ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНЫЕ

«Труды МАИ». Выпуск № 82
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 539.3
Статическое и динамическое поведение пологих оболочек под
действием быстропеременных температурно-силовых воздействий
Белосточный Г.Н.*, Мыльцина О.А.**
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского,
СГУ, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410012, Россия
*e-mail: [email protected]
**e-mail: [email protected]
Аннотация
На базе несвязанной термоупругости получены решения краевых задач для
пологих оболочек двоякой кривизны и постоянного кручения в условиях
конвективного теплообмена через основные поверхности с внешней средой. В
случае оболочки двоякой кривизны быстропеременное, по пространственной
координате, температурно-силовое воздействие происходит на границе. Оболочка
постоянного кручения, со стороны одной из основных поверхностей, подвергается
воздействию, на малом временном интервале, сосредоточенной силы и на этом же
временном
интервале
происходит
скачкообразное
изменение
температуры
окружающей среды, что приводит к кратковременному перепаду температуры по
толщине термоупругой системы. Решения теплопроводности и термоупругости
получены
методами
переменными
одинарных
коэффициентами.
и
двойных
Выражения
тригонометрических
для
рядов
коэффициентов
с
рядов
записываются в замкнутом виде. На основании решений получены трехмерные
1
изображения термических поверхностей и функции прогиба, а также изображения
частотно-амплитудных
характеристик
в
зависимости
от
параметров
геометрического толка, числа Био, интенсивности силовых и температурных
нагрузок.
Ключевые слова: конвективный теплообмен, термоупругость, пологие оболочки,
обобщенные функции, статика, динамика, амплитуда, частота.
1. Рассмотрим пологую оболочку двоякой кривизны, перекрывающую
прямоугольный план в координатной плоскости
xOy ,
со сторонами
a
и
b,
с
теплоизолированными основными поверхностями под действием линейного по
толщине температурного поля
Θ ( x, y, z) = θ0 +
z
θ
h 1
(θ ,
0
θ1
-
const ).
края оболочки, расположенные по координатным прямым
Два противоположных
y = 0, y = b,
шарнирно
оперты и нагружены быстропеременными по пространственной переменной « x »
усилиями и моментами:
при y = 0 , y = b : u = 0 , T22 = T 0  −
x
a
4
x1 
 H ( x − x1 ) , w = 0 ,
a
(1)
x
M 22 = M 0 
a
где
H ( x − x1 )
4
−
x1 
 H ( x − x1 ) ,
a
- функция Хевисайда, неопределенная, но ограниченная в точке
x1 .
Два других края оболочки могут быть закреплены любым из известных
способов.
Неоднородные краевые условия (1) перепишутся в компонентах поля
перемещений u (u, v, w) в виде
2
при y = 0 , y = b : u = 0 , v,2 = α(1 + ν )θ0 +
T0
B
4
 x x1 
 −  H ( x − x1 ) , w = 0 ,
a a 
(2)
w,22 = −
Здесь
B=
Eh
1− ν
2
,
D=
Eh 3
12(1 − ν 2 )
α(1 + ν )
h
θ1 −
4
0
M  x x1 
 −  H ( x − x1 ) .
D a a 
.
Решение несвязной термоупругости пологой оболочки двоякой кривизны
будем разыскивать в виде, тождественно удовлетворяющим всем краевым условиям
(2)
u( x, y) =
∑ u ( x) sin
k
k
kπ y T 0
v( x, y) = ∑ vk ( x) cos
+
b
B
k
w( x, y) =
∑ w ( x, y) sin
k
k
где
B(x)
kπ y
,
b
4
 x x1 
 −  H ( x − x1 ) y + α θ 0 (1 + ν ) y + B( x) ,
a a 
(3)
4

 α(1 + ν )
kπ y 1 2
M 0  x x1 
θ1 +
− ( y − b y)
 −  H ( x − x1 )  ,

b
2
h
D a a 


подлежащая (в дальнейшем) определению функция, как решение
дифференциального уравнения
2
d 2B
T0
bx x 
1
= − 12  − 1  H ( x − x1 )
2
dx
B
aa a 
a
и имеет вид
B( x) = −
T0
B
4
b
 x x1 
 −  H ( x − x1 ) + D0 + D1 x .
a
a
2


