Лекция 4. Тонкостенные оболочки и толстостенные трубы

Лекция 4. Тонкостенные оболочки и
толстостенные трубы
Оболочка – это тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше других
размеров.
Срединная поверхность оболочки – это геометрическое место точек, равноотстоящих от
обеих поверхностей оболочки.
Мизг= 0
Исходные положения безмоментной теории
1. Сосуд имеет форму тела вращения (срединная поверхность –
тело вращения), толщина сосуда необязательно постоянна.
2. Толщина всех стенок сосуда δ должная быть малой по
сравнению с радиусом кривизны оболочки R:

R

1
20
3. Нагрузка должна быть распределенной и осесимметричной
относительно оси вращения – это газовое и гидростатическое
давление
Уровень жидкости
Теория применима.
Теория неприменима.
Уравнение Лапласа
Рассмотрим тонкостенную оболочку, нагруженную внутренним
давлением. Двумя меридиональными сечениями и двумя
нормальными коническими сечениями вырежем элемент оболочки.
Уравнение Лапласа, элемент оболочки
Уравнение Лапласа, равновесие элемента
Спроектируем все силы на направление нормали n:
 m d . . t d   t d . . m d  q t d . m d  0
Сначала сократим на dd , а затем все разделим на  t  m .
В результате получаем известную формулу Лапласа:
m t q


m t 
(*)
Равновесие части тонкостенной оболочки
Отбросим верхнюю часть и рассмотрим равновесие нижней части:
σm
φ
φ
φ
rx
σm
δ
x
Px
x
 m .2rx cos    Px  0
Px
m 
2rx cos 
(**)
Теорема 1
q
Теорема 1.
Px q   qFпр
Fпр
x
Px
Если на какую либо поверхность действует равномерно
распределенное давление
q , то независимо от формы
поверхности, проекция равнодействующей Px сил давления на
заданную ось x равна произведению давления q на площадь
проекции
Fпр
данной
поверхности
на
плоскость,
перпендикулярную заданной оси.
Теорема 2
Теорема 2.
Px    abh
h
a
b
Px
Если на некоторую поверхность, например на дно, действует
давление жидкости с удельным весом γ, то вертикальная
составляющая Px сил давления жидкости равна весу жидкости в
объеме, расположенном над поверхностью.
Напряжения в сфере под давлением
Сфера
m t q


 m t 
R
 m  t  R

В силу сферической симметрии
m  t 
qR

Напряжения в трубе под давлением
Цилиндр
t
R
m
m

q
Px
m
m t q


 m t 
;
Px
m 
2rx cos  
m  
;
;
t  R
Px  qR 2
;
;
t 
m 
qR
2
qR

Напряжения в конусе под давлением
Конус
rx  xtg  
m
t
t
t
t r
m
m 
m
x
 
m t q


 m t 
xtg  


  ; t cos 
x
x
Px
;
t 
qxtg  
 cos  
Px
2




P

q

xtg

x
;
2rx cos   ;
qxtg  
m 
2 cos  
Торовая оболочка
Напряжения в торе под давлением
Для выделенного элемента тора
Px
t 
;
2rx sin 


Px  q rx  a
rx  a  r sin  
qr 2a  r sin  
t 
2 a  r sin  
m t q
 
m t  ;
qr
a  r sin  
m 
m 
sin   ;
2
2
2
Напряжения в торе (продолжение)
120
90
30
60
22.5
150
 t(  )
MPa
 m(  )
30
15
q r  2 a r sin (  )
 t(  )
2  a r sin (  )
7.5
180
0
0
MPa
210
330
240
300
270

Окружное напряжение
Меридиональное напряжение
 m(  )
q r
2 
Толстостенная труба (формулы Лямэ)
tmax
tmin
b
t
a
r
r
rmax
qa 2  b 2 
 r r   2 2 1  2   r max   q
b a  r  ;
qa 2  b 2 
 t r   2 2 1  2 
b a  r 
 t max

q b2  a 2
 2
b  a2

;
;
 r min  0
qa 2
z  2 2
;
b a
2qa 2
 t min  2 2
b a
Погрешность при замене формулы Лямэ на
формулу Лапласа
1
 ( s)
1
R
4
s
2
Погрешность вычислений, %
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
Отношение толщины трубы к радиусу
0.4
Погрешность вычислений напряжений