Задача про «Монгольфьер

Çàäà÷à ïðî
«Ìîíãîëüôüåð»
Ñ.ÂÀÐËÀÌÎÂ
Ä
ßÄß ÔÅÄÎÐ ÐÅØÈË ÑÄÅËÀÒÜ ØÀÐ ÄËß ÏÎËÅÒΠ ÂÎÇ-
äóõå è íàçâàë åãî «Ìîíãîëüôüåð». Íî ïðåæäå îí ïðîâîäèò äîìà èñïûòàíèÿ óìåíüøåííîé ìîäåëè òàêîãî øàðà,
ñêëååííîé èç ïàïèðîñíîé áóìàãè ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ 0,04 êã ì2 . Ìîäåëü èìååò îáúåì 1 ì 3 è ìàññó îáîëî÷êè
m = 0,19 êã. Øàð ïîäâåøèâàåòñÿ ê ïîòîëêó íà íèòêå. Äëÿ
çàïîëíåíèÿ øàðà ãîðÿ÷èì âîçäóõîì äÿäÿ Ôåäîð èñïîëüçóåò
ãîðþ÷åå âåùåñòâî èç ïàïèíîé êîëëåêöèè – ýòèëîâûé ñïèðò
( C2H5OH ) ñ óäåëüíîé òåïëîòîé ñãîðàíèÿ â âîçäóõå
λ = 2,7 ◊ 107 Äæ êã . Ïðåíåáðåãàÿ òåïëîåìêîñòüþ îáîëî÷êè
è ïîòåðÿìè òåïëà ÷åðåç ñòåíêè øàðà, îí îöåíèâàåò ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ýòèëîâîãî ñïèðòà, êîòîðîå íåîáõîäèìî ñæå÷ü,
÷òîáû øàð ïåðåñòàë íàòÿãèâàòü íèòêó, íà êîòîðîé âèñèò.
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äàâëåíèå àòìîñôåðíîãî âîçäóõà p = 105 Ïà ,
åãî òåìïåðàòóðà t0 = +20 ∞C .
Ñõåìó õèìè÷åñêîé ðåàêöèè ãîðåíèÿ ýòèëîâîãî ñïèðòà â
âîçäóõå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå òàêîãî óðàâíåíèÿ:
êîé ðåàêöèè îí íå ó÷àñòâóåò (àçîò ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 80%
ñîñòàâà âîçäóõà, à êèñëîðîä – òîëüêî îêîëî 20%).  ïðîöåññå
ïîëíîãî ñãîðàíèÿ ñïèðòà èç êàæäûõ òðåõ ìîëåêóë êèñëîðîäà
(ñëåâà îò çíàêà ðàâåíñòâà) îáðàçóþòñÿ ïÿòü ìîëåêóë ïðîäóêòîâ ñãîðàíèÿ (ñïðàâà îò çíàêà ðàâåíñòâà). Äî ðåàêöèè â
ãàçîîáðàçíîì ñîñòîÿíèè íàõîäèëîñü ïÿòíàäöàòü ìîëåêóë, à
ïîñëå ðåàêöèè èõ ñòàëî ñåìíàäöàòü. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ âûäåëèëàñü â âîçäóõå, êîòîðûé ñîñòîèò
òîëüêî èç äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë è èìååò ñðåäíþþ ìîëÿðíóþ
ìàññó Ì = 0,029 êã/ìîëü.
Ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà îáîëî÷êè øàðà çíà÷èòåëüíî áîëüøå
ïëîòíîñòè îêðóæàþùåãî øàð âîçäóõà, êîòîðàÿ ðàâíà
ρ0 = Μ p ( RT0 ) ª 1,2 êã ì 3 . ×òîáû øàð ïåðåñòàë íàòÿãèâàòü
íèòêó, ïëîòíîñòü ρ íàãðåâøåãîñÿ âîçäóõà âìåñòå ñ ïðîäóêòàìè ñãîðàíèÿ ñïèðòà âíóòðè øàðà è îáúåì V ýòîé íàãðåòîé
÷àñòè âîçäóõà äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü íåðàâåíñòâó
(ρ0 - ρ) V ≥ m .
Ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà âîçäóõà âíóòðè øàðà äîëæíà ñòàòü
ðàâíîé
ρ
T = T0 0 .