На основании стандартных процедур метода одинарных тригонометрических
рядов
получим
систему
обыкновенных
уравнений относительно коэффициентов
неоднородных
дифференциальных
u k ( x) , vk ( x) , wk (x)
2
3
d 2u k 1 − ν  k π 
dw
1 + ν k π dvk
1
x x 
− (k1 + ν k2 ) k = − B1 k  − 1  H ( x − x1 ) ,
−
 uk −

2
2  b 
2 b dx
dx
dx
a
a a 
(4)
2
kπ
1 + ν k π d uk  k π 
1 − ν d vk
− (ν k1 + k2 )
w =
−
 vk +
2
b k
2 b dx  b 
2 dx
2
3
2
1
4
1
1
x x 
x x 
= − B2 k − B3 k  − 1  H ( x − x1 ) − B4 k  − 1  H ( x − x1 )
a
a
a
a a 
a a 
,
4
2
du
d 4 wk
B
B
kπ
B
 k π  d 2 wk  k π 
− 2
v =
+
 wk + (k12 + 2ν k1 k2 + k22 )wk − (k1 + ν k2 ) k + (ν k1 + k2 )

2
4
D
d
x
D
b k
dx
b
d
x
b
D




= B5 k H ( x − x1 )
2
1
4
1
1
1
x x 
x x 
+ B6 k  − 1  H ( x − x1 ) 3 + B7 k  − 1  H ( x − x1 ) 3 + B8 k 3
a3
a
a
a
a
a
a
a




.
Здесь обозначено
B1 k = 2(1 + ν )
2
b
T0 0
M 0 a  b  ~2
~
a k + 2( k1 + ν k2 )a
  a k , B2 k = ( ν k1 + k2 )a (1 + ν ) αθ1bk ,
h
B
D a
B3 k = 6(1 − ν )
2
M 0a b ~
T0 ~ b
M 0  b  ~2
bk , B5 k = 12
bk , B4 k = ( ν k1 + k2 )a
a   a , …,
D a
B a
D a k
2
3
a
b a
B8 k = 6(k12 + 2ν k1 k2 + k22 )a 2 (1 + ν )αθ1 a~k2     − 12(1 − ν 2 )k1 a α θ0 a k0  
a
h
h
   
(5)
2
.
Определяя частные интегралы первых двух уравнений системы (4)
6
5
  x x1  4
 x x1  
 x x1 
~
~

u k = Ck  −  H ( x − x1 ) , vk = Bk  −  + Ek  −  H ( x − x1 ) + Fk ,
 a a 
 a a  
a a 

(6)



x
~ = A
w
k
k
a
4
−
6
x1 
x x  
 + Dk  − 1   H ( x − x1 )
a
a a  
решение, с помощью подстановок:
uk =
2
d 3Φ k
1 − ν 
 k π  d Φ k  ~
(
(
)
+ uk ,
k1 + ν k2 )
k
k
ν
(
2
)
+
−
+


2
1
d x3
2 
 b  d x 
3
vk =
2
1 − ν 
 kπ  d Φ k
 kπ 
Φ k + (− k1 + (2 + ν )k2 ) 
− (k2 + νk1 )

2
2 
 b  dx
 b 

+~
v ,
 k

(7)
2
4
2

1 − ν  d 4 Φ k
 kπ  d Φ k  kπ 
~ ,
wk =
+
− 2

 Φ k  + w
k
4
2

2  dx
 b 
 b  dx

тождественно удовлетворяющих первым двум уравнениям системы (4), сводится к
интегрированию неоднородных дифференциальных уравнений восьмого порядка
относительно функции
Φ k ( x)
4
Φ k( 8 ) + lk6 Φ k( 6 ) + lk4 Φ k( 4 ) + lk2 Φ k( 2 ) + lk0 Φ k = Gk a 5 +
(8)
2
4
6

x x  
x x 
x x 
+  Gk0 + Gk2  − 1  + Gk4  − 1  + Gk6  − 1   H ( x − x1 )a 5

 a a  
a a 
a a 

где
8
4
2
2
2
a
 k πa 
 k πa   k πa 
 a   k πa 
lk = 
 12(1 − ν 2 )  k12 a 2 , lk2 = −24 (1 − ν 2 )  

