Кольца и модули_факультатив_1годx (новое окно)

1
Приложение к приказу первого проректора по учебной и научной работе
от________________№_______________
Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Кольца и модули»
«Rings and modules»
Язык обучения
русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: _1_
Регистрационный номер рабочей программы: 2014/ Санкт-Петербург
2014
2
Раздел 1.
1.1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
обучение аспирантов ключевым современным аспектам некоммутативной алгебры;
структурной теории колец и модулей над ними, геометрическим методам изучения
структуры категории модулей.
1.2.
Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Знание курса высшей алгебры и теории чисел, читаемого на 1–2 курсах
университета, владение начальными знаниями в теории некоммутативных колец и в
алгебраической геометрии.
1.3.
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
дисциплина "Кольца и модули" является факультативной, реализуется в виде
специального курса для аспирантов 1 года обучения и служит важным звеном при
подготовке профессионального математика по профилю "Алгебра". Освоившей
дисциплину аспирант должен владеть структурной теорией полусовершенных и
соершенных колец, алгеброгеометрическим подходом к классификации модулей
над алгебрами и конкретными классификационными результатами об алгебрах
конечного типа представления в разных контекстах.
1.4.
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
Раздел 2.
2.1.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация
(сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
Консультации
практические
занятия
семинары
лекции
Период обучения (модуль)
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
3
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1год
обучения
ИТОГО
20
16
1
20
16
1
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Период обучения (модуль)
Формы текущего
контроля
успеваемости
Виды итоговой аттестации
Виды промежуточной
аттестации
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1 год обучения
Зачет
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Период обучения (модуль): 1 год обучения
№
п/
п
Наименование темы (раздела, части)
1
Алгебры конечного типа
представления.
2
3
4
Геометрические методы
Проективные накрытия и
совершенность колец
Структура полусовершенных колец
Вид учебных занятий
Количество
часов
Лекции
6
По методическим материалам
4
Лекции
6
по методическим материалам
4
Лекции
4
по методическим материалам
4
Лекции
4
4
по методическим материалам
4
Лекция 1. Алгебры конечного типа представления. Алгебры путей колчана, теоретикомодульные характеризации наследственных алгебр.Неприводимые морфизмы между
модулями, AR- колчан наследственных алгебр.
Лекция 2. Алгебры конечного типа представления. Тип представления алгебры и
колчана. Диаграммы Дынкина и Евклида, бесконечность типа представления евклидовых
алгебр путей. Квадратичная форма колчана, критерий её (полу)определенности..
Лекция 3. Алгебры конечного типа представления. Преобразование Кокстера,
функторы отражения. Теорема Габриэля о наследственных алгебрах конечного типа
представления.
Лекция 4. Геометрические методы. Многообразие ассоциативных алгебр. Многообразие
подмодулей модуля. Многообразие модулей над алгеброй. Примеры: алгебры путей и
детерминантальные многообразия, препроективные алгебры.
Лекция 5. Геометрические методы. Орбиты на многообразиях модулей. Вырождения
модулей и связанный с ними частичный порядок.
Лекция 6. Геометрические методы. Форма Рингеля и форма Титса. Теорема Каца о
модулях с данным вектором размерности.
Лекция 7. Проективные накрытия и совершенность колец. Малые подмодули,
проективные накрытия. Лемма Басса, единственность проективного накрытия
Полусоврешенные кольца.
Лекция 8. Проективные накрытия и совершенность колец. Теорема Басса о условиях,
равносильных полусовершенности кольца. Построение проективного накрытия для
конечно порождённого модуля над полусовершенным кольцом. Неразложимые
проективные модули как проективные накрытия простых модулей.
Лекция 9. Структура полусовершенных колец. Колчан Пирса полусовершенного
кольца. Связь с колчаном Габриэля, примеры.
Лекция 10. Структура полусовершенных колец. Пирсовское разложение кольца.
Неразложимость и связность.
