ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА "МАТЕМАТИКА"

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
по специальности "МАТЕМАТИКА"
1. Непрерывность функций одной переменной, свойства непрерывных функций.
2. Функции многих переменных, полный дифференциал и его геометрический смысл. Достаточные
условия дифференцируемости. Градиент.
3. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Первообразная непрерывной
функции.
4. Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость неявных функций.
5. Числовые ряды. Сходимость рядов. Критерий сходимости Коши. Достаточные признаки сходимости.
6. Абсолютная и условная сходимость ряда. Свойство абсолютно сходящихся рядов. Умножение рядов.
7. Ряды функций. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся
рядов (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование).
8. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости, свойства степенных
рядов (почленное интегрирование, дифференцирование). Разложение элементарных функций.
9. Несобственные интегралы и их сходимость. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от
параметра. Свойства равномерно сходящихся интегралов.
10. Ряды Фурье. Достаточные условия представимости функции рядом Фурье.
11. Теоремы Остроградского и Стокса. Дивергенция. Ротор.
12. Линейные пространства, их подпространства. Базис. Размерность. Теорема о ранге матрицы. Система
линейных уравнений. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Фундаментальная
система решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
13. Билинейные и квадратичные функции и формы в линейных пространствах и их матрицы. Приведение к
нормальному виду. Закон инерции.
14. Линейные преобразования линейного пространства, их задания матрицами. Характеристический
многочлен линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения, связь последних
с корнями характеристического многочлена.
15. Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные матрицы. Симметрические
операторы. Приведение квадратичной формы к главным осям.
16. Группы, подгруппы, теорема Лагранжа. Порядок элемента. Циклические группы, факторгруппа.
Теорема о гомоморфизмах.
17. Аффинная и ортогональная классификация кривых и поверхностей второго порядка.
18. Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
19. Линейное дифференциальное уравнение. Линейное однородное уравнение. Линейная зависимость
функций. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Линейное неоднородное
уравнение.
20. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами: однородное и неоднородное.
21. Функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и
модуля производной.
22. Элементарные функции комплексного переменного и даваемые ими конформные отображения.
Простейшие многозначные функции. Дробно-линейные преобразования.
23. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд Тейлора.
24. Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты.
25. Криволинейные координаты на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности.
26. Криволинейные координаты на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности.
27. Теорема полноты в алгебре логики.
28. Исчисление высказываний. Язык,аксиомы и правила вывода. Непротиворечивость и полнота.
29. Закон больших чисел.
30. Центральная предельная теорема
31. Математическое ожидание и его свойства.
32. Точечное и интервальное оценивание.
33. Проверка статистических гипотез.
34. Винеровский и пуассоновский процессы, их свойства.
35. Топологические, метрические, нормированные пространства. Понятие полноты.
36. Схемы из функциональных элементов. Асимптотически наилучший метод синтеза.
37. Основные операторы реляционной алгебры.
ЛИТЕРАТУРА.
1. Кострикин А.И.
2. Кострикин А.И.
3. Кострикин А.И.
4. Курош А.Г.
5. Александров П.С.
6. Гельфанд И.М.
7. Шилов Г.Е.
8. Кудрявцев Л.Д.
9. Фихтенгольц Г.М.
10. Рудин У.Л.
11. Никольский С.М.
12. Степанов В.В.
13. Петровский И.Г.
14. Понтрягин Л.С.
15. Арнольд В.И.
16. Привалов Н.Н.
17. Маркушевич А.И.
18. Шабат В.В.
19. Рашевский П.К.
20. Дубровин Б.А.,
Новиков С.П.,
Фоменко А.Т.
21. Гнеденко Б.В.
22. Рыбников К.А.
23. Яблонский С.В.
24. Новиков П.С.
25. Лупанов О.Б.
Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры.
Введение в алгебру. Ч. II. Линейная алгебра.
Введение в алгебру. Ч. III. Основные структуры алгебры.
Курс высшей алгебры.
Курс по аналитической геометрии и линейной алгебре.
Лекции по линейной алгебре.
Введение в теорию линейных пространств.
Математический анализ.
Основы математического анализа, тт. 1,2,3.
Основы математического анализа.
Математический анализ.
Курс дифференциальных уравнений.
Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Введение в теорию функции комплексных переменных.
Теория аналитических функций.
Введение в комплексный анализ.
Дифференциальная геометрия.
Современная геометрия.
Очерк по истории математики в России и СССР.
История математики.
Введение в дискретную математику.-М: Высшая школа,2001
Элементы математической логики.-М.:Наука,1973
Асимптотические оценки сложности управляющих систем.М.Изд-во Моск. ун-та,1984
Дополнительная часть
(кафедра "АГВ")
1. Бинарные отношения на множестве. Отношения эквивалентности и отношение порядка. Примеры.
Фактор-множество.
2. Частично упорядоченное множество. Алгебра Буля.
3. Вполне упорядоченное множество. Принцип математической индукции.
4. Понятие группы. Примеры групп: числовые примеры, группы движений, симметрическая группа,
полная линейная группа.
5. Изоморфизм групп. Теорема Кэли о вложении конечной группы в группу подстановок.
6. Строение конечнопорожденной абелевой группы.
7. Гомоморфизмы. Нормальные подгруппы. Фактор-группа. Теорема о гомоморфизме.
8. Кольца. Идеалы. Фактор-кольцо. Теорема о гомоморфизме. Кольца вычетов.
9. Поля. Конечные поля. Характеристика поля.
10. Алгебраические и трансцендентные расширения полей.
11. Ассоциативные и лиевы алгебры. Определение и примеры.
12. Неприводимые представления групп. Лемма Шура.
13. Неприводимые комплексные представления абелевых групп.
Литература к дополнительной части вопросов для кафедры АГВ.
1. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.:Наука,1962.
2. Курош А.Г. Теория групп. М.:Наука, 1953.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.:Наука,1977.
ВОПРОСЫ
К ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ
По факультету математики и информационных технологий
2009-2010 учебный год
Дополнительная часть
Специализация «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
1. Независимые случайные величины.
2. Аксиоматика Колмогорова.
3. Свойства математических ожиданий и дисперсий.
4. Основные неравенства теории вероятностей.
5. Закон больших чисел в общей форме.
6. Гауссовские случайные величины.
7. Модель (В,S)-рынка. Опционы европейского, американского типа, хеджирование.
8. Неравенство Рао-Крамера.
9. Основные понятия о проверке статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона.
10. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.
11. Виды сходимостей последовательностей случайных величин.
12. Центральная предельная теорема.
Литература к дополнительной части вопросов
для кафедры ПМ.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
Ширяев А.Н. Вероятность. - М.: Наука, 1989.
Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1982.
Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975.
Теория вероятностей. N 1, 1994 г.
Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, 1990.
Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М.:Наука, 1971.
Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1986.
Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М: Наука, 1986.
Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.