Элементы абстрактной и компьютерной алгебры

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ишимский педагогический институт им. П.П. Ершова
(филиал) Тюменского государственного университета
УТВЕРЖДАЮ
Директор филиала
______________ /Шилов С.П./
20.11.2014
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки
050100.62 (44.03.01) Педагогическое образование
профиля подготовки Информатика и информационные технологии в образовании
заочной формы обучения
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
От 20.11.2014
Содержание: УМК по дисциплине Элементы абстрактной и компьютерной алгебры для студентов
направления подготовки 050100.62 (44.03.01) Педагогическое образование профиля подготовки
Информатика и информационные технологии в образовании заочной формы обучения
Автор(-ы): ассистент, Т.В. Павлова
Объем 19 стр.
Должность
Заведующий
кафедрой физикоматематических
дисциплин и
профессиональнотехнологического
образования
Председатель УМС
филиала ТюмГУ в
г.Ишиме
Начальник ОИБО
ФИО
Мамонтова Т.С.
Дата
согласования
Результат
согласования
Примечание
16.10.2014
Рекомендовано к
электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от
16.10.2014
№2
Протокол заседания
УМС от 11.11.2014
№3
Поливаев А.Г.
11.11.2014
Согласовано
Гудилова Л.Б.
20.11.2014
Согласовано
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ишимский педагогический институт им. П.П. Ершова
(филиал) Тюменского государственного университета
Кафедра физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования
Павлова Т.В.
ЭЛЕМЕНТЫ АБСТРАКТНОЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления подготовки
050100.62 (44.03.01) Педагогическое образование
профиля подготовки Информатика и информационные технологии в образовании
заочной формы обучения
Тюменский государственный университет
2014
Павлова Т.В. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления подготовки 050100.62 (44.03.01)
Педагогическое образование профиля подготовки Информатика и информационные технологии в
образовании заочной формы обучения. Тюмень, 2014, 19 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и
ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел
«Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и профессиональнотехнологического образования. Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: к.п.н., доцент, зав. кафедрой ФМДиПТО Мамонтова Т.С.
Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой
© Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014.
© Павлова Т.В., 2014.
Ф.И.О. автора
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
1.
Пояснительная записка.
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Цели освоения дисциплины:

ознакомление студентов с характеристикой основных понятий абстрактной алгебры:
число, группа, кольцо, числовые поля, многочлены и др.
В качестве ключевого понятия элементов компьютерной алгебры взято понятие об
алгоритмах символьных преобразований, связанных такими объектами как целые числа и
полиномы.
Задачи освоения дисциплины:

овладение основными понятиями и фактами, характеризующими свойства
абстрактных алгебраических объектов: группа, кольцо, поле;

формирование знаний, умений и навыков в области алгоритмически разрешимых
алгебраических задач и проблем;

овладение навыками анализа, оценки эффективности и сложности алгоритмов
символьных преобразований.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» в соответствии с Учебным
планом направления 44.03.01 Педагогическое образование профиля подготовки бакалавра
Информатика и информационные технологии относится к дисциплинам вариативной части
математического и естественнонаучного цикла. Для освоения дисциплины используются знания,
умения, профессиональные качества личности, сформированные в процессе изучения курса
математики в школе и вузе. Знания, умения и личностные качества будущего специалиста,
формируемые в процессе изучения дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной
алгебры», будут использоваться в дальнейшем при освоении следующих дисциплин
профессионального цикла: «Методика обучения и воспитания (по профилю подготовки)»,
«Теоретические основы информатики», «Дискретная математика». Курс «Элементы абстрактной и
компьютерной алгебры» предназначен для профессионального самообразования и личностного
роста студентов – будущих педагогов, проектирования их дальнейшего образовательного
маршрута и профессиональной карьеры.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими)
дисциплинами
№
Темы дисциплины необходимые
п/п Наименование обеспечиваемых (последующих)
для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
дисциплин
1
2
3
1. Методика обучения и воспитания (по профилю
+
+
+
подготовки)
2. Теоретические основы информатики
+
+
+
3. Дискретная математика
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
 способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);

готов использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки
информации, готов работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8);

осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к
осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате изучение дисциплины студент должен:
знать:
 определения и свойства теоретико-множественных операций и отношений, определение
разбиения множества на классы;
 определение соответствия между множествами, бинарного отношения на множестве, их
свойства и способы задания;
 определения отношения эквивалентности и порядка;
 характеристику числовых множеств;
 определение основных понятий абстрактной и компьютерной алгебры;
 алгоритмы действия модульной арифметики, принципы работы ЭВМ;
 определение и свойства отношения делимости;
 алгоритм Евклида;
 схему Горнера;
 сущность теории и способов кодирования;
уметь:
 устанавливать способ задания конкретного отношения и формулировать его свойства;
 определять по определению и по критерию различные алгебраические структуры;
 доказывать изоморфизм алгебраических структур;
 выполнять операции на множестве целых и комплексных чисел;
 производить вычисления, используя модульную арифметику;
 находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел и
многочленов;
 проверять кратность корня многочлена;
 находить значения производных многочлена с помощью схемы Горнера;
 строить алгоритмы символьных преобразований;
 для списка сообщений с заданным распределением частот построить код Фано, определить
стоимость кода;
 для заданного сообщения X построить код Хэмминга, внести одиночную ошибку замещения и
произвести декодирование искажённого сообщения по методу Хэмминга;
 характеризовать числовые поля.
 владеть:
 способностью к обобщению, анализу, восприятию информации по дисциплине;
 культурой математической речи;
 навыками работы со всевозможными источниками информации по дисциплине;
 математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и
процессов;
 пониманием универсального характера законов логики математических рассуждений, их
применимости в различных областях человеческой деятельности.
приобрести опыт:
 применения средств языка логики для записи и анализа математических предложений;
 построения математических моделей для решения различных практических проблем;
 применения законов логики в смежных образовательных областях.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Сессия 4 Форма промежуточной аттестации (зачет, экзамен) экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 академических часа, из них 13,15
часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 130,85 часов, выделенных на
самостоятельную работу.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Всего
часов
13,15
10
6
4
Контактная работа:
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:
Самостоятельная работа (всего): 130,85
Общая трудоемкость
зач. ед.
4
час
144
Вид промежуточной аттестации экзам
(зачет, экзамен)
ен
1
2
-
-
3
Семестры
4
5
6
13,15
10
6
4
7
8
9
-
-
-
130,85
4
144
экз
3. Тематический план
Таблица 3.
Сессия 4
1
2
1.1.
Группы, кольца,
идеалы,
факторкольца.
Теория
делимости в
кольце целых
чисел
Всего*
2.1.
Поля.
Расширения
полей.
Алгебраические
и конечные
Итого
часов
по
теме
Из них в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
Самостоятельная
работа*
Лекции
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лабораторные работы
недели
семестра
Семинарские
(практические) занятия
№
3
4
5
7
8
Модуль 1 Элементы абстрактной алгебры
1-3
2
2
60
64
9
10
5
0 – 50
2
2
60
64
Модуль 2 Элементы теории конечных полей
1-3
2
34
36
5
0 – 50
4
0 – 20
расширения
Всего*
2
34
36
Модуль 3 Теория кодирования
2
2
40
44
Первоначальные
1-3
представления о
теории
кодирования
Всего*
2
2
Итого (часов,
6
4
баллов) *
Из них часов в
интерактивной
форме
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
3.1.
40
134
44
144
4
0 – 20
2
0 – 30
2
11
0 – 30
0 – 100
11
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Итого количество
баллов
Информационные
системы
и
технологии
другие формы
Технические
формы
контроля
программы
компьютерног
о тестирования
реферат
Письменные работы
Самостоятельн
ая работа
Устный опрос
Теоретический
ответ на
занятии
Самостоятельное решение
задачи у доски
Домашняя
работа
№
Темы
комплексные
ситуационные
задания
Сессия 4
Модуль 1. Элементы абстрактной алгебры
1.1.
Всего
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-6
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-30
0-30
0-2
0-2
0-20
0-20
0-4
0-4
0-10
0-50
0-50
0-100
Модуль 2. Элементы теории конечных полей
2.1.
Всего