 +
 k1 k2 a 2 − 4
h
 b 
 b   b 
 h  b 
0
4
2
 k πa 
a
 k πa 

 + 12(1 − ν 2 )  kk2 a 2 , lk6 = −4
 b 
h
 b 
lk4 = 6
2
~
, Gk0 = −4! A
k + B5 k , …,
6
,
(9)
2
2
  k πa  4
~
k πa ~
a
a
E .
 + 12  (k12 + 2νk1 k2 + k22 )a 2  Dk − 12  (k2 + νk1 )a
 b 

h
h
b k
 
 


G k6 = − 
Решения неоднородных дифференциальных уравнений (8) запишутся в виде
[1]
2
 8 ~
G
~
~ x x 
Φ k ( x) = ∑ C ϕ km ( x) + 0k a 5 +  ∑ Ckmϕ km ( x) + Ak 0 + Ak 2  − 1  +
lk
m=1
a a 
 m=1
8
m
k
(10)
4
6
~ x x 
~ x x  
+ Ak 4  − 1  + Ak 6  − 1   H ( x − x1 )a 5 .
 a a  
a a 
Здесь
Ckm
- постоянные интегрирования,
ϕ km ( x)
- фундаментальная система функций
для однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (8),
~
Ckm
- являются решениями неоднородных алгебраических систем [1]
~
~
Fk ( x) x = − Ak 0 a 5 , Fk(1 ) ( x) x = 0 , Fk( 2 ) ( x) x = −2! Ak 2 a 5 , Fk( 3 ) ( x) x = 0 ,
1
1
~
Fk ( x) x = −4! Ak 4 a
(4)
5
1
Здесь обозначено
~
Ak 0 =
1
l k0
(G
0
k
Fk ( x) =
1
1
~
Fk ( x) x = 0 , Fk ( x) x = −6! Ak 6 a
(5)
,
(6)
1
8
~
∑C
m=1
km
~
~
~
− 2! l k2 Ak 2 − 4! l k4 Ak 4 − 6! l k6 Ak 6
1
G6
~
ϕ km ( x) , Ak 6 = 0k
lk
,
~
Ak 4 =
).
5
(11)
5
,
Fk ( x) x = 0 .
(7 )
1
1  4 6! 2 ~  ~
1
4! ~
6! ~ 
 Gk − lk Ak 6  , Ak 2 = 0  Gk2 − lk2 Ak 4 − lk4 Ak 6  ,
0
lk 
lk 
4!
2!
2!


Отметим, что в решении (10) коэффициент при функции Хевисайда в точке
x = x1
(где она не определена) обращается в нуль вместе со своими производными до
7-го порядка включительно.
Постоянные интегрирования
Ckm
определялись из граничных условий на двух
противоположных краях оболочки, которые задавались в виде обеспечивающих
непрерывность силовых нагрузок в угловых точках
при
при
x=0
v = 0 , T11 = 0 , M11 = 0 , w = 0 ;
x=a
x 

v = 0 , T11 = T 1 − 1 
a

0
4
,
x 

M11 = M 1 − 1 
a

4
0
(12)
,w= 0.
Подстановка решений (3) в (12) позволяет определить постоянные
содержит функция
D0
и
D1 ,
которые
B( x)
D0 = (1 + ν )αθ 0
b
2
,
D1 =
4
1 
T0 
x  b
(
1 + ν )αθ 0 −
1− 1  

2 
B
a   a
.
Окончательно выражение для функции прогиба примет вид
w( x, y) =
1 − ν  4
kπ y

~  ~ 
 L  ∑ Ckmϕ km  + L4 Φ k  + w
−
k  sin

b


 2   m

( )
∑ 
k
(13)

