ПУД-ск-Groebner-basis

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины спецкурса «Groebner basis theory»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Кувабара Тоширо, PhD, [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________2012 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра,
специализации Математика, утвержденными в 2012 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины спецкурса «Groebner basis theory» являются: Освоение
студентами основных знаний теории базисов Грёбнера для идеалов кольца многочленов и методов
приложений базиса Грёбнера в алгебраической геометрии. Освоение студентами способность к
пониманию математики на английском языке.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные понятия и факты коммутативных алгебры и алгебраической геометрии:
напр. идеал, аффинное многообразие, проективное многообразие, теорема базиса
Гильберта.
 Знать алгоритм вычисления базиса Грёбнера и методы приложений базиса Грёбнера в
алгебре и алгебраической геометрии.
 Знать способ вычисления базиса Грёбнера компьютерными программами: напр.
Mathematica, singular, Macaulay2.
 Уметь понимать лекции математики, читанные по-ангийски и описать свой научных
мысли по-ангийски.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Алгебра, 1 курс,
Студентам рекомендуется ознакомиться со следующими дисциплинами:
 Алгебра, 2 курс.
Но знания этой дисциплины не необходимы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Линейная алгебра; линейное пространство, линейное отображение, определитель
матрицы, независимость векторов, метод Гаусса,
 Основные знания алгебры; кольцо многочленов, идеал, кольцо главных идеалов,
алгоритм Евклида.
5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
1
2
3
6
Всего
часов
Название раздела
1 семестр
Порядка на мономах и мономиальные
идеалы
Алгоритм Бухбергера
Аффинные многообразия
2 семестр
Проективные многообразия
Теория элиминации переменых
Приложение базисов Грёбнера
Итого:
180
180
360
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
32
8
10
14
40
15
12
13
72
148
140
288
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Итоговый
Форма
контроля
Контрольна
я работа
Зачет
1
8
Экзамен
1 год
2 3
8
4
1
2 год
2 3
Параметры **
4
Домашняя письменная
работа
письменный экзамен
90 мин
V
V
2 домашних задания
6.1
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Основная форма текущего контроля --- решение задач из домашних заданий (7-10 задач по
каждой теме). Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного
владения основными понятиями и умения пользоваться алгоритмическими методами. В случае
решения более половины из предложенных задач по каждой теме курса студент имеет возможность
досрочного сдачи зачёта.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Экзамен (зачёт) состоит в устном собеседовании по-английски по материалам выданного
заранее домашнего задания.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = 0,5 * Оконт. работа + 0,5 * Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения
задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов
накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 =
0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
О промежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Оэачёт/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой
по учебной дисциплине.
7
Содержание дисциплины
1. Раздел 1. Порядка на мономах и мономиальные идеалы: Определение порядков на мономах.
Основые свойства порядков на мономах. Примеры порядков на мономах. Определение
мономиальных идеалов. Алгоритм деление многочленов. Лемма Диксона. Литература:
[CLO1].
2. Раздел 2. Алгоритм Бухбергера: Теорема базиса Гилберта. Определение базисов Грёбнера.
Критерий Бухбергера. Алгоритм Бухбергера. Определение и алгоритм редуцированных
базисов Грёбнера. Литература: [CLO1].
3. Раздел 3. Аффинные многообразия: Определение аффинных многообразий. Основные
свойства аффинных многообразий. Соотношение между идеалами и аффинными
многообразиями. Теорема Гильберта о нулях. Алгоритмы вычислений основных операторов
идеалов: объединение, пересечение, произведение. Определение частого идеалов. Алгоритм
вычисления частых идеалов. Определение и свойства Зариских закрытий. Литература:
[CLO1], [GP].
4. Раздел 4. Проективные многообразия: Определение и основные свойства однородных
идеалов. Соотношение между однородными идеалами и проективными многообразиями.
Определение гомогенизаций многочленов и идеалов. Основные свойства гомогенизации.
Алгоритм вычисления гомогенизаций. Определение и свойства проективных закрытий.
Алгоритм вычисления проективных закрытий. Литература: [CLO1], [GP].
5. Раздел 5. Теория элиминации переменых: Определение элиминаческих идеалов. Алгоритм
вычисления базисов Грёбнера элиминаческих идеалов. Теорема расширения в аффинных
пространствах. Определение и приложения результанта. Соотношение между
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
элиминаческими идеалами и результантами. Теорема расширения в проективных
пространствах. Литература: [CLO1].
6. Раздел 6. Приложение базисов Грёбнера: Фундаментальная теорема симметрических
многочленов. Алгоритм вычисления идеалов соотношений. Приложение теории базиса
Грёбнера в вычислении колец инвариантов. Приложение теории базиса Грёвнера в целом
программировании. Способы вычисления базисов Грёбнера компьютерных алгебраических
программов. Литература: [CLO1], [CLO2].
8
Образовательные технологии
Почти все лекции читает преподаватель по-английски для того, что студенты освоятся с
занятиям математики на английском языке. Домашние задания задает по-английски и студентам
требует писать и дискутировать решения по-английски.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для домашнего задания:
1. Найти базис Грёбнера заданного идеала алгоритмом Бухбергера.
2. Вычислить пересечение и произведение заданных двух идеалов и сравнить их.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому
промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
1. Доказать, что заданное множество многочленов является базис Грёбнера.
2. Вычислить проективное закрытие заданного аффинного многообразия и разложить его на
неприводимые компоненты.
9.2
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Нет. Должны быть обеспечены ридеры.
10.2 Основная литература
[CLO1] D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms, Third Edition, Springer,
2010.
10.3 Дополнительная литература
[CLO2] D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry, Second Edition, Springer, 2005.
[GP] G-M. Greuel, G. Pfister: A Singular Introduction to Commutative Algebra, Second Edition,
Springer, 2007.
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
http://www.wikipedia.org,
article: Gröbner basis, Monomial order, Multivariate division algorithm, Buchberger's algorithm,
Euclidean algorithm, Polynomial ring, System of polynomial equations, Elimination theory,
Resultant,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Algebraic variety, Affine variety, Projective variety, Homogeneous coordinates, Dickson's lemma,
Hilbert's basis theorem, Hilbert's Nullstellensatz,
Computer algebra system, Mathematica, Singular (software), Macaulay2.
10.5 Программные средства
На уроке специальные программные не используются. Для самостаятельной работы
систему Wolfram Mathematica, установленная на факультетских компьютерах, рекомендуется
использовать.
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены. Однако должна быть обеспечена
возможность дистанционных консультаций и получений записок лекции по электронной почте.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения спецкурсов не используется специальное оборудование, кроме, возможно,
компьютерного проектора и системы видеозаписи учебных занятий.