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-4
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-20
0-6
0-6
Модуль 3. Теория кодирования
3.1.
Всего
Итого
0-10
0-10
0-20
0-6
0-6
0-10
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1. Элементы абстрактной алгебры
Определение бинарной алгебраической операции. Алгебраические структуры с одной
бинарной операцией. Понятие группы. Примеры и свойства групп. Подгруппы. Нормальные
подгруппы и факторгруппы. Гомоморфизмы групп. Изоморфизмы. Алгебраические структуры с
двумя бинарными алгебраическими операциями. Понятие кольца. Примеры и свойства колец.
Подкольца. Идеалы кольца. Факторкольца.
Кольцо целых чисел. Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с
остатком. Кольцо классов вычетов. НОД, НОК: алгоритм Евклида; расширенный алгоритм
Евклида. Простые числа. Разложение целых чисел на множители. Точные вычисления,
использующие модулярную арифметику. Представление больших чисел в памяти компьютера.
Построение кольца многочленов над полем. Отношение делимости многочленов. Теорема о
делении с остатком. Деление на двучлен, схема Горнера. Корни многочлена, теорема Безу. НОД и
НОК многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Приводимые и
неприводимые многочлены. Разложение на неприводимые множители, единственность
разложения.
Модуль 2. Элементы теории конечных полей
Понятие поля. Примеры и свойства полей. Поле комплексных чисел. Поле Галуа.
Расширения полей. Конечные расширения поля. Строение простого алгебраического расширения.
Конечные поля.
Модуль 3. Теория кодирования
Алфавитное кодирование. Неравенство Макмиллана. Кодирование с минимальной
избыточностью, алгоритм Фано. Оптимальное кодирование, кодовое расстояние. Кодирование с
исправлением ошибок, код Хэмминга.
6. Планы семинарских занятий.
№ п/п
1
2
3
4
Тема семинарского занятия
Вопросы, выносимые на семинар
Группы, кольца, идеалы,
факторкольца
Понятие группы. Примеры и свойства групп.
Подгруппы. Алгебраические структуры с двумя
бинарными алгебраическими операциями. Понятие
кольца. Примеры и свойства колец. Подкольца.
Кольцо целых чисел. Теория
Кольцо целых чисел. Отношение делимости, его
делимости в кольце целых
простейшие свойства. Теорема о делении с остатком.
чисел
НОД, НОК: алгоритм Евклида; расширенный алгоритм
Евклида. Разложение целых чисел на множители.
Кольцо многочленов от одной Построение кольца многочленов над полем.
переменной. Теория делимости Отношение делимости многочленов. Теорема о
делении с остатком. Деление на двучлен, схема
Горнера. Корни многочлена, теорема Безу. НОД и
НОК многочленов. Алгоритм Евклида.
Первоначальные
Алфавитное кодирование. Неравенство Макмиллана.
представления о теории
Кодирование с минимальной избыточностью,
кодирования
алгоритм Фано. Оптимальное кодирование, кодовое
расстояние. Кодирование с исправлением ошибок, код
Хэмминга.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Лабораторный практикум не предусмотрен учебным планом.
8. Примерная тематика курсовых работ (если они предусмотрены учебным планом ОП).
Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица5.
Семестр 4
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Модуль 1. Элементы абстрактной алгебры
Объем
часов
Кол-во
баллов
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
1.1.
Логика
высказываний
Подготовка
реферата
1-3
Всего
60
0-30
60
0-30
34
0-20
34
0-20
40
0-50
40
72
0-50
0-100
Модуль 2. Элементы теории конечных полей
2.1.
Булевы функции
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
1-3
Всего
Модуль 3. Теория кодирования
3.1.
Логика предикатов
Выполнение
домашней работы,
чтение лекций и
дополнительной
литературы
1-3
Всего
Итого
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения
образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Циклы, дисциплины (модули)
учебного плана ОП
Индекс компетенции
Общекультурные,
профессиональные
Код компетенции
компетенции
ОК-6
ОК-8
ОПК-1
Виды аттестации
Текущая
(по дисциплине)
Промежуточная
(по дисциплине)
Б1
4 семестр
Элементы абстрактной и компьютерной алгебры
Б1.В.ОД.16
Геометрия, физическая культура, элементы
офисных технологий в приложении к процессу
обучения.
математический анализ, геометрия, информатика
физическая культура, основы экологии, экологическая
культура
ФОС
УФ-1
ПФ-4
ПФ-6
ПФ-8
ПФ-10
УФ-12
ПФ-4
ИС-4
+
+
+
+
+
+
+
+
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их
формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Код
компетенции
ОК-6
ОК-8
