Программа вступительного экзамена в магистратуру

Программа вступительного экзамена в магистратуру
по направлению 010200 – Математика и компьютерные науки
Математический анализ
1. Различные определения непрерывной функции. Компакт и его непрерывный
образ.
2. Равномерная непрерывность, теорема Кантора.
3. Производная функции действительной переменной, ее геометрический смысл.
Теорема о среднем Лагранжа.
4. Интеграл Римана от непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
5. Теорема об интегрируемости модуля интегрируемой функции.
6. Формула Тейлора, различные формы записи остаточного члена.
7. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) и достаточные условия
экстремума.
8. Числовой ряд, абсолютная и условная сходимость. Интегральный признак
сходимости числового ряда.
9. Функциональный ряд, понятие равномерной сходимости. Непрерывность суммы
равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций.
10. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара о радиусе сходимости степенного
ряда.
11. Кратный интеграл Лебега. Теорема Фубини.
12. Тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье. Теорема Римана-Лебега о
коэффициентах Фурье.
13. Теорема Фейера о суммируемости ряда Фурье методом средних
арифметических. Теоремы Вейерштрасса о приближении функции
тригонометрическими и алгебраическими многочленами.
14. Пространство L2 . Ортонормированные системы функций, неравенство Бесселя и
равенство Парсеваля. Замкнутые и полные ортонормированные системы в
гильбертовом пространстве.
Литература:
1. В.А.Зорич. Математический анализ, т.1-2, Наука, 1981.
2. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. Наука, 1979.
3. Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ. Т.1-2, Высшая школа, 1988.
4. И.И.Ляшко, В.Ф.Емельянов, А.К.Боярчук. Основы классического и современного
математического анализа. Выща школа, Киев, 1988.
5. С.М.Никольский. Курс математического анализа. Т.1-2, Наука, 1973.
Теория функций комплексного переменного
1. Аналитические
функции
комплексного
переменного,
конформность
отображения, задаваемого аналитической функцией.
2. Теорема о сумме вычетов функции. Вычисление вычетов.
3. Интегральная формула Коши.
4. Теорема о разложимости аналитической функции в степенной ряд.
5. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.
Литература:
1. Евграфов М.А. Аналитические функции. Наука. 1968.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории
переменного. Наука. 1965.
функций
комплексного
Алгебра
1.
2.
3.
4.
Понятие определителя n-го порядка, его свойства.
Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Теорема об изоморфизме двух евклидовых пространств одинаковой размерности.
Литература:
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры . М.: Наука, 1975 г.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977 г.
3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука 1980 г.
4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976 г.
Аналитическая геометрия
1. Аффинная и декартова системы координат на плоскости. Преобразование
аффинных и декартовых координат на плоскости.
2. Основная теорема о плоскости в пространстве. Задачи на плоскость: угол между
двумя плоскостями, расстояние от точки до плоскости.
3. Определение и вывод канонического уравнения эллипса.
4. Определение аффинного преобразования плоскости и его выражение в
координатах.
Линейная алгебра и геометрия
1. Теорема о существовании и единственности нормальной жордановой формы
матрицы.
2. Теорема о собственных значениях функции от матрицы. Определитель матричной
экспоненты.
3. Определение n-мерного аффинного пространства. Аффинные системы координат.
Плоскости аффинного пространства и их уравнения.
Дифференциальная геометрия и топология
1. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.
2. Определение топологического пространства. Открытые и замкнутые множества.
Топология метрического пространства.
3. Непрерывность отображений топологических пространств.
Литература:
1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1979.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., 1988.
3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.
4. Ланкастер. Теория матриц.
5. Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия.
6. Лосик М.В. Топология. Изд-во СГУ, 1986.
7. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология.
Уравнения с частными производными
2
1. Решение смешанной задачи о колебаниях струны методом разделения
переменных.
2. Задачи Коши для уравнения колебания струны. Метод бегущих волн.
Формула Даламбера.
3. Гармонические функции и их свойства (основная интегральная формула,
теорема о среднем, теорема о максимуме и минимуме).
Литература
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А.. Уравнения математической физики. М.1972.
Дифференциальные уравнения
1. Метод вариации произвольных постоянных для линейного дифференциального
уравнения n- порядка.
2. Матричная экспонента. Ее свойства.
3. Теорема об общем решении уравнения l(y)= f(x).
Функциональный анализ
1.
2.
3.
4.
Принцип сжимающих отображений.
Вывод формулы для нормы оператора.
Теорема о проекции.
Экстремальные свойства частных сумм ряда Фурье.
Литература:
Люстерник Л.А., Соболев В.И. «Элементы функционального анализа».
Методы вычислений
Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и Ньютона.
Приближение функций. Метод наименьших квадратов.
Численное интегрирование. Формула Симпсона. Интерполяционные квадратурные
формулы.
4. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод
Гаусса.
5. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона (алгоритм, выбор
начального приближения, сходимость метода).
6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений (методы Рунге-Кутта и Адамса).
1.
2.
3.
Литература:
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука,1989.
2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука,1987.
Методы оптимизации
1. Теорема отделимости для двух непересекающихся выпуклых множеств.
2. Алгоритм решения канонической задачи линейного программирования симплексметодом.
3. Необходимое условие слабого экстремума в простейшей задаче вариационного
исчисления.
3
Литература.
1. Ф.П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М. – 1980.
2. С.И. Дудов, А.П. Хромов. Методы оптимизации. Ч. 1. Линейное программирование.
Изд-во Сарат. ун-та. – 2002.
3. Н.И. Кабанов. Элементарное введение в вариационное исчисление. Изд-во Сарат. унта. – 1978.
Дискретная математика
1. Понятие функции алгебры логики (ФАЛ). Задание ФАЛ таблицей и формулами.
Разложение ФАЛ по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
(СДНФ) функции.
2. Понятие функции, двойственной к заданной. Принцип двойственности.
Нахождение совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ) функции.
Литература
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: «Наука»,1986.
2. Дорофеева А.В. Учебник по высшей математике. М.: Изд-во МГУ,1971.
3. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование.
Киев: «Наукова Думка»,1978.
Теория вероятностей
1. Дисперсия и её свойства.
2. Центральная предельная теорема.
3. Свойства выборочных характеристик, выборочное среднее
дисперсия S 2 .
4. Коэффициент корреляции и его свойства.
5. Доверительные интервалы для параметров нормального закона.
x , выборочная
Литература:
1. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики- М.
Наука, 1982.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М., Наука, 1976.
3. Боровков А.А. Математическая статистика. – М., Наука, 1976.
4