Лекция 4 – Тонкостенные оболочки Оболочка – это тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше других размеров. Срединная поверхность оболочки – это геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки. Для расчетов тонкостенных оболочек на прочность используют так называемую безмоментную теорию. В соответствии с этой теорией полагают, что внутренние изгибающие моменты отсутствуют, и напряжения по всей толщине стенки в одном сечении распределены равномерно. Мизг= 0 Исходные положения безмоментной теории 1. Сосуд имеет форму тела вращения (срединная поверхность – тело вращения), толщина сосуда необязательно постоянна. 2. Толщина всех стенок сосуда δ должная быть малой по сравнению с радиусом кривизны оболочки R: 1 R 20 3. Нагрузка должна быть распределенной и осесимметричной относительно оси вращения – это газовое и гидростатическое давление Уровень жидкости Теория применима. Теория неприменима. Уравнение Лапласа Рассмотрим тонкостенную оболочку, нагруженную внутренним давлением. Двумя меридиональными сечениями и двумя нормальными коническими сечениями вырежем элемент оболочки. 2 ρt σm dα dφ ρm dφ/2 σm ρm σt n σt q dφ δ n dφ/2 σm σt ρt dα σt q dα/2 dα/2 n 3 σm σmdφ ρt σm dα δρtdα σt dφ σt δ -q n ρtdαρmdφ ρm σtdα δρmdφ σm Спроектируем все силы на направление нормали n: m d . . t d t d . . m d q t d . m d 0 Сначала сократим на dd , а затем все разделим на В результате получаем известную формулу Лапласа: m t q m t t m . (*) Отметим, что формула выведена для сосуда, имеющего форму тела вращения. Поэтому, в самом общем случае, меридиональные (осевые) σm и тангенциальные (окружные) σt напряжения будут функцией координаты х точки на оси вращения, так как радиусы кривизны ρm и ρt., толщина δ и внутреннее давление q могут изменяться в зависимости от этой же координаты х. 4 Уравнение Лапласа содержит два напряжения σm и σt. Для вычисления этих напряжений необходимо второе уравнения, которое можно получить, спроектировав все силы, действующие на элемент, на ось оболочки. Однако это удобнее делать не для элемента, а для части оболочки, отсеченной нормальным коническим сечением. x Отбросим верхнюю часть и рассмотрим равновесие нижней части: σm φ φ φ rx σm δ x Px x m .2rx cos Px 0 Px m 2rx cos (**) 5 Вертикальная сила Px представляет собой сумму проекций на ось всех сил, действующих на отсеченную часть оболочки. Для вычисления этой силы полезно использовать две следующие теоремы: Теорема 1. q Px q qFпр Fпр Px x Если на какую либо поверхность действует равномерно распределенное давление q , то независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей Px сил давления на заданную ось x равна произведению давления q на площадь проекции Fпр данной поверхности на плоскость, перпендикулярную заданной оси. Теорема 2. Px abh h a b Px Если на некоторую поверхность, например на дно, действует давление жидкости с удельным весом γ, то вертикальная составляющая Px сил давления жидкости равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. 6 Сфера m t q m t R m t R В силу сферической симметрии m t qR Цилиндр t R m m q Px m m t q m t m ; Px 2rx cos m ; ; t R Px qR 2 7 ; ; t m qR 2 qR Конус rx xtg m t t t tr x m x m t q m t x Px qxtg xtg m ; t cos ; t cos Px 2 m Px q xtg ; 2rx cos ; qxtg m 2 cos При расчетах на прочность гибов и отводов трубопроводов тепловых и атомных электростанций используют решения для напряжений в торовой оболочке. Отводы и гибы соединяют с прямыми трубами с помощью кривого участка трубы, который рассматривают как часть тора. 8 Тор под внутренним давлением q t 0 Px 0 q m t r a a Для выделенного элемента тора Px t ; 2rx sin 2 rx a r sin Px q rx a2 qr 2a r sin t 2 a r sin 9 qr t m t q m m ( ) t m t ; qr a r sin m m r t ; sin ; 2 Окружное (тангенциальное) напряжение в торе, нагруженном внутренним давлением, минимально на внешней образующей (=3/2) и максимально на внутренней образующей(=/2). При (=0 и (=) окружное напряжение равно напряжению в прямой трубе с аналогичных размеров. 120 90 30 60 22.5 t( ) 150 MPa m( ) 30 15 t( ) q r 2 a r sin ( ) 2 a r sin ( ) 7.5 180 0 0 MPa 210 330 240 300 270 Окружное напряжение Меридиональное напряжение 10 m( ) q r 2 Толстостенная труба (Формулы Лямэ) tmax tmin b t a r r rmax qa 2 b 2 r r 2 2 1 2 b a r ; r m ax q qa 2 b 2 t r 2 2 1 2 b a r q b2 a 2 t m ax 2 2 b a ; ; t m in 11 ; r min 0 qa 2 z 2 2 b a 2qa 2 2 b a2 Преобразуем формулу для наиболее опасных окружных напряжений s b R 2 ; s a R 2 ; s ba Теперь она примет вид qR qs t max s s 4R ; Первый член этой формулы – окружные напряжения в тонкостенной трубе – формула Лапласа. qR t s s Оценим ошибку вычислений, если напряжения в толстой трубе будем вычислять по формуле Лапласа t maxs t s s t maxs 1 4R 2 1 2 s Построим зависимость погрешности вычислений от отношения толщины трубы к радиусу. 12 1 ( s) 1 R 4 s 2 Погрешность вычислений, % 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 Отношение толщины трубы к радиусу 0.4 Погрешность вычислений напряжений Как следует из приведенного графика, при увеличении отношения толщины к радиусу до 0,4 , погрешность вычислений составляет менее 4 %. 13