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
Знает:
понятийный
аппарат
дисциплины
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает: основные
математические
методы
исследования и
общие
математические
методы решения
задач (в
дополнение к
пороговому
уровню)
Умеет: корректно
применять
математический
аппарат при
изучении
дисциплин
естественноматематического
и профессионального циклов
Умеет: корректно
применять
математический
аппарат при
обучении физике
в
общеобразователь
ных учреждениях
(в дополнение к
пороговому
уровню)
Владеет:
основными
понятиями и
методами
дисциплины
Владеет:
основными
понятиями и
методами
дисциплины (в
дополнение к
пороговому
Знает: о
существовании
современных
методик и
технологий, в том
числе и
информационных
Знает: сущность
современных
методик и
технологий, в том
числе и
информационных
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает:
мировоззренческо
е значение
математики, роль
и место
математики в
изучении
окружающего
мира (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Умеет: применять
математические
методы при
проведении
теоретических и
экспериментальны
х исследований в
физике и в
профессионально
й деятельности (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Владеет:
математическими
методами
изучения
физических
явлений (в
дополнение к
пороговому и
базовому
уровням)
Знает:
современные
методики и
технологии, в том
числе и
информационные
Виды занятий
(лекции,
семинарские,
практические,
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и др.)
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
учебные
задачи
реферат,
ситуационны
е задачи
(ПФ-4, ИС-4,
УФ-4, ПФ-7,
ИС-7, ПФ10)
лекции,
практически
е занятия
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
ОПК-1
Умеет:
анализировать
информацию
Умеет:
осуществлять
анализ
информации с
позиции
изучаемой
проблемы
Владеет:
современными
методиками и
технологиями
Владеет:
современными
методиками и
технологиями, в
том числе и
информационным
и
Знает:
необходимый
минимум учебной
программы
дисциплины.
Умеет:
реализовывать
учебные
программы курса
дисциплины,
опираясь
на
помощь извне.
Знает:
на
хорошем уровне
учебную
программу
дисциплины.
Умеет:
самостоятельно
реализовывать
учебные
программы курса
дисциплины
в
некоторых
образовательных
учреждениях.
Умеет:
осуществлять
анализ
информации с
позиции
изучаемой
проблемы;
использовать
современные
методики и
технологии
Владеет:
современными
методиками и
технологиями, в
том числе и
информационным
и на уровне
лекции,
практически
е занятия
индивидуаль
ные
проекты,
реферат,
решение
ситуационны
х задач (УФ8, ПФ-8, УФ1, ПФ15,ПФ-10)
лекции,
практически
е занятия
решение
ситуационны
х задач,
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
Знает:
на
высоком уровне
учебную
программу
дисциплины.
Умеет:
самостоятельно
реализовывать и
выбирать
наилучшие
учебные
программы курса
дисциплины
в
различных
образовательных
учреждениях,
исходя
из
их
специфики.
лекции,
практически
е занятия
Аттестацион
ные тесты,
экзамен
(ПФ-4. ИС-4,
УФ-12)
реферат,
решение
ситуационны
х задач (УФ8, ПФ-8, УФ1, ПФ15,ПФ-10)
лекции,
практически
е занятия
Владеет:
необходимыми
навыками
и
инструментарием
для
реализации
учебных
программ курса
дисциплины;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
Владеет:
необходимыми
навыками
и
инструментарием
для
самостоятельной
реализации
учебных
программ курса
дисциплины
в
некоторых
образовательных
учреждениях;
методами
построения
учебного курса;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
Владеет:
на лекции,
высоком уровне практически
навыками,
е занятия
знаниями
и
инструментарием
для
самостоятельной
реализации
и
выбора
наилучших
учебных
программ курса
дисциплины
в
различных
образовательных
учреждениях,
исходя
из
их
специфики;
навыками работы
с программными
средствами
общего
и
профессиональног
о назначения.
решение
ситуационны
х задач,
решение
учебных
задач,
контрольные
работы УФ7, ПФ-6, ПФ7)
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования
компетенций в процессе освоения образовательной программы.
ПФ-6 Примерные контрольные работы:
Проверочная работа №1 «Группы, кольца, идеалы, факторкольца»
1. Какими из свойств: ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального
элемента, обратимость обладает следующая алгебраическая операция, заданная на множестве М?
M  R  R, a1 , a2   b1 , b2   a1  b2  a2  b1 , a2  b2 
2. Проверить, является ли группой: множество всех четных чисел, множество всех нечетных
a

