Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «НИС Введение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" Факультет Математики Программа дисциплины НИС «Введение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра Авторы программы: Горинов А.Г., PhD, [email protected] Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2015 г. Председатель С.М. Хорошкин Утверждена УС факультета математики «___»_____________2015 г. Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________ Москва, 2015 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «НИС Ведение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра 1 Область применения и нормативные ссылки Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра, направления 01.04.01 «Математика» подготовки магистра. Программа разработана в соответствии с: ОС НИУ ВШЭ; Рабочими учебными планами университета: по направлению 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 01.04.01 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2014 г. 2 Цели освоения дисциплины НИС «Введение в инварианты Зайберга-Виттена» является введением в инварианты гладких 4-мерных многообразий, не приходящие из топологии. Одна из основных целей состоит в том, чтобы разобрать доказательство двух теорем Саймона Доналдсона: 1. существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные односвязные замкнутые (т.е., компактные и без границы) гладкие 4-многообразия; 2. Существуют нетривиальные препятствия к существованию гладкой структуры на односвязных замкнутых топологических многообразиях, в частности, оказывается, что многие такие многообразия несглаживаемы. Мы планируем также разобрать необходимые пререквизиты из топологии, дифференциальной геометрии и уравнений с частными производными. 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины В результате освоения дисциплины студент должен научиться использовать при решении конкретных задач Расслоения со структурной группой и характеристические классы векторных расслоений. Связности и кривизну. Теорему Атии-Зингера об индексе и ее следствия. J-голоморфные кривые. Инварианты Зайберга-Виттена. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «НИС Ведение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции: Компетенция Дескрипторы – основные приКод по знаки освоения (показатели ФГОС/ НИУ достижения результата) умение воспринимать ПК-5 математические тексты ИК-М2.1 в форме устных сооб(МА) щений Способен воспринимать и интерпретировать математические тексты в форме устных сообщений разного уровня строгости и детализованности, в т.ч. содержащие легко устранимые ошибки умение выступать с ПК-6 Способен выступить с доустными сообщениями ИК-М2.2/ кладом (устным сообщенина тему собственных и 3.1/3.2(МА) ем) с изложением задач и чужих исследований результатов из области специализации студента (в т.ч. собственных) освоение специальной ПК-8 Способен освоить специпредметной термино- ИК-М2.4.1/ альную предметную термилогии на русском и 2.4.2 (МА) нологию на русском и ананглийском языках глийском языках для целей профессионального и научного общения умение публично опиПК-9 сать собственные ИК-М2.5.1/ научные результаты и 2.5.2 (МА) результаты других учёных умение найти научную ПК-10 информацию и адап- ИК-М4.1/ тировать её для устно- 4.2/4.6 (МА) го изложения в докладе 4 Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции Формируется при работе на семинаре в ходе восприятия докладов других студентов и последующего обсуждения этих докладов Формируется в ходе подготовки доклада, выступления на семинаре и последующего обсуждения Формируется в ходе всей работы по дисциплине — прослушивания и обсуждения (на английском языке) докладов других студентов, подготовки и выступления (на английском языке) с докладом на семинаре Формируется в ходе подготовки доклада, выступления на семинаре и последующего обсуждения Способен публично описать собственные научные результаты и результаты других учёных из области специализации студента Способен находить необхо- Формируется в ходе подгодимую научную информа- товки доклада на семинаре цию (в т.ч. с использованием электронных библиотечных ресурсов и баз данных) и адаптировать её для устного изложения в докладе на семинаре Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления подготовки «Математика» Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «НИС Ведение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра базовые курсы алгебры, геометрии и топологии (1 и 2 годы бакалавриата); Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и результатами из курсов: пучки и гомологическая алгебра (I-II модули, 3, 4 год бакалавриата); дифференциальная геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата); алгебраическая геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата); топология 1 и 2 (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата); функциональный анализ 1 и 2 (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата); Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: - свободное владение основными понятиями алгебры, геометрии, топологии и анализа - дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: Алгебраическая геометрия Дифференциальная топология Дифференциальная геометрия Теория представлений Математическая физика (квантовая теория поля). 5 № 1 2 3 4 5 6 7 Тематический план учебной дисциплины Название раздела Расслоения, связности, кривизна, характеристические классы, редукция структурной группы. Алгебры Клиффорда: классификация алгебр Клиффорда и их представлений, группы $\mathrm{Pin}$ и $\mathrm{Spin}$. Эллиптические операторы. Оператор Дирака и его индекс. Первое препятствие к существованию гладкой структуры (теорема Рохлина). Пространства модулей Зайберга-Виттена и их основные свойства. Инварианты Зайберга-Виттена. Теорема Доналдсона о приведении формы пересечения гладкого 4-многообразия к сумме квадратов, если она нечетна. Примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных односвязных замкнутых 4- Всего часов Аудиторные часы ПрактиЛекСемические ции нары занятия Самостоятельная работа 13 7 6 13 8 5 17 9 8 14 8 6 18 16 10 8 8 8 17 10 7 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» Программа дисциплины «НИС Ведение в инварианты Зайберга-Виттена» для направления 01.03.01 «Математика» подготовки бакалавра и 01.04.01 «Математика» подготовки магистра многообразий. Итого: 6 108 60 48 Формы контроля знаний студентов Критерии оценки знаний, навыков Умение разбираться с журнальной литературой и решать задачи на различные темы, обсуждаемые на семинаре. 6.1 6.2 Порядок формирования оценок по дисциплине Итоговая оценка формируется из оценки за доклад по работе и/или части книги, которые студент изучает самостоятельно и рассказывает участникам (50%), и домашнего экзамена, состоящего из порядка 5 задач, которые нужно будет решить за несколько дней в конце семестра (50%). В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине. 7 Образовательные технологии Студентам на дом даются задачи для самостоятельного решения, содержащие как рутинные упражнения для усвоения пройденного теоретического материала, так и исследовательские задачи, позволяющие проверить уровень понимания предмета в целом и требующие изучения дополнительного материала, а также известной исследовательской самостоятельности. Решения записываются и потом индивидуально обсуждаются с преподавателем и его ассистентами. Допускается предварительная присылка решений по электронной почте. По наиболее трудным и глубоким сюжетам заранее назначаются докладчики. 8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента Листочки с задачами, которые студенты решают самостоятельно. Некоторые из задач могут быть близки по содержанию задачам домашнего экзамена. Порядок формирования оценок по дисциплине См. 6.2. 9 9.1 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Базовые учебники 1. Уравнения Зайберга-Виттена и их применения к топологии гладких четырехмерных многообразий, Дж. Морган (в русском переводе выпущено в одной книге с обзором С. Доналдсона). 2. Лекции об инвариантах Зайберга-Виттена, Дж. Мур. 11.2 Дополнительные учебники 3. A. Scorpan, The wild world of 4 manifolds, AMS, 2005. 4. Дж. Милнор, Дж. Сташефф, Характеристические классы, Мир, 1979. 5. P. Shanahan, The Atiyah-Singer index theorem: an introduction. Springer LNM, 1978