 α θ (1 + ν ) M 0  x x1  4
1
− ( y2 − by) 1
+
−  H ( x − x1 ) ,



h
D a a 
2


где
~
Φ k ( x)
- частное решение дифференциального уравнения (8),
~
w
k
- одно из частных
решений первых двух уравнений системы (4). По этой же схеме определяются и
тангенциальные компоненты поля перемещений.
2. Рассмотрим пологую оболочку постоянного кручения, перекрывающую в
координатной плоскости прямоугольный план со сторонами
внутренняя
поверхности
оболочки
находятся
6
в
a
условиях
и
b.
Внешняя и
конвективного
теплообмена с окружающей средой, а на краях оболочки поддерживается нулевая
температура. В некоторый момент времени
t1
внешняя поверхность испытывает
воздействие сосредоточенной силы, которое продолжается до момента времени
на этом же временном интервале
температуры
окружающей
сосредоточенной
силы
t 2 − t1 << 1
среды
на
t2
и
происходит «скачкообразное» изменение
величину
T1+
со
стороны
q 0 a1 b1 δ ( x − x1 , y − y1 )(H (t − t1 ) − H (t − t 2 )) ,
что
действия
приводит
к
кратковременному изменению перепада температуры по толщине термоупругой
системы на указанном временном интервале.
Решение несвязанной термодинамической задачи сводится к интегрированию
системы дифференциальных уравнений
u,11 +
1− ν
1− ν
γh
u,22 +
v,12 − (1 − ν )k12 w,2 =
u, ,
2
2
g B tt
1− ν
1+ ν
γh
u,12 + v,22 +
v,11 − (1 − ν )k12 w,1 =
v, ,
2
g B tt
2
α
B
B
∇ 2 ∇ 2 w + 2 (1 − ν )k122 w − (1 − ν )k12 (v,1 + u ,2 ) = − (1 + ν )∇ 2 θ1 +
D
D
h
+
где
θ1 ( x, y, t )
(14)
q0
γh
w, tt ,
a1 b1 δ ( x − x1 , y − y1 )(H (t − t1 ) − H (t − t 2 )) −
D
gD
- температурная функция [2, 3], которая является интегралом
дифференциального уравнения
1
β
κ 12 
κ +
(
+ 2 θ1 = 6
T0 + T1+ (H (t − t1 ) − H (t − t 2 )) − T − ),
λh
 λh h 

θ1 , t −∇ 2θ1 +  6
(15)
и имеет вид
θ1 (x, y, t ) =
∑
km

∆Tkm 1 − 6

β
κ a a 1  − a skmt
κ a a ∆Tkm
 e
+6
+
λ h skm 
λ h skm
2
7
(16)
β
β
− skm ( t − t ) 
− skm ( t − t

κ a a + ekm  
1 − e a
 H (t − t1 ) − 1 − e a
T1
skm  
λ h


+6
Здесь
2
H (t − tl )
точках
tl
1
2
2

kπx
mπ y
 H (t − t2 ) sin
.
sin

a
b


)
( l = 1,2 ) – функции Хевисайда, неопределенные, но ограниченные в
временной оси,
поверхностей
оболочки,
T0+ , T −
- температуры сред с внешней и внутренней
β
коэффициент
-
температуропроводности,
коэффициент теплоотдачи. Температурная функция
θ1
κ
-
связана с температурным
полем θ(x, y, t ) равенством [2]
θ( x, y, z, t ) =
z
θ ( x, y, t ) .
h 1
(17)
Компоненты поля перемещений термоупругой системы u (u, v, w) , тождественно
удовлетворяющие всем краевым условиям
x= 0, x= a
u = 0 , T12 = 0 , w = 0 , M11 = 0 ,
(18)
v = 0 , T12 = 0 , w = 0 , M 22 = 0 ,
y=0, y=b
будем разыскивать в виде сумм двойных тригонометрических рядов с переменными,
по временной координате, коэффициентами
u (x, y, t ) =
∑u
km
km
(t ) sin
kπx
mπ y
, v(x, y, t ) =
cos
a
b
∑v
km
km
(t ) cos
kπx
mπ y
, w(x, y, t ) =
sin
a
b
∑w
km
km
(t ) sin
kπx
mπ y
sin
a
b
(19
)
.
После ряда стандартных процедур метода двойных тригонометрических рядов, с
помощью подстановок
u km = (1 − ν )k12 a

 2 d 2Φ km

d 2Φ km ~ν
mπ a 
 G
 − G 2

(
)
,
v
1
ν
k
a
k
π
L
Φ
+
=
−
−
+ LνkmΦ km  ,
12
km
km km 
2
2
dt
b 
dt



(20)
wkm = G 2
d Φ km 3 − ν
d Φ km 1 − ν
(Lkm )2Φ km ,
LkmG 2
+
+
dt4
dt2
2
2
4
2
8
тождественно
удовлетворяющих
дифференциальных
уравнений
первым
двум
относительно
уравнениям
коэффициентов
системы
u km (t ) ,
решение
сводится к интегрированию обыкновенных неоднородных дифференциальных
уравнений шестого порядка относительно функций
G6
Φ km (t )
β
4
2
− s t
d 6Φ km
4
4 d Φ km
2
2 d Φ km
0
1
2
a
G
G
G
G
+
+
+
G
Φ
=
A
a
+
A
e
+
km
km
km
km
km
km
dt6
dt4
dt2
2 km
β
β
− skm ( t − t )  
− skm ( t − t