чисел, множество  A, ,  A, 
  , где A   k a, k  Q 
2

3. Доказать, что kZ,  – подгруппа в Z ,  .
a

4. Доказать, что  A, , A   k a, k  Q  – подгруппа в Q,  .
2

5. Доказать, что отображение  : Z  kZ по правилу  : a  ka, a  Z будет гомоморфизмом
групп  :Z ,   kZ,  . Найти ядро этого гомоморфизма.
6. Какое из следующих утверждений верно:
a) множество четных чисел является группой относительно операции вычитания;
b) множество положительных действительных чисел является группой относительно
сложения;
c) множество чисел a  b 2 с целыми a и b является кольцом и не является полем
относительно операций сложения и умножения;
d) множество чисел a  b 2 с целыми a и b является группой относительно сложения и полем
относительно сложения и умножения;
e) множество всех ненулевых действительных чисел является полем относительно сложения и
умножения?
7. Среди групп S3, Z3, S4 циклическими являются:
1) S3; 2) Z3; 3) S4; 4) Z3 и S4; 5) нет циклических групп.
8. В кольце Z16 ,, нильпотентными элементами являются:




1) 0, 2, 3, 4 ; 2) 0, 3, 5, 7, 9,11,13,15 ; 3)
нильпотентных элементов.
9. Идеалом в кольце Z14 ,, является множество:


1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 ;


2) 1, 3, 5 ;

3) 1 ;
0,1;
 
4) 0, 2 ;
4)
0, 2, 4, 6, 8,10,12,14;
5) нет
 
5) 0, 7 .
Проверочная работа № 2 «Кольцо целых чисел. Теория делимости в кольце целых
чисел»
1. Наибольший общий делитель чисел 360, 525, 154 лежит на отрезке:
1) [1;10]; 2) [11;15]; 3) [16;25]; 4) [25;31]; 5) [32;37].
2. Какое из следующих сравнений является верным?
1) 46  111
2) 1  9 10 
3) 3m  0 m 
4)  1  9 3
5) 121  12 5
3. Какая система чисел образует полную систему вычетов по модулю m   ?
1)
2, 3, 7, -3, -11, 8
2)
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18
3)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
4)
1, 2, 3, -3, -2, -1
5)
0, 7, 14, 21, 28, 35, 42
4. Какая система чисел образует приведенную систему вычетов по модулю m   ?
1)
1, 3, 5, 7, 9
2)
2, 3, 4, 5
3)
11, 3, 13, 7
4)
1, 3, 5, 7
5)
–1, -32, 7, 108
5. Найти  m , если m  :
1)
400
2)
720
3)
999
4)
1300
5)
40

