01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого»
Утверждено
на заседании Ученого совета
ФМФиИ
«___»_________________2014 г.
______________Реброва И.Ю.
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
В АСПИРАНТУРУ
по профилю
01.01.06 –МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
( математика и механика)
Тула-2014 г.
ПРОГРАММА
вступительного экзамена в аспирантуру
при кафедре алгебры, математического анализа и геометрии
по профилю01.01.06
«Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Программа вступительного экзамена в аспирантуру состоит из двух частей. Общая
часть является обязательной для всех поступающих в аспирантуру при кафедре по данной
специальности. Вариативная специальная часть определяется тематикой предполагаемых
научных исследований.
I. Общая часть
1. Непрерывность функции одной переменной. Свойства функции, непрерывной на
отрезке.
2. Дифференцируемость функций одной переменной. Производная и дифференциал.
Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования.
3. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия
дифференцируемости. Полный дифференциал.
4. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции.
5. Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и
единственности решения.
6. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.
7. Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл
аргумента и модуля производной.
8. Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных
функций.
9. Линейные пространства, их подпространства. Базис и размерность векторного
пространства.
10. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
11. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах, их
матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции.
12. Линейные отображения и преобразования линейного пространства, их задания
матрицами. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные
значения, связь последних с характеристическими корнями.
13. Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы.
Ортогональные преобразования, приведение квадратичной формы к главным осям
ортогональным преобразованием.
14. Аффинная и метрическая классификации кривых и поверхностей второго порядка.
15. Линии в евклидовом пространстве. Сопровождающий трехгранник кривой.
16. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
17. Понятие топологического пространства и топологического многообразия.
18. Формулы логики высказываний. Совершенная конъюнктивная и дизъюнктивная
нормальные формы.
19. Сравнения. Основные свойства. Полная и приведенная система вычетов. Теоремы
Эйлера и Ферма.
20. Алгебраические элементы над полем. Строение простого алгебраического
расширения.
21. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
22. Группы. Подгруппы. Порядок элемента. Циклические группы.
23. Разложение группы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальный делитель, факторгруппа. Теорема о гомоморфизмах.
ЛИТЕРАТУРА
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1971.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977.
Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М., 1979.
Устян А.Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1 и 2., 2002.
Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия Ч. 1 и 2. М., 1986, 1987.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., Наука, в 2-х частях.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
М., Наука, 1990.
9. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1976.
10. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.
М., 2002.
11. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука.
12. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.,
1977.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
II. Специальная часть
(для поступающих, тематика предполагаемых научных исследований которых
связана с теорией колец и модулей)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Кольца, идеалы и фактор-кольца. Теорема о гомоморфизме.
Модули. Неприводимые (простые) модули. Лемма Шура.
Проективные модули и их свойства.
Инъективные модули. Критерий Бэра.
Градуированные кольца. Основные определения и понятия.
Категория градуированных модулей
ЛИТЕРАТУРА
1. Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. – М.: Наука, 1990.
2. Ламбек И. Кольца и модули. – М.: Мир, 1971.
3. Херстейн И. Некоммутативные кольца. – М.: Мир, 1972.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
III. Специальная часть
(для поступающих, тематика предполагаемых научных исследований которых
связана с теорией групп)
Свободные группы. Теорема Дика. Подгруппы свободных групп.
Прямые произведения групп.
Абелевы группы. Свободные абелевы группы. Абелевы группы с конечным числом
образующих.
Свободные произведения групп. Определения свободного произведения, теорема
Куроша.
Группы с конечным числом определяющих соотношений. Преобразования Тице,
теорема Тице.
Теорема Силова.
Нильпотентные группы. Определение. Общие свойства.
Разрешимые группы. Общие свойства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977.
2. Каргополов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теория групп. – М.: Наука, 1982.
3. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. – М.: Мир, 1980.
Утверждено на заседании кафедры алгебры, математического анализа и геометрии
от 04 марта 2014 года, протокол № 9.
Зав. кафедрой
Н.М.Добровольский