Темы для самостоятельной работы студентов:
1. Целые квадратичные формы, их корни группы Вейля. Слабая положительность
целых квадратичных форм.
2. Самоинъективные алгебры конечного типа представления,их AR-колчаны.
3. Препроективные модули, порядки на препроективных модулях. Теорема Бонгартса.
4. Мноогообразия модулей данной размерности. Теорема Гайсса о вырождениях
диких алгебр.
5. Полусовершенные кольца и разложимость в сумму локальных идеалов.
6. Совершенные кольца, t-нильпотентные идеалы, условие обрыва цпей главных
идеалов.
7. Критерии полупростоты полусоврешенного нетерова кольца.
5
8. Граф связей полусовершенного кольца
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения зачёта
Зачет проводится в устной форме. Билет состоит из двух вопросов. Время
подготовки ответа на вопросы билета составляет 60 минут.
Использование конспектов и учебников, а также электронных устройств хранения,
обработки или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы зачета
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и аспирант удаляется с экзамена. После ответа на вопросы
билета преподаватель задает несколько дополнительных вопросов, на основании оценки
ответов на которые принимается окончательное решение об успешности сдачи зачета.
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные средства)
Примерный список вопросов к зачету:
1. Равносильные определения наследственного кольца.
2. AR-колчан наследственного кольца .
3. Тип представления, бесконечность типа представления евклидовых диаграмм.
4. Квадратичная форма колчана, критерий полуопределенности колчана.
5. Целые квадратичные формы, корни, положительная определенность и группа Вейля.
6. Преобразования Кокстера,функторы отражения.
7. Теорема Габриэля.
8. Колчаны со сдвигом. Теорема Ридманн осамоинъективных алгебрах конечного типа.
9. Многообразия, связанные с алгебрами и модулями над ними
6
10. Вырождения модулей
11. Препроективные модули ,теорема Бонгартса
12. Тип представления. Теорема Гайсса
13. Формы Рингеля и Титса, неразложимость типичного представления с данным
вектором.
14. Теорема Каца.
15. Полусовершенные кольца и разложимость в сумму локальных идеалов.
16. Малые подмодули, проективные накрытия, лемма Басса.
17. Теорема Басса о равносильных условиях, полусовершенности кольца.
18. Совершенные кольца. t-нильпотентные идеалы и
идеалов.
условие обрыва цепей главных
19. Колчан Пирса полусовершенного кольца.
20. Критерии полупростоты полусоврешенного нетерова кольца.
21. Пирсовское разложение кольца.Неразложимость и связность
22. Граф связей полусовершенного кольца
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация преподавателей и иных лиц, допущенных к
проведению учебных занятий
К чтению лекций должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень
доктора или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную
процедуру признания и установления эквивалентности) и/или ученое звание профессора
или доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории.
7
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. И.Ламбек. Кольца и модули : научное издание / И. Ламбек ; ред. Л. А. Скорняков ;
пер. А. В. Михалев. - М. : Факториал Пресс, 2005. - 282 с.
2. Р.Пирс. Ассоциативные алгебры. М., «Мир», 1986.
3. А.А.Туганбаев, Аскар Аканович. Теория колец: Арифметические модули и кольца
/ А. А. Туганбаев. - М. : МЦНМО, 2009. - 472 с.
3.4.2. Список дополнительной литературы
1. F.Anderson, K.Fuller. Rings and categories of modules. Springer-Verlag,1992.
2. . J.McConnell, J.Robson. Noncommutative noetherian rings. Graduate studies in
mathematics. vol.30.
3. Advances in ring theory / ed. S. K. Jain, S. Tariq Rizvi. - Boston ; Basel ; Berlin :
Birkhäuser, 1997. - 333 с.
4. P.Etingof, Introduction in representation theory,2010,
http://math.mit.edu/~etingof/replect.pdf
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
Антипов Михаил Александрович, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей алгебры и теории чисел,
hyperbor@list.ru