6. Найти остаток от деления 
на 13:
1)
2)
1
3)
-27
4)
9
5)
81
7. Исследовать и решить сравнение 12х ≡ 2(mod 10).
1) х ≡1 (mod 10);
2) х ≡2 (mod 10); 3) х ≡1,7 (mod 10);
4) х ≡ 1,6(mod 10); 5) х ≡ 1,2,3(mod 10).
8. Обратимые элементы кольца вычетов Z 10 образуют множество:
1) {1}; 2) {1,2}; 3) {1,3,7,9}; 4) {1,2,3,4,5}; 5) {1,5,7}.
9. Порядок числа 2 в аддитивной группе кольца вычетов Z12 равен:
1) 1;
2) 2; 3) 6; 4) 5; 5) 4.
Проверочная работа № 3 «Кольцо многочленов от одной переменной. Теория
делимости»
1. Многочлен f ( x)  x 4  6 x  3
1) неприводим над С; 2) неприводим над R; 3) приводим над Q;
4) неприводим над Q; 5) приводим над Z.
2. Сколько рациональных корней имеет многочлен f ( x)  5x 4  2 x 3  8x 2  13x  6 ?
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
3. Остаток от деления многочлена f ( x)  2 x 5  3x 4  4 x 3  2 x 2  5x  7 на двучлен x  2 равен:
1) 133;
2) 57;
3) 25;
4) 43;
5) 147.
Итоговая контрольная работа «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»
1. Постройте таблицы сложения и умножения для конечного поля из семи элементов.
2. Постройте таблицы сложения и умножения для конечного поля из восьми элементов.
3. Код
задан следующей матрицей генератора кода:
. Найдите
проверочную матрицу кода. Для переданного слова 011111 вычислите его синдром и
определите, была ли ошибка при передаче слова.
УФ-12. Вопросы зачета (экзамена):
1. Алгебраические операции, их свойства.
2. Нейтральный элемент. Теорема о единственности нейтрального элемента.
3. Симметричный элемент. Теорема о единственности симметричного элемента.
4. Бинарные отношения. Виды бинарных отношений. Отношение эквивалентности.
5. Алгебра. Гомоморфизм. Теорема о гомоморфизме.
6. Алгебра. Изоморфизм. Теоремы об изоморфизме.
7. Подалгебра. Замыкание, его свойства. Система образующих.
8. Полугруппа. Определяющие соотношения. Теорема Маркова — Поста. Моноид.
9. Группа. Свойства группы. Доказательство одного из свойств (по указанию преподавателя).
10. Подгруппа. Критерий подгруппы. Смежные классы.
11. Группа классов вычетов. Теорема Лагранжа.
12. Гомоморфизм групп. Свойства гомоморфизма.
13. Ядро гомоморфизма. Нормальная подгруппа. Критерий нормальности подгруппы.
14. Факторгруппа. Теорема о гомоморфизме.
15. Кольцо. Свойства кольца. Доказательство одного из свойств (по указанию преподавателя).
16. Области целостности. Подкольцо. Критерий подкольца.
17. Идеал. Критерий идеала. Факторкольцо.
18. Кольцо целых чисел. Отношение делимости, его простейшие свойства. Теорема о делении с
остатком.
19. НОД и НОК. Линейное представление НОД. Связь НОК и НОД.
20. Линейные диофантовы уравнения.
21. Алгоритм Евклида.
22. Расширенный алгоритм Евклида.
23. Простые числа. Основная теорема арифметики.
24. Целые числа по модулю m. Кольцо целых чисел по модулю m. Полная система остатков, её
виды.
25. Линейные уравнения по модулю m. Китайская теорема об остатках.
26. Списочное представление чисел. Короткие и длинные числа. Классические алгоритмы
целочисленной арифметики.
27. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику: случай одного модуля.
28. Точные вычисления, использующие модулярную арифметику: случай нескольких модулей.
29. Кольцо многочленов от одной переменной.
30. Теорема о делении многочленов с остатком. Теорема о кольце главных идеалов.
31. НОД и НОК многочленов. Теоремы существования и единственности НОД и НОК.
32. Алгоритм Евклида для многочленов.
33. Приводимые и неприводимые многочлены. Теорема об однозначном разложении на
множители.
34. Корни многочленов. Теорема Безу и её следствие.
35. Схема Горнера.
36. Производная многочлена. Вычисление значения многочлена и его производных.
37. Поле. Свойства поля. Доказательство одного из свойств (по указанию преподавателя).
38. Поле комплексных чисел. Изоморфизм полей комплексных и действительных чисел.
39. Подполе. Критерий подполя. Алгебраическое расширение поля.
40. Конечные расширения полей.
41. Алфавитное кодирование. Разделимые и префиксные схемы. Кодовое дерево. Неравенство
Макмиллана.
42. Кодирование с минимальной избыточностью. Алгоритм Фано.
43. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. Кодовое расстояние. Расстояние Хэмминга.
44. Код Хэмминга для исправления одного замещения.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,
навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.
Шкала перевода баллов в оценки:
- от 0 до 60 баллов – «неудовлетворительно»;
- от 61 до 75 баллов – «удовлетворительно»;
- от 76 до 90 баллов – «хорошо»;