ρ
Ìàññà íàãðåâøåãîñÿ âîçäóõà ðàâíà ρV , è íàãðåëñÿ ýòîò
âîçäóõ íà ∆T = T0 (ρ0 - ρ) ρ â ïðîöåññå ñ ïîñòîÿííûì äàâëåíèåì, ò.å. ñ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòüþ Cp . Ñëåäîâàòåëüíî,
ìèíèìàëüíîå íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ðàâíî
C2H2OH + 3 O2 + 12 N 2 = 2 CO2 + 3 H2O + 12 N 2 + Q ,
ãäå Q – êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëèâøååñÿ ïðè ñãîðàíèè
ñïèðòà.  íàïèñàííîì óðàâíåíèè ïðèñóòñòâóåò àçîò (â ïðàâèëüíîì ñîîòíîøåíèè ê êèñëîðîäó), õîòÿ â ñàìîé õèìè÷åñ-
Q = Cp
CpmT0
ρV
∆T =
.
Μ
Μ
Äëÿ âîçäóõà Cp = 7R 2 . Îòñþäà ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî
ñïèðòà, êîòîðîå íóæíî ñæå÷ü, ñîñòàâëÿåò
mñï =
Q 7RmT0
=
= 7 ◊ 8,31 ◊ 0,19 ◊ 293 êã ª 2 ◊ 10 -3 êã .
λ
2Μλ
2 ◊ 29 ◊ 10 -3 ◊ 2,7 ◊ 107
Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ñïèðòà ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîèçâåäåíèþ òåìïåðàòóðû îêðóæàþùåãî âîçäóõà è ìàññû ãðóçà, êîòîðûé íóæíî ïîäíÿòü. Ýòî
êîëè÷åñòâî íå çàâèñèò îò òîãî, êàêàÿ ÷àñòü âîçäóõà
âíóòðè øàðà ïðîãðåëàñü, ëèøü áû íå áûëî òåïëîâûõ
ïîòåðü íàðóæó.
Òåïåðü âðåìÿ çàäàòü ãëàâíûé âîïðîñ: à õâàòèò ëè
çàïàñîâ ïàïèíîé êîëëåêöèè – ïðèáëèçèòåëüíî 0,8 ë
ñïèðòà, – ÷òîáû îòîðâàòü îò çåìëè äÿäþ Ôåäîðà, åñëè
åãî ìàññà 50 êã, à ñóììàðíàÿ ìàññà îáîëî÷êè è êîðçèíû
ñïðîåêòèðîâàííîãî èì ïîëíîìàñøòàáíîãî øàðà «Ìîíãîëüôüåð» ðàâíà ìàññå ìàëü÷èêà, ò.å. îáùàÿ ïîäíèìàåìàÿ ìàññà ñîñòàâëÿåò Ì = 100 êã?
Äëÿ îòðûâà îò çåìëè äÿäè Ôåäîðà âìåñòå ñ êîðçèíîé
è îáîëî÷êîé øàðà «Ìîíãîëüôüåð» ïîòðåáóåòñÿ â Ì/m
ðàç áîëüøå òîïëèâà, ò.å. 1,1 êã ñïèðòà, à â ïàïèíîé
êîëëåêöèè âñåãî îêîëî 0,8 êã. Âûâîä: çàïàñîâ â ïàïèíîé
êîëëåêöèè íå õâàòèò.
Íî ó äÿäè Ôåäîðà åñòü êîâàðíàÿ (äëÿ ïàïû) ìûñëü:
ïðîâåñòè ýêñïåðèìåíò çèìîé, òîãäà òåìïåðàòóðà T0
áóäåò ìåíüøå, è òîïëèâà òîæå ïîòðåáóåòñÿ ìåíüøå!
Çàìåòèì, ÷òî â íàøèõ ðàñ÷åòàõ ìû ñ äÿäåé Ôåäîðîì
íå ðàññìàòðèâàëè íàãðåâ îáîëî÷êè è òåïëîâûå ïîòåðè
÷åðåç îáîëî÷êó. Äëÿ àíàëèçà ýòèõ ÿâëåíèé è ó÷åòà èõ
âëèÿíèÿ íà ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîäñêàçêàìè. Îíè åñòü, íàïðèìåð, â ñòàòüå
«Ïóòåøåñòâèå íà âîçäóøíîì øàðå», îïóáëèêîâàííîé â
òðåòüåì íîìåðå «Êâàíòà» çà 2004 ãîä.