Билинейные и квадратичные формы задачи

Билинейные и квадратичные формы
1. Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую ей
квадратичную форму в трехмерном линейном пространстве:
1. x1 y2 − 3x1 y3 + 7 x2 y3 + x2 y1 − 3x3 y1 + 7 x3 y2 + x3 y3 .
2. Восстановить симметричную билинейную форму в трехмерном линейном
пространстве по данной квадратичной форме и составить ее матрицу:
1. x12 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 5x22 + 12 x2 x3 + 7 x22 ;
2. 2 x12 − 6 x1 x2 − 3x22 .
3. Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу:
0
1
1
 2 −1 0
1 1




− 1 2 − 1 − 1
1 1 − 1 − 1


;
; 2.
1.
 0 −1 2
1 − 1 1 − 1
0




2
 0 −1 0
1 − 1 − 1 1 
0 −1 0
0
0
2


2
0 −1 0
0
 0
−1 0
2 −1 0
0
.
3. 
 0 −1 −1 2 −1 0 
 0
0
0 − 1 2 − 1


0
0
0 −1 2 
 0
4. Квадратичная функция дана в базисе e . Записать эту квадратичную функцию в
базисе e ′ :
1. 25x12 − 14 x1 x2 + 2 x22 , e1′ = e1 + e2 , e2′ = − e1 + e2 ;
2. 3x12 + 10 x1 x2 + 9 x22 , e1′ = 2e1 − e2 , e2′ = e1 − e2 ;
3. x12 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 − x32 , e1′ = e1 + e2 + e3 , e2′ = 2e1 − e2 + e3 , e3′ = − e1 + 2e2 − 3e3 .
5. Привести данную квадратичную форму к каноническому виду. Найти ранг;
положительный и отрицательный индексы и сигнатуру этой формы:
1. 4 x12 + 4 x1 x2 + 5x22 ;
2. 25x12 + 30 x1 x2 + 9 x22 ;
3. x12 + 4 x1 x3 + x22 + 2 x2 x3 + 4 x32 ;
4. 9 x12 − 12 x1 x2 − 6x1 x3 + 4 x22 + 4 x2 x3 + 4 x32 .