Правительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Спецфункции»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Хорошкин С.М., д.ф.-м.н, [email protected],
Левин А.М., к.ф.-.м.н., [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель С.К.Ландо
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Спецфункции» для направления 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Спецфункции» являются получение базовых знаний о
классических специальных функциях, их приложений в различных областях математики и математической физики, развитие навыков обращения со специальными функциями, развитие
навыков применения специальных функций в различных прикладных и теоретических задачах.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные специальные функции, включая Г-функцию Эйлера, дзета функцию
Римана, гипергеометрические функции и полилогарифмы.
 Уметь решать конкретные задачи с использованием специальных функций
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения специальных функций в различных
прикладных и теоретических задачах.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Дифференциальное и интегрпльное исчисление функций одной переменной; начала
комплексного анализа
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, теория вероятностей, математическая физика
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Спецфункции» для направления 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Тематический план учебной дисциплины
5
№
Всего
часов
Название раздела
Г-функция Эйлера
Дзета-функция Римана
Гипергеометрические функции
Полилогарифмы
Итого:
1
2
3
4
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
Самостоятельная
работа
18
18
18
18
72
162/288
90/216
Формы контроля знаний студентов
6
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Итоговый
Форма контроля
Контрольная работа
Зачет
1
*
1 год
2 3
8 8
Параметры **
4
8
домашняя письменная работа
v
в форме собеседования по письменной работе
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Студент должен дважды выступить на семинаре с подготовленным выступлением,
решить предложенную домашнюю письменную работу и защитить ее на зачете.
6.1
Содержание дисциплины
7
1. Раздел 1 Г-функция Эйлера
№
1.
2.
3.
Тема
Представление Г-функции в виде бесконечного
произведения и эйлеровского интеграла. Константа
Эйлера. Вывод функционального уравнения. Свойства
Г-функции, вычисление с ее помощью определенных
интегралов и бесконечных произведений .
Бета-функция
(эйлеров
интеграл
1
рода).
Логарифмическая производная Г-функции. Формула
дополнения. Формула удвоения и ее обобщения.
вычисление объемов и интегралов Дирихле.
Разложение котангенса в ряд Эйзенштейна.
Числа и полиномы Бернулли. Формула суммирования
Эйлера-Маклорена. Асимптотическое разложение Гфункции.
Итого:
Всего
часов
Лекции и
семинары
Самостоятел
ьная работа
13
6
7
13
6
7
13
6
7
39
18
21
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Спецфункции» для направления 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
2. Раздел 2. Дзета-функция Римана
№
4.
5.
6.
Тема
Определение дзета-функции, интегральное
представление Эйлера. Свойства дзета-функции.
Аналитическое продолжение. Вычисление дзетафункции в целых точках элементарными методами.
Преобразование Меллина и его свойства.
Асимптотические разложения и полюса преобразования
Меллина.
Функциональное уравнение Римана.. Выводы с
использованием интеграла типа Ханкеля и
представления Римана тета-функции.
Итого:
Всего
часов
Лекции и
семинары
Самостоятел
ьная работа
13
6
7
13
6
7
13
6
7
39
18
21
Всего
часов
Лекции и
семинары
Самостоятел
ьная работа
13
6
7
13
6
7
13
6
7
39
18
21
3. Раздел 3. Гипергеометрические функции
№
7.
8.
9.
Тема
Гипергеометрический ряд. Гипергеометрическое
уравнение. Решение дифференциальных уравнений с
регулярными особыми точками. Уравнение Римана
В задачах: выражение элементарных функций через
тригонометрические. Соотношения между
гипергеометрическими рядами.
Гипергеометрический интеграл Гаусса. Значение
гипергеометрической функции в единице. Связь с
комбинаторными тождествами. Контурные интегралы
Барнса. Гипергеометрические преобразования
Вырожденные гипергеометрические функции. Понятие
об иррегулярных особых точках обыкновенных
дифференциальных уравнений. Функции Бесселя.
Ортогональные многочлены.
Итого:
4. Раздел 4. Полилогарифмы, кратные значения дзета-функции и многомерные обобщения
специальных функций
№
10.
11.
Тема
Решение линейных дифференциальных с регулярными
особыми точками и интегралы полилогарифмического
типа. Классические тождества для дилогарифмаов
Эйлера и Роджерса.
Кратные значения дзета-функций. Известные и
гипотетические свойства крантных значений дзетафкнкций.
Всего
часов
Лекции
Самостоятел
ьная работа
15
6
9
15
6
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Спецфункции» для направления 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
12.
Элииптическая Г-функция и функция Барнса.
q-разностные обобщения гипергеометрических
функций.
Итого:
8
15
6
9
45
18
27
Образовательные технологии
В ходе работы семинара планируется приглашение ряда российских ученых для освещения тем, в которых они являются признанными мировыми специалистами.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примеры тем для выступлений студентов на семинаре:
Теорема Бора-Моллерапа
Формула удвоения Гаусса.
Интегралы Дирихле.
Интегральные представления логарифма Гамма-функции.
Формула Гурвица для отрицательных значений дзета-функции.
Полное решение гипергеометрического уравнения.
Формулы суммирования Заальтщутца.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «НИС Спецфункции» для направления 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
Е.Уиттекер, Г.Ватсон. Курс современного анализа. Том 2. М.: УРСС. - 2002 .
Г. Бейтмен, А.Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т.1. - 1973 " Наукa"
11.2 Дополнительная литература
G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its ap plications, vol 71., Cambridge University Press 1999
M.Artin, The Gamma function, Holt, Rinehart, and Winston, New York, 1964
Ф.Гантмахер, Теоря матриц, Издательство “Наука”, Москва 1967.
Е.Уиттекер, Г.Ватсон. Курс современного анализа. Том 1. М.: УРСС. - 2002 .
Дж.Гаспер, М.Рахман, Базисные гипергеометрические ряды. “Мир”, 1993
А.Вейль, Элиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, “Мир”, 1978.