3
3
1 − e a
  H (t − t1 ) a −  qkm + Akm
1 − e a
+  qkm + Akm







1
2
где
 mπ a 
Lkm = (k π) + 

 b 
2
2
2
,
 mπ a 
Lkm = (k π) − ν

 b 
ν
2
2
,
(21)
2) 
  H (t − t2 ) a


~ν
,
 mπ a 
Lkm = ν(k π) − 

 b 
2
2
mπ a 
~
γ ha 2
, Lkm = (k π )2 − 
,
 , G=
gB
 b 
2
4
Gkm
=
3 −ν
D
2
Lkm + L2km
+ 2(1 − ν )(k12 a ) ,
2
2
Ba
2
=
Gkm

1 −ν 2
3 −ν
D
2
2
2~
+ 2(1 − ν )(k12 a )  + (1 − ν ) (k12 a ) Lkm ,
Lkm +
Lkm  L2km
2
2
2
Ba


0
Gkm
=
2

1 −ν 2  2 D
 mπ a  ~ν 
2
2
2
2 ν


(
)(
)
(
)
(
)
(
)
Lkm  Lkm
2
1
k
a
1
k
a
k
L
ν
ν
π
+
−
+
−
+
 Lkm  ,

12
12
km
2


2
B
a
b






1
Akm
= (1 + ν )

a D
κa a 1 
a D
κ a a α∆Tkm
2

 ,
(
)
=
+
∆
−
A
1
ν
L
α
T
1
6
,
L
6
km
km
km
km
2

h Ba
λ
h
s
h Ba2
λ h skm
km 

3
= (1 + ν )
Akm
κ a a ekm +
a D
αT .
L 6
2 km
λ h skm 1
h Ba
Интегралы уравнений (21) запишутся
Φ km (t ) = C 1 cos
1
2
+ Bkm
a + Bkm
e
−
β
a
λ1 t
G
s t
2 km
+ C 2 sin
λ1 t
G
+ C 3 cos
λ2 t
G
+ C 4 sin
λ2 t
G
+ C 5 cos
λ3 t
G
+ C 6 sin
λ3 t
G
+

3
(t ) H (t − t1 )a +  ∑ D~l ϕlkm (t ) + B~km3 (t ) H (t − t2 )a
+  ∑ Dl ϕlkm (t ) + Bkm
l
=
1


 l =1

6
6
Отметим, что коэффициенты при функциях Хевисайда
(22)
.
H (t − tl )
обращаются в нуль
вместе со своими производными до пятого порядка включительно при
9
t = tl
( l = 1,2 ),
так как постоянные
и
Dl
~
Dl
являются решениями неоднородных алгебраических
систем [1,4]
при
при
t = t1
t = t2
6
3 
Dl ϕlkm (t ) + Bkm
 ∑

l =1
(n)
6
3 
Dl ϕlkm (t ) + Bkm
 ∑

l =1
= 0 , (n = 0,1,2,3,4,5) ;
t1
(n)
= 0 , (n = 0,1,2,3,4,5) .
t2
Постоянные интегрирования
условий, которые задавались в виде
Cj
( j = 1,2,3,4,5,6) определяются из начальных
u = 0 , u = 0
при
t =0.
Уравнения срединных поверхностей пологих оболочек
r = xe1 + ye2 + z(x, y)e3
двоякой кривизны и постоянного кручения при расчетах задавались, соответственно
в видах [2, 5]
 ~
 x2 y 2  
 δ 1 − 2 2 + 2   − оболочка двоякой кривизны
b 

