Работа над ошибками (контрольная работа I)

Работа над ошибками (контрольная работа I)
1.
2.
Вычислить градиент функции
в точке (3, -4).
x12  2 x1 x2  3 x22
Для задачи нелинейного программирования: min
при условиях: x12  x22  25; ( x1  5)2  ( x2  5)2  16 указать
локальные и глобальные минимумы.
Пояснить решение графически.
 4x1  x2
3.
Имеет ли решение задача нелинейного
программирования: max x1  x2 при условиях:
x1  0, x2  0 ?
4.
Построить какую-либо выпуклую функцию, для которой
точка (0, 2) является условным минимумом на множестве,
заданном ограничениями: x1  0, x2  0 .
5.
Найти проекцию точки (2, 2, 2) на множество:
6.
Построить функцию Лагранжа для задачи
нелинейного программирования:
x12  x22  4 ,
{x1  0, x2  2, x3  0}
min
x  x2
2
1
при условиях:
x12  x22  6, 2 x1  3x2  2,
x1  0, x2  0
7.
8.
9.
Построить какую-либо выпуклую комбинацию векторов A = (1, 1, 1), B = (10,
0, 0), C = (0, –1, –2).
Проверить, является ли вектор s = (-1, 6) направлением
убывания функции 4 x12  x1 x2  x22  4 в точке x = (1, –1).
Найти какое-либо направление убывания функции
4 x12  x1 x2  6 x22
в точке (0, 0).
10.
Является ли функция
x x
2
1
2
2
выпуклой?
11. Верно ли, что если функция дифференцируема (в
точке), то она выпукла?
Верно ли, что если функция выпукла, то она
дифференцируема?
Верно ли, что из выпуклости функции следует ее
ограниченность снизу?
12. Верно ли утверждение:
Модуль выпуклой функции – функция выпуклая.
13. Верно ли утверждение:
Квадрат любой выпуклой функции – функция
выпуклая.
(См. пример nonconvex_2.nb)
14. Верно ли утверждение:
Квадрат выпуклой неотрицательной функции –
функция выпуклая.
15.
16.
Для задачи на условный минимум функции
x12  x22
при
ограничениях: x1  0, x2  0 построить множество
D*.
Имеет ли решение задача нелинейного
программирования:
max
x1  x2
при ограничениях:
x12  x22  4,
17.
x1  0, x2  0 ?
Найти вектор строго опорный в точке (0, 2) ко множеству
D  {x  R 2 :  2  x1  5; 2  x2  8} .
18. Вектор g = (-2, 0) является опорным в точке x = (0, 0)
{x : x  R 2 , x1  0}
для множества
Является ли вектор g опорным в точке x для
множества
{x : x  R 2 , 1  x1  2, 3  x2  4}
19.
Вектор g = (-1, 0) является опорным в точке x = (-1, 0) для
множества {x : x  R 2 , x1  0} . Является ли вектор g опорным в
точке x для множества {x : x  R 2 , x1  0, x2  0} ?
20.
Убедиться, что антиградиент функции f ( x)  ( x1  6)2  ( x2  10)2
в точке (0, 0) является опорным вектором в этой точке для
неотрицательного ортанта. Найти min f ( x) при
ограничениях x1  0, x2  0 .
21.
Укажите все грани множества
D  {x  E 2 : x1  x2  2; x1  2 x2  3; x1  2 x2  4} и их размерности.
22. Найти все крайние точки и крайние лучи
выпуклого конуса
{x :  x1  2 x2  0, x2  0}
23.
D   x : x1  2, x2  1, x12  x22  25
Является ли
выпуклым многогранным множеством?
24. Найти вектор, опорный в точке (1, –1) ко
множеству
x : 2x1  x2  1 .
25. Построить конус опорных векторов в точке (2, 0)
для множества
D   x : x12  x22  4
.
26. Записать градиентное неравенство для функции
x12  8 x1 x2  x22
в точке
x0  (1,1) .
Выполняется ли оно в точке
x  (0,1) ?
27. Записать условие дополняющей нежесткости
для задачи нелинейного программирования:
min
x12  2 x2
при условиях:
x12  x22  4, x1  2 x2  4
,
x1  0, x2  0 . Проверить его выполнение для
x   2,0 , y   4,1
векторов
.
28. Найти проекцию вектора (3, -2) на множество
D  {x  R 2 : 2 x1  3x2  6} .
29.
Удовлетворяет ли система неравенств x12  x22  4, x1  x2  1
условию Слейтера относительно неотрицательного
ортанта?
30. Какие из приведенных утверждений верны:
1) множество является ограниченным, если оно содержит
свою границу
2) множество является ограниченным, если оно замкнуто
3) любое открытое множество неограниченно
4) любое выпуклое множество замкнуто и ограничено
5) любое выпуклое множество замкнуто
31.
Является ли выпуклым множество всех рациональных
чисел?
(Предложен ответ: ДА, т.к. оно замкнуто и ограничено)
32.
Верно ли, что если все лебеговы множества функции
выпуклы, то функция выпукла?
33. Следует ли выпуклость множества из выпуклости
его внутренности?
Следует ли выпуклость внутренности множества из
выпуклости множества?
Верно ли, что любое выпуклое множество есть
пересечение конечного числа замкнутых
полупространств?
33.
34.
35.
Справедливо ли утверждение: точка минимума выпуклой
функции на выпуклом множестве единственна тогда и
только тогда, когда эта функция строго выпукла?
Доказать, что множество
выпуклый конус.
{x : x1  5t , x2  3t , t  0}
Для задачи на условный минимум выпуклой функции
2 x12  4 x22
на выпуклом множестве D записать
необходимое и достаточное условие минимума первого
порядка
в точке x*=(0, 0) .
36.
Какие из следующих утверждений верны:
1) стационарная точка функции является точкой
локального экстремума
2) если функция ограничена снизу, у нее существует
глобальный минимум
3) в стационарной точке функции градиент равен нулю
4) у любой непрерывно дифференцируемой функции
существуют стационарные точки
–