УДК 539.3 ИМПУЛЬСНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 539.3
ИМПУЛЬСНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИМ ПОЛЕМ В
ПОЛУПЛОСКОСТИ
В.А. Фильштинский, доц.; Л.А. Фильштинский, проф.
Изучены условия существования граничного управления вида
   x  x  
(   -дельта-функция,
  0 ), реализующего возможность достижения заданного гармонического режима в полуплоскости
y  0 . Найдены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в терминах неотрицательности
квадратичных форм. Решение основано на интегральных представлениях специальных классов
аналитических функций. Рассмотрены примеры.
Рассмотрим полуплоскость y  0 с заданной на ее границе обобщенной функцией Q x   x  E  Rn  ,
Q x dx  d  x  , где  - мера, сосредоточенная на множестве E . В частности, возможны ситуации, когда
Q x  
  x  x    0,    ,

x  E .
(1)
Функция Q x  задает граничные значения гармонической в полуплоскости функции
определяемой формулой [1]
Q x , y  
d t 
y
  t  x 
2
E
 y2
.
Q x , y  ,
(2)
Пусть задано некоторое точечное множество F из полуплоскости y  0 , в точках которого необходимо
(за счет выбора управления d t  ) добиться выполнения условий
Qx , y   Q
(3)
с заданными x , y  0 и Q .
Эта задача не всегда разрешима, при выяснении условий ее разрешимости привлечем подход, указанный
в [ 2-4 ].
Задача Дирихле. Если на границе полуплоскости y  0 задано некоторое распределение   x  , то
функция гармоническая внутри полуплоскости определяется формулой (2). Пусть в полуплоскости задано
некоторое контролируемое множество точек zk  x k  iyk  F и желаемые значения функции поля
Wk  0 в них. Разыскивая обобщенную функцию   t 
( d t    t dt , 
- мера) так, чтобы
Q x k , yk   Wk (задача управления), приходим к варианту проблемы Неванлинна-Пика в классе  [4 ].
Докажем следующее утверждение.
Теорема 1 Пусть zk  x k  iyk и Qk  0  k  1, 2, ..., n  заданы.
1) Если хотя бы для одного набора вещественных Rk k 1 квадратичная форма
n
n

j , k 1
Wk  Wj
zk  zj
k j
Wk :  Rk  iQk 
(4)
не негативна, то существует решение задачи управления с обобщенными граничными значениями
 x  
N
  x  t    N  ,   0


(5)
1
такими, что 2 Q  0 , Q x k , yk   Qk
уточняется в процессе доказательства).
 k  1, 2, ..., n  ,
Q|y  0    x 
(смысл последнего равенства
2) Если существует решение указанной задачи, то найдутся вещественные Rk такие, что Wk  Rk  iQk
, и квадратичные формы (4) не негативны.
Доказательство. 1 Пусть при некоторых Rk формы (4) не негативны. Тогда существует функция
f  z  (теорема А в [3]):
f  z  z   
такая, что f  zk   Wk

1

 1
  t  z  t

 d   t ,
 1
1
2

 k  1, 2, ..., n  . Ясно, что
I m f  z  y 

1
(6)
I m f  zk   Qk . Кроме того,
yd   t 
 t  x 

d t   0 ,
2

 y2
.
(7)
Если форма (4) сингулярна, то  t  - функция скачков с конечным числом скачков. Если же форма (4)
позитивна, то всегда можно найти пару  zn 1, Wn 1  таким образом, чтобы форма (4), в которой вместо n
поставлено n  1 , была сингулярной. Соответствующая функция
  t  уже будет функцией скачков, а
отвечающая ей f   z   - удовлетворяющей тем же условиям f   zk   Wk . Итак, всегда можно найти
функцию  t  как функцию скачков. Пусть  t  


Q x , y :  I m f  z  y 
Функция
удовлетворяет
Q
N
  t  t   . Тогда


1

N

t

y

1

x
2  y2
2 Q  0 ,
условиям
Q x , y   x  при y  0 , точнее, нужно проверить, что


 
lim Q x , y  x dx 

y 0
.
Q zk   Qk .
(8)
Осталось
проверить
условие
N
 t  


(9)
1
для любой   C с компактным носителем. Равенство (9) будет доказано, если установить, что

y

 t  dt
 t  x 

2
 y2
  x   0 ïðè y  0 .
Последнее соотношение вытекает из тождества [1]
 x   l i m
y 0
2
Пусть
существует
y


 t  dt
 t  x 
2

решение
задачи
 y2
.
Дирихле,
удовлетворяющее
условиям
 k  1, 2, ..., n  :
 
Q x, y 
y


d t 
 t  x 

2
y
f  z 
2


1

I m f  z
d t 
 t z .

 d t   0 ;
(10)
Q x k , yk   Qk
Положим Rk :   1 Re f  z ( zk  x k  iyk , Wk  Rk  iQk ). В этом случае разрешима интерполяционная
проблема Неванлинна-Пика в классе  и не негативны формы (4).
Замечания. 1 Функция yQ 0, y не убывает при y   0,   и

   d t  .
lim yQ 0, y 
y 

2 Как следует из формулы обращения Перрона-Стильтьеса [2],
 x   l i m
 0
1

x
 Qt ,  dt .
0
При таком подходе множество F  {zk } может быть и бесконечно, и тогда вместо ненегативности одной
формы (4) требуется ненегативность каждой такой формы для любого конечного подмножества множества
F.
Локализуем область приложения управления   x  участком a, b . Таким образом, d t   0 при
t  a и t  b.
Теорема 2 Пусть F  некоторое числовое множество из полуплоскости y  0 , а каждому zk  F
отвечает вещественное и положительное Qk .
1) Если хотя бы для одного набора вещественных Rk квадратичные формы
n

