исследование функции на монотонность элементарными

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА МОНОТОННОСТЬ
ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Н.В. Худык
ФГБОУ ВПО «Шадринский государственный педагогический
институт», г. Шадринск
Руководитель: к.п.н., доцент Чикунова О.И.
Монотонность функции – одно из свойств, которым учащиеся должны
уметь оперировать не только на наглядном и рабочем уровнях, согласно
концепции А.Г. Мордковича, но и на формальном уровне (знать и уметь
применять строгое определение возрастающей и убывающей функций) уже к
окончанию основной школы. В практике обучения зачастую складывается так,
что в 10-11 классах после знакомства с аппаратом дифференциального
исчисления - признаками монотонности, они остаются единственным
средством исследования функции на монотонность. Тем самым огромный
потенциальный ресурс элементарного исследования функций на возрастание и
убывание остается не реализованным.
Мы считаем важным научить школьников применять для исследования
функций на монотонность кроме определения и признаков ряд
нижеперечисленных свойств.
1. Если f (x) возрастает (убывает) на множестве М и с - константа, то:
а) функция f (x) + с возрастает (убывает) на М,
б) функция с · f (x), с>0 возрастает (убывает) на М,
в) функция с · f (x), с<0 убывает (возрастает) на М.
2. Если f (x) и g(x) возрастают (убывают) на множестве М, то:
а) y= f (x)+ g(x) также возрастает (убывает) на М;
б) y= f (x) g(x) также возрастает (убывает) на М , где f (x) и g(x)
неотрицательны.
3. Если f (x) возрастает (убывает) на множестве М, то – f (x) убывает
(возрастает) на М.
4. Если f (x) монотонна на множестве М и сохраняет постоянный знак, то
функция 1 имеет противоположный характер монотонности на М.
f x 
5. Если f (x) и g(x) возрастают (убывают) на множестве М одновременно, то
y f  g  x  - возрастает на М.
6. Если f (x) и g(x) имеют разный характер монотонности на М, то y f  g  x –
убывает.
Приведем примеры исследования функций на монотонность с
использованием перечисленных свойств.
 x1 2 2
1) Исследуем на монотонность и экстремумы: y  2
.
Решение
Функция является сложной y  f  g  x  .
Пусть g  x  x 2 2 2; f 2 g .
D y   R , f  2 g  на R. Найдем промежутки монотонности функции g и
воспользуемся свойствами 5 и 6.
g
0
7  6  5 4  3 2 1
1
2
3
4
5
6
7
1
7
6
5
4
3
2
1
x
g
f
1 2 3 4 5 6 7
x
y  f  g  x 
На промежутке   ;1  y  f  g  x  .
На промежутке 1;   y  f g x   .
x min  1 по определению.
y min 1  1 .
4
Ответ:   ;1  y  f  g  x  ; 1;   y  f  g  x  ; y min 1  1 .
4
1
2) Исследуем на монотонность функцию: y    x 1 
.
6  x x 2
Решение
y    x 1 
y1
1
2
 x 12  6 14
 x 10 ,
D  y : 2
  x  x 6 0
y2
Преобразуем функцию. Введем
обозначения и проанализируем
монотонность функции на основе
свойств на 3;-1
D y 3;-1
№ cв-ва
y1

5
y1

5
y2

3
 y1

4
1
y2

y2
y2

3
2
3
№ cв-ва
1 1
2 x
2

y   y   
1

1
y2



1
y2



Ответ: функция возрастает на 3;-1 .
Приведем примеры, иллюстрирующие применение монотонности для
решения уравнений, неравенств.
3) Решить уравнение x2 x
2
2 x 3
64 (*)
Решение
Очевидно, что x  0 не может являться решением уравнения (*), так как тогда
x2 x
2
2 x 3
0 . Для x  0 функция y  x2 x
2
2 x 3
непрерывна и строго возрастает
2
по свойству 2б). Значит, в области x  0 функция y  x2 x 2 x3 принимает
каждое свое значение ровно в одной точке. Ясно, что x 1 является решением
уравнения (*), следовательно, это его единственное решение. Ответ: x 1 .
4) Решить неравенство 2 x 3 x  4 x  3 (**)
Решение
x
Каждая из функций y  2 , y  3 x , y  4 x непрерывная и строго
возрастающая на всей оси, значит по свойству 2а) исходная функция
y  2 x 3 x  4 x является такой же.
Легко видеть, что при x  0 функция y  2 x 3 x  4 x принимает значение 3, что
не удовлетворяет условию задачи - 2 x 3 x  4 x  3 .
В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при x  0 имеем
2 x 3 x  4 x  3 , что тоже не удовлетворяет условию.
При x  0 имеем 2 x 3 x  4 x  3 .
Следовательно, решениями неравенства (**) являются все x  0 .
Ответ:   x 0 .
Для решения уравнений f  g  x  f h x  можно применять следующее
свойство: если f  x  монотонна на X , то уравнение f  g  x  f h x  равносильно
уравнению g  x  h x  .
5) Решим уравнение 4 x 3 x 1 4 5 x 14 3 5 x 14 1 .
Решение
f  g  x  f h x  . Исследуем функцию
Имеем уравнение вида
монотонность.
Пусть f  x  4 x  3 x 1 , g  x  x , h x  5 x 14 .
x  3 ïðè õ1 ,
Раскроем модуль, построим график f  x  
7 õ  3 ïðè õ1
Функция y  f  x  возрастает на всей числовой прямой,
следовательно, уравнение вида f  g  x  f h x 
равносильно уравнению вида g  x  h x  .
Составим его: x  5 x 14 .
Полученное уравнение равносильно системе
 x 0 ,
 x 0 ,
;  2
;
 2
 x  5 x 14  x  5 x 14  0
x 7 .
Ответ: 7.
y  f x 
на
ó
y  x 3
4
1
0
1
x
y  7 x 3
3
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Бобровская, А.В., Чикунова, О.И. Практикум. Функции и графики: учеб.–
метод. пособие для учащихся 9–11 классов. – Изд. 2-е./ А.В. Бобровская,
О.И. Чикунова– Шадринск: Шадр. Дом Печати, 2012- 60 с.
2. Бобровская, А.В., Чикунова, О.И. Практикум. Уравнения. Неравенства.
Системы: учеб.–метод. пособие для учащихся 8–11 классов. – Изд. 2-е./ А.В.
Бобровская, О.И. Чикунова.– Шадринск: Шадр. Дом Печати, 2012- 76 с.