a
z(x, y) =  
~ x y
 δ a b − оболочка пост оянного кручения

~
δ
- наибольшая высота подъема оболочки над ее планом.
3. На основании полученных решений построены трехмерные изображения
поверхностей прогиба и их сечений одной из координатных плоскостей для
оболочки двоякой кривизны, а также графики изменений положений точек
срединной поверхности оболочки постоянного кручения во времени, при различных
значениях температурных величин, интенсивности силовых нагружений границ,
температурного скачка, геометрических параметров и числа Био.
Изображения поверхности прогиба для оболочки двоякой кривизны при
значениях параметров:
10
a
a
= 0,9901 , x1 =
b
4
Рис. 1.
~
δ
h
,
~
δ
h
= 0,005 , k11 = −4 2
a
a
,
k22 = −4
~
δ
b2
,
Рис. 2.
= 3 , θ 0 = 50 , T 0 = 20 , θ1 = 50 ,
~
δ
h
= 3 , θ 0 = 50 , T 0 = 20 , θ1 = 50 ,
M 0 = −100 .
Рис. 3.
~
δ
h
M 0 = −100 .
Рис. 4.
= 5 , θ 0 = 50 , T 0 = 20 , θ1 = 50 ,
~
δ
h
= 5 , θ 0 = 50 , T 0 = 20 , θ1 = 50 ,
M 0 = −100 .
Рис. 5.
~
δ
h
M 0 = −100 .
= 3 , θ 0 = 0 , T 0 = 20 , θ1 = 0 , M 0 = −100 .
Рис. 6.
~
δ
h
= 3 , θ 0 = 0 , T 0 = 20 , θ1 = 0 ,
M 0 = −100 .
Рис. 7.
~
δ
h
= 5 , θ 0 = 0 , T 0 = 20 , θ1 = 0 , M 0 = −100 .
Рис. 8.
~
δ
h
= 5 , θ 0 = 0 , T 0 = 20 , θ1 = 0 ,
M 0 = −100 .
11
Рис. 9.
~
δ
Рис. 10.
= 5 , θ 0 = 50 , T 0 = 20 , θ1 = −50 ,
h
~
δ
= 5 , θ 0 = 50 , T 0 = 20 , θ1 = −50 ,
h
M 0 = 100 .
M 0 = 100 .
~
δ
Рис. 11.
h
~
δ
Рис. 12.
= 5 , θ 0 = 50 , T 0 = 20 , θ1 = 50 ,
h
= 5 , θ 0 = 50 , T 0 = 20 , θ1 = 50 ,
M 0 = 100 .
Рис. 13.
~
δ
h
M 0 = 100 .
Рис. 14.
= 5 , θ 0 = 0 , T 0 = 0 , θ1 = 50 ,
M 0 = −100 .
Рис. 15.
~
δ
h
~
δ
h
= 5 , θ 0 = 0 , T 0 = 0 , θ1 = 50 ,
M 0 = −100 .
Рис. 16.
= 5 , θ 0 = 100 , T 0 = 50 , θ1 = 50 ,
M 0 = −100 .
~
δ
h
= 5 , θ 0 = 100 , T 0 = 50 , θ1 = 50 ,
M 0 = −100 .
12
Рис. 17.
Рис. 19.
~
δ
a
= 5 , θ 0 = 100 , T 0 = 50 , θ1 = 50 ,
=2,
h
b
M 0 = −100 .
a 4
=
b 5
,
~
δ
h
= 5 , θ 0 = 100 , T 0 = 50 , θ1 = 50 ,
Рис. 18.
Рис. 20.
M 0 = −100 .
~
δ
a
= 5 , θ 0 = 100 , T 0 = 50 ,
=2,
h
b
θ1 = 50 , M 0 = −100 .
a 4
=
b 5
,
~
δ
h
= 5 , θ 0 = 100 , T 0 = 50 ,
θ1 = 50 , M 0 = −100 .
Количественный анализ выявил следующие закономерности:
- прогиб оболочки двоякой кривизны и конфигурация поверхности прогиба
малочувствительны к изменениям параметров
θ0
и
T0
(Рис.13-16);
- существенное влияние на прогиб и конфигурацию поверхности прогиба оказывают
параметры
θ1
и
M0 .
С увеличением указанных параметров, при прочих равных
условиях, прогибы оболочки растут (Рис. 9-12);
- на конфигурацию поверхности прогиба значительно влияет параметр
b
(Рис. 17a
19).
Во всех рассмотренных случаях увеличение стрелы подъема оболочки над
планом ведет к росту величины прогиба во всех точках срединной поверхности
оболочки, даже в случае «холодной» оболочки ( θ
13
0
= 0 , θ1 = 0 )
(Рис.1-8).
На основании полученных решений для оболочки постоянного кручения
построены изображения изменений форм прогибов в различные моменты времени
(внутри и вне временного интервала
поверхности оболочки с координатами
см,
) и графики движения точки срединной
t 2 − t1
x=
a
2
,
y=
b
2
при значениях параметров:
a
b
a
a
a
b
= 0,005 , 1 = 10 − 3 , 1 = 10 − 3 , x1 = , y1 = , t1 = 1
= 1,
a
h
b
b
2
2
сек,
t 2 = 1,005
сек,
a = 100
T0+ = T _ = 20°C ,
материал типа «дюралюминий». На рис. 21-27 кривая 1 соответствует t = 1,0025 ,
кривая 2 соответствует t = 2 , кривая 3 соответствует t = 3 .
Рис. 21.
Bio = 20 ,
Рис. 22.
Bio = 20 ,
~
δ
h
~
δ
h
= 2,5 , q 0 = 5 , T1+ = 0 .
= 2,5 , q 0 = −5 , T1+ = 0 .
14
Рис. 23.
Bio = 20 ,
Рис. 24.
Bio = 20 ,
Рис. 25.
~
δ
= 2,5 , q 0 = 5 , T1+ = 200 .
h
~
δ
Bio = 20 ,
h
= 2,5 , q 0 = −5 , T1+ = 200 .
~
δ
h
= 2,5 , q 0 = 5 , T1+ = 50 .
15
Рис. 26.
Рис. 27.
Bio = 500 ,
Bio = 500 ,
~
δ
h
= 2,5 , q 0 = 5 , T1+ = 50 .
~
δ
h
16
= 5 , q 0 = 5 , T1+ = 50 .
Рис. 28.
Bio = 500 ,
~
δ
h
= 2,5 , q 0 = 5 , T1+ = 200 ;
– соответствует
t = 1,0015 ,
2–
а)
 b 
W x, , t 