 zk
 a Wk   zl  a Wl
zk  zl
k ,l  1
n

Wk  Rk  iQk ;
(11)
 b  zk Wk   b  zl Wl
k l
zk  zl
k ,l  1
k l ,
 
не негативны для любых конечных подмножеств zj  F (в случае бесконечного F ) или только формы
(11) в случае конечного F , то существует решение задачи управления с обобщенным управлением   t  ,
 t dt  d t  ( t  a, b ,  - мера).
2) Если существует решение задачи управления, то найдутся вещественные Rk такие, что при
Wk  Rk  iQk формы (11) не негативны.
Доказательство. 1 Из условий теоремы В в [5] вытекает существование функции  t  такой, что
f  z 

b
d t
, f z   W

 t z
1
k
k
.
a
Взяв мнимые части, получим
Qk 
b
1
yk d  t 
  t  x 
2
a
k
 yk2
,
что и требовалось.
2 Если задача имеет решение, то существует   t  такая, что
Qk 
yk

b
d  t 
 t  x 
2
a
k
 yk2

yk

b
d  t 
 t  z t  z 
a
k
k
Для завершения доказательства осталось положить

1

Im
b
d  t 
a
k
t z
.
Wk 
1
b
d t 
a
k
 t z
и применить теорему В.
Примеры. Рассмотрим стационарное тепловое поле в полуплоскости y>0.
1 Множество F состоит из одной точки  x 0 , y0  , значение температуры в ней равно Q0  0 . При
любом R квадратичная форма (4) совпадает с Q0 0
температуры

Q0
в

 x 0 , y0 
точке
  Q0 t 0  x 0   y02 y0
2
всегда
2
y0  0 . Следовательно, задача достижения
разрешима.
 x     x  t 0 
управление
При
решает
любом
задачу.
вещественном
При
t0
и
необходимости
минимизировать величину импульса  следует взять t 0  x 0 и тогда min  Q0y0 . Под влиянием такого
граничного воздействия в полуплоскости появится следующее распределение температуры:
Q x , y  
Q0 y0 y
 x  x 0 2  y2
 y  0 .
Для случая локализации a  t 0  b и минимизации импульса сохраняется прежний ответ, если
a  x 0  b . В противном случае, в качестве t 0 нужно брать ближайший к x 0 конец интервала a, b и
положить


0  Q0 t  x 0   y02 y0 .
2
2 Пусть множество F состоит из двух точек  x1 , y1  ,  x 2 , y2  с соответствующими температурами Q1 ,
Q2 . Преобразовав детерминант
W1
z1
W1
z1
 W1
 z1
 W2
 z2
W2
z2
W2
z2
 W1
 z1
,
 W2
 z2
отвечающий квадратичной форме, и требуя его неотрицательности, приходим к утверждению: для
разрешимости двухточечной задачи необходимо и достаточно наличие двух действительных чисел R1 , R2 ,
таких, что
QQ
2
2
2
2
R2  R1  1 2  x 2  x1    y2  y1    Q2  Q1  .
y1y2


Отсюда немедленно вытекает необходимое и достаточное условие разрешимости (без участия чисел R1 ,
R2 ). Оно заключается в выполнении неравенства относительно исходных данных:

 

Q1Q2  x 2  x1   y12  y22  Q12  Q22 y1y2 .
2
(12)
В частности, условие (12) всегда выполнено при Q1  Q2 , а для y1  y2 условием разрешимости служит
неравенство
Q1  Q2
Q1Q2

x 2  x1
y1
.
(13)
 0,1 , 1,2 и Q1  1 , Q2  2 условие (12) выполнено.
2
управлением может служить   x   5  x  2 . Здесь Q x , y  5y /  x  2  y 2  .
Относительно двух точек
Граничным
3 В случае, когда множество F состоит из бесконечного числа точек, легко получить необходимое
условие разрешимости. Пусть на отрезке y  const  y0 , a  x 0  b задана желательная температура Q x 
. Из (13) следует, что если хотя бы для одной пары x , x   a, b нарушено условие
Q x   Q x 
Q x  Q x 
x x
,
y0

то задача неразрешима. На вертикали x  const  x 0 , 0  a  y  b . Таким условием служит неравенство
Q y 
Q y 
4 На точечном множестве F 
x,

Q y 
Q y 

y y
 .
y y
 задана функция Q x   
x, 0  x  1
arct gx 3 2 Q 0  0.5 .
1
Граничная температура (   x   1 , x  0, 1 и   x   0 , x  0, 1 ), удовлетворяет поставленным
условиям, так как в этом случае
 
Q x, y 


1

Q x, x 
ar ct g
1

y
,
y  x 1  x 
2
ar ct gx  3 2 ,
y  0,
0  x  1.
SUMMARY
The conditions of existence of boundary control of garmonic regime in the upper half-plane are studied. The examples illustrated this method
are given.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука. - 1981. -512с.
2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов. - М.: ГИФМЛ. - 1961. - 310с.
3. Кац И.С., Крейн М.Г. R- функции-аналитические функции, отображающие верхнюю полуплоскость в себя. В кн. Ф. Аткинсон.
Дискретные и непрерывные граничные задачи. - М.: МИР. - 1968. -С.629 - 648.
4. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. - М.: Наука. - 1973. - 552с.
5. Фильштинский В.А., Фильштинский Л.А. Импульсное граничное управление напряженным состоянием полуплоскости. - Известия
РАН, МТТ. - 1994. - N2. - С.87 - 92.
Поступила в редколлегию 13 июня 1996 г.