Задание №3.

1. Отобразить круг |z|<1 на себя так, чтобы отрезок действительной оси y=0,
0  x  a , (a  1) перешел в отрезок действительной оси, симметричный
относительно начала координат. Найти длину преобразованного отрезка.
2. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезом по
лучу [1, ) .
3. Круг z  1 с разрезами по отрезкам a,1 ,  1,b (0  a  1, 0  b  1) отобразить на
круг w  1 так, чтобы w(0)  0 , w(0)  0 . Определить w(0) и длины дуг,
соответствующих разрезам.
4. Отобразить на верхнюю полуплоскость внешность единичного круга с разрезами
по отрезкам i, bi,  bi,i , 1, a,  a,1 , (a  1, b  1)
1
z e dz , где n – целое число, а С – окружность z  r .
2 i C
1
dz
Вычислить
, где С – окружность z  r  1

2
2 i C z  z  1
1
dz
Вычислить
, где С – парабола y 2  x , обходимая в сторону

4
2
2 i C z  1 z  1
возрастания y .
1
dz
Вычислить
(a z  e z ln a ) , где a  0 , а С – проходимая снизу вверх
z

2 i C a sin( z )
прямая x   , 0    1 .
Пусть область D – это вся плоскость с разрезом по отрицательной части
действительной оси, а z и ln z те ветви этих функций в области D, которые
z ln z
dz применима
положительны при z  1 . Доказать, что к интегралу 
2
D 1  z
теорема о вычетах, и вычислить его.
5. Вычислить
6.
7.
8.
9.
2
z
n
z 2 dz
10. Вычислить
e 
2 iz 3
D

11. Вычислить
 x
dx
2
0

1
n
1
, где D – область z  3 n  , (n  0,1,2...)
2
1
, n – натуральное число.

sin 2 x
12. Вычислить  2 dx .
x
0

13. Вычислить
sin 3 x
0 x 3 dx .
1
e z
dz
14. Вычислить все возможные значения интеграла 
2
C ( z  1) ( z  1)
15. Вычислить  e
C
z
1
z
dz , где С – окружность z  1