- от 91 до 100 баллов – «отлично»;
Студенты, набравшие по дисциплине менее 35 баллов, к экзамену не допускаются.
Студенты, не допущенные к сдаче экзамена, сдают текущие формы контроля в соответствии с
установленным графиком и набирают пороговое значение баллов. Студентам, не набравшим в
семестре необходимого количества баллов по уважительной причине (болезнь, участие в
соревнованиях, стажировка и др.), устанавливаются индивидуальные сроки сдачи экзамена.
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»
используются лекция-дискуссия, лекция с запланированными ошибками, проблемная лекция,
метод проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1. Гаврилов, Г.П. Задачи и упражнения по дискретной математике [Текст] / Г.П.Гаврилов,
А.А.Сапоженко. - Изд.3-е, перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 416 с. – 5 экз.
2. Иванов, Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Полный курс: учебное
пособие / Б.Н. Иванов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 408 с. – 5 экз.
1. Поздняков, С.Н. Дискретная математика [Текст] : учебник для вузов / С. Н. Поздняков ; С.В.
Рыбин. - М. : Академия, 2008. - 448 с. – 3 экз.
12.2 Дополнительная литература:
1. Гончарова, Г.А. Элементы дискретной математики [Текст]: учеб.пособие / Г.А. Гончарова,
А.А. Мочалин. – М.: Инфра-М, 2005. – 128 с. (Н/м) – 3 экз.
12.3 Интернет-ресурсы:
№
Наименование
электроннобиблиотечной системы
(ЭБС)
1.
Электронно-библиотечная
система «Университетская
библиотека онлайн»
2.
Электронно-библиотечная
система Elibrary
3.
Наименование
организацииПринадлежАдрес сайта
владельца, реквизиты
ность
договора на
использование
сторонняя
http://biblioclub.ru подписка ТюмГУ
сторонняя
http://elibrary.ru
ООО "РУНЭБ".
Договор № SV-2503/2014-1 на период с 05
марта 2014 года до 05
марта 2015 года.
Универсальная справочно- сторонняя
информационная
полнотекстовая база
данных “East View” ООО
«ИВИС»
http://dlib.eastvie
w.com/
ООО "ИВИС".
4.
Электронная библиотека:
Библиотека диссертаций
сторонняя
http://diss.rsl.ru/?l
ang=ru
5.
Межвузовская
электронная библиотека
(МЭБ)
корпоративн
ая
http://icdlib.nspu.r
u/
6.
Автоматизированная
сторонняя
библиотечная
информационная система
МАРК-SOL 1.10 (MARC
21) (Электронный каталог)
библиографическая база
данных
локальная сеть
Договор № 64 - П от 03
апреля 2014 г. на период
с 04 апреля 2014 года до
03 апреля 2015 года.
подписка ТюмГУ (1
рабочее место, подписка
в 2015 г.)
Совместный проект с
ФГБОУ ВПО
«Новосибирский
государственный
педагогический
университет»
Научнопроизводственное
объединение
«ИНФОРМ-СИСТЕМА».
Гос.контракт № 07034 от
20.09.2007 г., бессрочно
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Пакет программ Microsoft Office.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: оборудованные аудитории;
технические средства обучения (электронные доски, компьютеры, программное обеспечение);
выход в Интернет; аудио- и видеоаппаратура; наглядные пособия; пакеты компьютерных
программ.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Компьютерная алгебра является одной из областей математики и информатики, особенно
активно развивающейся в последние годы. Усилия специалистов в этой области направлены как
на разработку новых алгоритмов, так и на создание систем компьютерной алгебры, которые всё
шире используются в научных исследованиях, и в практических приложениях. Термин
компьютерная алгебра объясняется способностью компьютера манипулировать математическими
выражениями, заданными символьно. Исследования в области символьных преобразований
включают в себя развитие и анализ эффективных алгоритмов для разложения на множители,
вычисления наибольших общих делителей и отделения вещественных корней полиномов.
Студенту следует помнить, что дисциплина «Элементы абстрактной и компьютерной
алгебры» предусматривает обязательное посещение студентом лекций и практических занятий.
Она реализуется через систему домашних работ, систему рефератов и индивидуальных работ.
Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних заданий с целью
подготовки к практическим занятиям (см. планы практических занятий) и подготовке рефератов.
Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде
экзамена.
Дополнения и изменения к рабочей программе на 2015/2016 учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
Изменений нет.
Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ФМДиПТО 17.09.2015 г.
Заведующий кафедрой ________________
Подпись
__ /Т.С. Мамонтова/
Ф.И.О.