Современная математика. Фундаментальные направления. Том 37 (2010). С. 55–69 УДК 517.98 ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА СПРАВЕДЛИВА В ЛЮБОМ ПРОСТРАНСТВЕ ФРЕШЕ c 2010 г. И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН АННОТАЦИЯ. В работе предложена новая предельная форма свойства Радона—Никодима для интеграла Бохнера. Доказано, что в отличие от обычного свойства Радона—Никодима, предельная форма справедлива в произвольном пространстве Фреше. Рассмотрены некоторые приложения как в линейном, так и в нелинейном анализе. ВВЕДЕНИЕ Хорошо известно, что наиболее эффективный аналог интеграла Лебега в бесконечномерном случае — интеграл Бохнера — не сохраняет, вообще говоря, одно из принципиальных свойств интеграла Лебега. А именно, не всякое абсолютно непрерывное отображение является (с точностью до константы) неопределенным интегралом Бохнера (см. [6]). Наиболее известный подход к этой проблеме заключается в выделении специального класса пространств со свойством Радона—Никодима, в которых всякое абсолютно непрерывное отображение является неопределенным интегралом Бохнера (см. [14, 15]). Таковы, например, все рефлексивные банаховы пространства. Однако класс таких пространств недостаточно широк для многих конкретных задач анализа. Другой подход состоит в получении так называемых теорем типа Радона—Никодима, описывающие неопределенный интеграл Бохнера в пространствах без свойства Радона—Никодима (см. [13, 16–18, 21, 22]). Эти исследования активно продолжаются и сегодня (см. [7, 9–12]). В нашей работе [20] мы выделили, для отображений интервала в вещественное локально выпуклое пространство F : I → E, класс компактно абсолютно непрерывных отображений ACK (I, E), состоящий из абсолютно непрерывных отображений I во всевозможные банаховы пространства, порожденные абсолютно выпуклыми компактами C ∈ C(E). Основной результат работы (см. [20, теорема 3.2]) утверждает, что любое отображение F ∈ ACK (I, E) является неопределенным интегралом Бохнера. Была высказана гипотеза о том, что в случае произвольного пространства Фреше E справедливо и обратное утверждение, т.е. классы компактно абсолютно непрерывных отображений ACK (I, E) и неопределенных интегралов Бохнера W11 (I, E) совпадают (иначе говоря, E обладает K-свойством Радона—Никодима. В настоящей работе мы доказываем справедливость этой гипотезы: любое пространство Фреше обладает К-свойством Радона—Никодима (теорема 1.4). Это позволяет установить еще более сильный топологический результат — предельную форму свойства Радона—Никодима (теоремы 3.6 и 3.7). А именно, для любого пространства Фреше E пространство неопределенных интегралов Бохнера W11 (I, E) можно двумя способами представить как индуктивный предел: top W11 (I, E) = lim −−−−−−→ C∈C(E) top W11 (I, EC ) = lim − −−−−−− → C ∈C(E) AC(I, EC ). (0.1) Полученный результат позволяет в работе с линейными непрерывными операторами на W11 (I, E) (либо L1 (I, E)) обходиться без глобального свойства Радона—Никодима и, в известном смысле, решает проблему Радона—Никодима для всех пространств Фреше. Работа состоит из четырех разделов. Основной результат первого раздела (теорема 1.4) утверждает, что всякое пространство Фреше обладает K-свойством Радона—Никодима. Во втором разделе исследованы топологические свойства шкалы {EC } банаховых пространств, порожденных абсолютно выпуклыми компактами в пространстве Фреше E. Показано, что это σ-индуктивная c 2010 РУДН 55 56 И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН шкала с компактными вложениями (теорема 2.3). Третий раздел