èç êîòîðûõ 4 âàðèàíòà îòâåòîâ. Çà÷åò ñòàâèòñÿ â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðàâèëüíûõ îòâåòîâ áóäåò íå ìåíåå 5. à) Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò ïðàâèëüíî îòâåòèò òîëüêî íà îäèí âîïðîñ á) Íàéäèòå íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî ïðàâèëüíûõ îòâåòîâ â) Íàéäèòå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ÷èñëà ïðàâèëüíûõ îòâåòîâ ã) Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñòóäåíò ïîëó÷èò çà÷åò 4 ÃÓ-ÂØÝ, 2 êóðñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Êîíòðîëüíàÿ 1. demo-version. Çàäà÷à 6 X è Y çàäàí Y = −1 Y = 0 Y = 2 X=0 0, 2 c 0, 2 X=1 0, 1 0, 2 0, 1 Íàéäèòå c , P (Y > −X) , E (X · Y ) , Corr(X, Y ), E (Y |X > 0) Ñîâìåñòíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàáëèöåé: Çàäà÷à 7 Âàñÿ ïðèãëàñèë òðåõ äðóçåé íàâåñòèòü åãî. Êàæäûé èç íèõ ïîÿâèòñÿ íåçàâèñèìî îò äðóãîãî ñ âåðîÿòíîñòüþ Íàéäèòå 0, 9, 0, 7 è 0, 5 ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü N - êîëè÷åñòâî ïðèøåäøèõ ãîñòåé. E(N ) Çàäà÷à 8 Îõîòíèê, èìåþùèé 4 ïàòðîíà, ñòðåëÿåò ïî äè÷è äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ èëè äî èçðàñõîäîâàíèÿ âñåõ ïàòðîíîâ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè ïåðâîì âûñòðåëå ðàâíà 0.6, ïðè êàæäîì ïîñëåäóþùåì - óìåíüøàåòñÿ íà 0.1. Íàéäèòå à) Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïàòðîíîâ, èçðàñõîäîâàííûõ îõîòíèêîì á) Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ×àñòü III Ñòîèìîñòü çàäà÷è 20 áàëëîâ. Òðåáóåòñÿ ðåøèòü îäíó èç äâóõ çàäà÷ (9À èëè 9Á) ïî âûáîðó! Çàäà÷à 9À Ó Ìèñòåðà Õ åñòü n çîíòèêîâ. Çîíòèêè ìèñòåð Õ õðàíèò äîìà è íà ðàáîòå. Êàæäûé äåíü óòðîì ìèñòåð Õ åäåò íà ðàáîòó, à êàæäûé äåíü âå÷åðîì - âîçâðàùàåòñÿ äîìîé. Ïðè ýòîì êàæäûé ðàç äîæäü èäåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8 íåçàâèñèìî îò ïðîøëîãî, (ò.å. óòðîì äîæäü èäåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8 è âå÷åðîì äîæäü èäåò ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.8 âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÷òî áûëî óòðîì). Åñëè èäåò äîæäü è åñòü äîñòóïíûé çîíòèê, òî ìèñòåð Õ îáÿçàòåëüíî âîçüìåò åãî â äîðîãó. Åñëè äîæäÿ íåò, òî ìèñòåð Õ ïîåäåò áåç çîíòèêà. Êàêîé ïðîöåíò ïîåçäîê îêàæåòñÿ äëÿ ìèñòåðà Õ íåóäà÷íûìè (ò.å. áóäåò èäòè äîæäü, à çîíòà íå áóäåò) â äîëãîñðî÷íîì ïåðèîäå? Òðåáóåòñÿ ðåøèòü îäíó èç äâóõ çàäà÷ (9À èëè 9Á) ïî âûáîðó! Çàäà÷à 9Á Íà÷èíàþùàÿ ïåâèöà äàåò êîíöåðòû êàæäûé äåíü. Êàæäûé åå êîíöåðò ïðèíîñèò ïðîäþñåðó 0.75 òûñÿ÷ åâðî. Ïîñëå êàæäîãî êîíöåðòà ïåâèöà ìîæåò âïàñòü â äåïðåññèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.5. Ñàìîñòîÿòåëüíî âûéòè èç äåïðåññèè ïåâèöà íå ìîæåò.  äåïðåññèè îíà íå â ñîñòîÿíèè ïðîâîäèòü êîíöåðòû. Ïîìî÷ü åé ìîãóò òîëüêî öâåòû îò ïðîäþñåðà. Åñëè ïîäàðèòü öâåòû íà ñóììó √ 0≤x≤1 òûñÿ÷ åâðî, òî îíà âûéäåò èç äåïðåññèè ñ âåðîÿòíîñòüþ x. Êàêîâà îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ ïðîäþñåðà?