t = 1,0025 ,
t ∈ [0,999;1,01] ,
в)
Количественный анализ показал:
2 
3–
для различных значений времени: 1
t = 1,0045 ,
4–
t = 1,007 ,
б)
a b 
W , , t  ,
2 2 
a b 
W , , t  , t ∈ [0,999;1,04 ] .
2 2 
- величины размахов колебаний незначительно уменьшаются с увеличением
относительной
стрелы
подъема
оболочки
–
параметр
~
δ
h
,
этот
процесс
сопровождается увеличением частоты колебаний (Рис. 26, 27);
- при отсутствии перепада температуры по толщине колебания симметричны
относительно временной оси и происходят с постоянной амплитудой (Рис. 23, 24).
При этом, как и следовало ожидать, знак прогиба, при прочих равных условиях,
зависит
от
направления
сосредоточенной
силы
только
при
отсутствии
температурного скачка (Рис. 21, 22);
- наличие скачкообразного изменения температуры (параметр
интервале
при
t > 1,4
1,4 − 1,0
T1+ )
на временном
сек нарушает отмеченную симметрию, колебания асимметричны и
сек симметрия восстанавливается. С увеличением параметра Био размахи
колебаний значительно возрастают (Рис. 25, 26) при той же частоте;
- после прекращения кратковременного температурно-силового воздействия
прогибы оболочки продолжают расти в течение временного промежутка почти в 4
раз превосходящего временной интервал нагружения (Рис. 28).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (14-08-00644 А).
17
Библиографический список
1.
Белосточный Г.Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов
сингулярных
дифференциальных
уравнений
термоупругости
геометрически
нерегулярных оболочек. Доклады Академии военных наук. №1. Поволжское
межрегиональное отделение. Саратов. 1999. С. 14-25.
2.
Рассудов
В.М.,
Красюков
В.П.,
Панкратов
Н.Д.
Некоторые
задачи
термоупругости пластинок и пологих оболочек. Саратов. Изд-во Саратовского
университета, 1973. 154 с.
3.
Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М.,
Изд-во МГУ, 1968. 520 с.
4.
Мыльцина О.А., Белосточный Г.Н. Термоупругость подкрепленной пластинки
под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий на границе //
Вестник Московского авиационного института, 2014 г., том 21, № 2. с. 169-174.
5.
Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. Москва -
Ленинград, Стройиздат, 1966. 302 с.
18