содержит основной результат работы — предельную форму свойства Радона—Никодима (0.1) для пространств Фреше (теоремы 3.6 и 3.7). В четвертом разделе рассмотрены некоторые обобщения и приложения (включая аналог p (I, E)). свойства (0.1) для пространств Соболева Wm Напомним, что пространством Фреше называется всякое полное метризуемое локально выпуклое пространство. Будем обозначать через EC = (spanC, · C ) банаховы пространства, порожденные C ∈ C(E), где · C является функционалом Минковского, порожденным C. 1. K-СВОЙСТВО РАДОНА—НИКОДИМА СПРАВЕДЛИВО ДЛЯ ВСЕХ ПРОСТРАНСТВ ФРЕШЕ Всюду далее E — вещественное локально выпуклое пространство, I = [a; b] ⊂ R. Начнем с определения сильной компактной абсолютной непрерывности для отображений F : I → E. Через AC(I, E) обозначим класс отображений F : I → E, имеющих обычное свойство сильной абсолютной непрерывности (относительно каждой непрерывной полунормы на E). Определение 1.1. Будем говорить, что отображение F сильно компактно абсолютно непрерывно на I, если F : I → F (a) + EC для некоторого C ∈ C(E) и F ∈ AC(I, EC ). Примем обозначение: F ∈ ACK (I, E). В [20] нами было показано, что любое отображение F ∈ ACK (I, E) представимо в виде неопределенного интеграла Бохнера от своей производной. Был построен пример, показывающий, что для произвольного локально выпуклого пространства E обратное утверждение, вообще говоря, неверно, и высказана гипотеза о справедливости обратного утверждения в случае, когда E — пространство Фреше. Теперь мы докажем справедливость этой гипотезы. Предлагаемое нами доказательство существенно опирается на следующий известный результат из [1]. Теорема 1.1. Любое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно неко пространства C[0; 1]. торому замкнутому подпространству E Будем рассуждать по схеме (см. [20, теорема 3.3]), где рассмотрен случай E = c0 . Сначала ⊂ C[0; 1]. Обозначим через введем понятие эллипсоида в E ωϕ (δ) := sup |x1 −x2 |δ |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )|, δ > 0, (1.1) модуль непрерывности функции ϕ ∈ C[0; 1]. Фиксируем некоторую последовательность δ = (δk )∞ 1 , δk → +0. Определение 1.2. Для произвольной числовой последовательности ε = (εk > 0)∞ k=1 назовем (невырожденным) δ-эллипсоидом в E ⊂ C[0; 1] множество max |ϕ(0)|, sup ωϕ (δk ) 1 . Cε = ϕ ∈ E εk k Проверим важный вспомогательный факт, обобщающий известный критерий компактности эллипсоида в 2 (см. [5]). Лемма 1.1. Если последовательность ε сходится к нулю, то множество Cε является ком пактным в E. Доказательство. Во-первых, ∀ϕ ∈ Cε : ϕ |ϕ(0)| + ω (δ ) ϕ 1 , т.е. множество Cε ограниε1 · 1 + δ11 чено. Во-вторых, т.к. εk → 0, то ∀η > 0 ∃k0 ∈ N: ∀k k0 (η > εk ). Поэтому ∀η > 0 существует окрестность нуля U (0) ⊂ R такая, что sup ϕ∈Cε sup t−s∈U (0) |ϕ(s) − ϕ(t)| < η, т. е. множество Cε равностепенно непрерывно и, следовательно, относительно компактно в E (см. [1, с. 289]). ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА 57 Пусть ϕm ∈ Cε , ϕm → ϕ при m → ∞. В таком случае, Покажем, что Cε замкнуто в E. если x1 , x2 ∈ [0; 1] и |x1 − x2 | δk , k ∈ N, то |ϕm (x1 ) − ϕm (x2 )| εk . Отсюда в пределе, |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| εk при |x1 − x2 | δk , т. е. ϕ ∈ Cε и, следовательно, множество Cε замкнуто. то Cε компактно в E. Так как Cε замкнуто и относительно компактно в E, Замечание 1.1. Ясно, что множество Cε абсолютно выпукло. Норма · Cε , порожденная Cε в ECε = span Cε , имеет вид ωϕ (δk ) . (1.2) ϕCε := max |ϕ(0)|, sup εk k Напомним, что любое пространство Фреше E со счетной определяющей