Тематика задач, включённых в экзаменационные билеты по

Тематика задач, включённых в экзаменационные билеты по аналитической
геометрии (2014 г.)
1. Вычисление суммы, разности, скалярного произведения векторов, а также произведения
вектора на число.
2. Нахождение точки, которая делит отрезок в заданном отношении.
3. Исследование линейной зависимости векторов.
4. Разложение вектора по заданному базису.
5. Вычисление проекции вектора на ось.
6. Вычисление орта вектора.
7. Вычисление векторного, двойного векторного и смешанного произведения векторов.
8. Использование свойств скалярного, векторного, двойного векторного и смешанного
произведения вектора для доказательства тождеств.
9. Исследование коллинеарности и компланарности векторов.
10. Исследование того, образуют ли данные векторы правую или левую тройку.
11. Нахождение вектора, направленного по биссектрисе угла между двумя заданными векторами.
12. Нахождение медиан, высот, биссектрис и углов треугольника с заданными вершинами.
13. Нахождение четвёртой вершины параллелограмма по трём заданным вершинам.
14. Вычисление площади треугольника или параллелограмма с заданными вершинами.
15. Вычисление объёма тетраэдра или параллелепипеда с заданными вершинами.
16. Вычисление направляющих косинусов вектора и использование основного свойства
направляющих косинусов.
17. Вычисление суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, а также
комплексно сопряжённого числа.
18. Возведение комплексного числа в целую степень.
19. Решение квадратного уравнения с комплексными коэффициентами.
20. Вычисление модуля и аргумента комплексного числа.
21. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.
22. Представление комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной
форме.
23. Вычисление корня из комплексного числа.
24. Составление уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
25. Составление уравнения плоскости, проходящей через одну прямую параллельно другой
прямой.
26. Составление уравнения плоскости, проходящей через две пересекающиеся (параллельные)
прямые.
27. Составление уравнения плоскости, проходящей через две заданные точки параллельно
заданной прямой.
28. Составление уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно
заданной прямой.
29. Нахождение проекции точки на плоскость, расстояния от точки до плоскости и точки,
симметричной данной точке относительно плоскости.
30. Составление параметрических уравнений прямой по каноническим и наоборот.
31. Составление уравнений прямой, проходящей через данную точку параллельно другой прямой
(на плоскости и в пространстве).
32. Составление уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно другой
прямой (на плоскости).
33. Составление уравнений биссектрис углов между двумя пересекающимися прямыми на
плоскости.
34. Составление уравнений прямой, проходящей через две заданные точки (на плоскости и в
пространстве).
35. Составление канонических уравнений прямой, проходящей через заданную точку
перпендикулярно заданной плоскости.
36. Составление канонических уравнений прямой, проходящей через заданную точку
параллельно двум плоскостям.
37. Составление канонических уравнений прямой, являющейся линией пересечения двух
плоскостей.
38. Составление уравнений прямой (плоскости), равноудалённой от двух точек на плоскости (в
пространстве).
39. Нахождение проекции точки на прямую, расстояния от точки до прямой и точки,
симметричной данной точке относительно заданной прямой (на плоскости и в пространстве).
40. Нахождение точки пересечения прямых (на плоскости и в пространстве).
41. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми.
42. Нахождение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.
43. Исследование взаимного расположения двух плоскостей (пересекаются, параллельны или
совпадают).
44. Вычисление угла между плоскостями.
45. Вычисление расстояния между параллельными плоскостями.
46. Исследование взаимного расположения двух прямых на плоскости и в пространстве
(скрещиваются, пересекаются, параллельны или совпадают).
47. Вычисление угла между прямыми (на плоскости и в пространстве).
48. Вычисление расстояния между параллельными прямыми (на плоскости и в пространстве).
49. Исследование взаимного расположение прямой и плоскости (пересекаются, параллельны или
прямая лежит в плоскости).
50. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
51. Вычисление угла между прямой и плоскостью.
52. Вычисление расстояния между параллельными прямой и плоскостью.
53. Составление канонических уравнений проекции прямой на плоскость.
54. Вычисление эксцентриситета эллипса (гиперболы) с заданным каноническим уравнением.
55. Нахождение уравнений касательных к кривой второго порядка, проведённых из заданной
точки, не лежащей на кривой.
56. Составление канонического уравнения эллипса (гиперболы) по заданному эксцентриситету и
расстоянию между двумя фокусами, двумя директрисами или между фокусом и директрисой.
57. Составление канонического уравнения эллипса (гиперболы) по заданным расстояниям между
фокусами и между директрисами.
58. Составление канонического уравнения гиперболы по заданным асимптотам и
эксцентриситету или расстоянию между двумя фокусами, двумя директрисами или между
фокусом и директрисой.
59. Составление канонического уравнения гиперболы (эллипса), имеющей общие фокальные
хорды с заданным эллипсом (гиперболой).
60. Задачи на использование оптических свойств кривых второго порядка.
61. Составление канонического уравнения кривой второго порядка по её полярному уравнению.
62. Составление неканонического уравнения эллипса (гиперболы, параболы) по заданному
фокусу и директрисе.
63. Составление неканонического уравнения эллипса (гиперболы, параболы) по заданным
фокусам и касательной.
64.
65.
66.
67.
Вычисление определителей третьего и четвёртого порядка.
Применение свойств определителей для преобразования определителей.
Вычисление транспонированной матрицы.
Вычисление суммы, разности и произведения матриц, а также произведения матрицы на
число.
68. Вычисление обратной матрицы.
69. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.
70. Исследование матрицы на ортогональность, применение свойств ортогональных матриц.
71. Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.
72. Исследование линейной зависимости столбцов и строк.
73. Представление столбца (строки) в виде линейной комбинации других столбцов (строк).
74. Нахождение ранга и базисного минора матрицы.