НИС Топология гладких многообразий и теория Морса

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Топология гладких многообразий и теория Морса» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины
НИС «Топология гладких многообразий и теория Морса»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Шевчишин В.В., PhD, [email protected],
Пушкарь П.Е. к.ф.-м.н., [email protected]
Тюрин Н.А., д.ф.-м.н., [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2014 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2014 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Топология гладких многообразий и теория Морса» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра,
направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ОС НИУ ВШЭ;
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика»
подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2013 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Топология гладких многообразий и теория Морса»
являются получение базовых сведений о гладких многообразиях, их строении, методах их
изучения, а также применения многообразий и связанными с ними конструкциями в
различных разделах математики.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать определение и основные примеры многообразий, базисные конструкции их
построения;
 Знать формулировку проблемы классификации многообразий (обобщённой
проблемы Пуанкаре), а также основные методы позволяющие доказывать
изоморфность и неизоморфность многообразий;
 Ознакомиться с основными конструкциями и структурами на многообразиях:
ориентируемость, гомологии и когомологии, двойственность Пуанкаре, связная
сумма многообразий, фундаментальная группа, характеристические классы;
 Знать определение функции Морса и её основные свойства, ознакомиться с теоремой
об h-кобордизме;
 Ознакомиться со спецификой многообразий малой размерности.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Код по
ФГОС/ НИУ
умение воспринимать
ПК-5
математические тексты ИК-М2.1
в форме устных
(МА)
сообщений
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Способен воспринимать и
интерпретировать
математические тексты в
форме устных сообщений
разного уровня строгости и
детализованности, в т.ч.
содержащие
легко
Формируется при работе на
семинаре в ходе восприятия
докладов других студентов
и
последующего
обсуждения этих докладов
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Топология гладких многообразий и теория Морса» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Компетенция
Код по
ФГОС/ НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
устранимые ошибки
умение выступать с
ПК-6
Способен
выступить
с
устными сообщениями ИК-М2.2/
докладом
(устным
на тему собственных и 3.1/3.2(МА) сообщением) с изложением
чужих исследований
задач и результатов из
области
специализации
студента
(в
т.ч.
собственных)
освоение специальной
ПК-8
Способен
освоить
предметной
ИК-М2.4.1/ специальную предметную
терминологии на
2.4.2 (МА) терминологию на русском и
русском и английском
английском языках для
языках
целей профессионального и
научного общения
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Формируется
в
ходе
подготовки
доклада,
выступления на семинаре и
последующего обсуждения
Формируется в ходе всей
работы по дисциплине —
прослушивания
и
обсуждения (на английском
языке) докладов других
студентов, подготовки и
выступления
(на
английском
языке)
с
докладом на семинаре
Формируется
в
ходе
подготовки
доклада,
выступления на семинаре и
последующего обсуждения
умение публично
ПК-9
Способен
публично
описать собственные ИК-М2.5.1/ описать
собственные
научные результаты и 2.5.2 (МА) научные
результаты
и
результаты других
результаты других учёных
учёных
из области специализации
студента
умение найти научную ПК-10
Способен
находить Формируется
в
ходе
информацию и
ИК-М4.1/
необходимую
научную подготовки доклада на
адаптировать её для 4.2/4.6 (МА) информацию (в т.ч. с семинаре
устного изложения в
использованием
докладе
электронных библиотечных
ресурсов и баз данных) и
адаптировать
её
для
устного
изложения
в
докладе на семинаре
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.

курс)
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
Математический анализ, основы дифференциальной геометрии, топология (базисный
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Топология гладких многообразий и теория Морса» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и многих
переменных; основы дифференциальной геометрии;
основы алгбраической
топологии.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 дифференциальная геометрия, алгебраическая топология, теория особенностей,
Кэлерова геометрия, геометрические конструкции в физике
5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
6
Название раздела
Основные понятия теории гладких
многообразий
Функции Морса и их свойства,
кобордизмы многообразий
Применение функций Морса к
классификации гладких многообразий
Рассмотрение примеров, разбор наиболее
интересных и важных примеров и частных
случаев
Итого:
Форма контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Участие в работе
семинара
Выступление на
семинаре
7
180
Аудиторные часы
Практиче
Лекци Семин
ские
и
ары
занятия
Самостоятельная
работа
12
24
12
24
24
30
24
30
72
108
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
6.1
Всего
часов
Модуль
Параметры **
1
2 3 4
Оценка активности в работе
семинара
x
x Оценка за выступление на семинаре
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Студент должен дважды выступить на семинаре с подготовленным выступлением,
решить предложенную домашнюю письменную работу и защитить ее на зачете.
Образовательные технологии
В ходе работы семинара планируется приглашение ряда российских ученых для
освещения тем, в которых они являются признанными мировыми специалистами.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Топология гладких многообразий и теория Морса» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
8
8.1
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примеры тем для выступлений студентов на семинаре:
 Определение и основные свойства многообразий,
 Определение и основные свойства функции Морса,
 Хирургия многообразий и изменение топологии уровня функции Морса
при прохождении кри
Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Отекущий = k1* Ок/р + k2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность
решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель
выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед
промежуточным (итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑k = 1 Способ округления
накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из
результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой
составляет k1 = 0,3 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,7.
Опромежуточный/итоговый = 0,3 * Отекущий + 0,7 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовая литература
Милнор, Дж., Теорема об h-кобордизме, М., Мир, 1969
Милнор, Дж., Теория Морса, М., Мир, 1965
10.2 Дополнительная литература
В.В.Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии
(М.: МЦНМО, 2004)
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Топология гладких многообразий и теория Морса» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
В.В.Прасолов. Элементы теории гомологий (М.: МЦНМО, 2006)
Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной
топологии. М.: МГУ, 1991