системой полунорм { · j }∞ j=1 является проективным пределом последовательности банаховых пространств Ej , где Ej являются пополнениями по фактор-нормам фактор-пространств Ej = E/ker · j (j ∈ N). Для банахова пространства Фреше E эта система сводится к одному пространству E. Заметим, что интегрируемость отображения f : I → E по Бохнеру в E определяется как интегрируемость всех j . Сформулируем теперь базисный результат этого соответствующих фактор-отображений f : I → E раздела. Теорема 1.2. Пусть E — пространство Фреше. Тогда, если отображение f : I = [a; b] → E интегрируемо по Бохнеру, то существует такой компакт C ⊂ E, что f (t)C dt < ∞. I Доказательство. 1. Начнем доказательство со случая, когда пространство E банахово, тогда f (t)dt < ∞. Поскольку отображение f интегрируемо по Бохнеру на I, то оно почти всюду I сепарабельнозначно, т. е. почти все значения f на I содержатся в некотором замкнутом сепарабельном подпространстве E0 ⊂ E (см. [6, с. 102]). Пространство E0 , в свою очередь, изометрически явля ⊂ C[0; 1] (см. [1]); пусть ψ : E0 → E изоморфно некоторому замкнутому подпространству E ется соответствующей изометрией. Это означает, что множество C ⊂ E0 компактно тогда и только Более того, если C абсолютно выпукло, то тогда, когда компактно ψ(C) ⊂ E. xC = ψ(x)ψ(C) (∀x ∈ spanC). и рассуждать по аналогии Поэтому, не уменьшая общности рассуждений, можно заменить E0 на E с доказательством [20, теорема 3.3], привлекая понятие компактного эллипсоида Cε ⊂ E. 2. Далее будем полагать, что f : I → E и что отображение f является конечным на I (поскольку f почти всюду конечно на I ввиду интегрируемости по Бохнеру). Покажем, что функционалы → R из (1.1) непрерывны по ϕ. Действительно, ωϕ (δk ) — полунорма по ϕ при любом ωϕ (δk ) : E фиксированном δk и ωϕ (δk ) = sup |x1 −x2 |δk |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| 2 sup |ϕ(x)| = 2ϕE , x∈[0;1] (1.3) откуда следует искомая непрерывность. Поскольку f интегрируемо по Бохнеру на I, то существует последовательность простых отоб такая, что lim f (t) − fm (t) = 0 для почти всех t ∈ I. Поэтому для почти ражений fm : I → E всех t ∈ I, в силу (1.3), верно m→∞ (fm (t) → f (t)) ⇒ (ωfm (t) (δk ) → ωfm (t) (δk )), откуда, ввиду измеримости простых функций ωfm (·) (δk ) вытекает измеримость всех функций ωf (·) (δk ). Итак, ωf (·) (δk ) измерима ∀k ∈ N и поэтому функция f (·)Cε (Cε — произвольный невырожденный эллипсоид, см. определение 1.2) также является измеримой как поточечный супремум последовательности измеримых функций ωf (·) (δk ) и функции f (·), измеримой в силу интегрируемости по Бохнеру f на I. По условию теоремы, sup |f (t)(s)|dt < ∞ K := f (t)dt = I ввиду (B)-интегрируемости f в E. I s∈[0;1] 58 И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН 3. Подберем такую последовательность ε = (εk > 0)∞ k=1 , сходящуюся к нулю, чтобы f (t)Cε dt < ∞. I k-ое место Обозначим через εk 1 , 1, 1, . . . ) и k ∈ N. I k (f ) = f (t)Cεk dt, f : I → E, = (0, 0, . . . , 0, S Ясно, что ∀t ∈ I: f (t)Cε1 f (t)Cε2 · · · 0. Поэтому последовательность интегралов {I k }∞ k=1 монотонно убывает при k → ∞ и имеет верхнюю грань 1 (1.4) I (f ) = f (t)Cε1 dt 2K < ∞, I так как ∀ϕ ∈ E ωϕ (δk ) = max |ϕ(0)|, sup ωϕ (δk ) = ϕCε1 = max |ϕ(0)|, sup ε11 k k sup = max |ϕ(0)|, sup k |x1 −x2 |δk |ϕ(x1 ) − ϕ(x2 )| т.е. 2 sup |ϕ(x)| = 2ϕ, x∈[0;1] ∀ϕ ∈ E. (1.5) ϕ1 (t) = lim f (t)Cεk = 0, (1.6) ϕCε1 2ϕ Из (1.4) следует, что ∀t ∈ I существует предел k→∞ поскольку wf (t) (δk ) → 0 при k → ∞. По следствию из теоремы Б. Леви (см. [8]), ввиду (1.4) и (1.6) справедливо (1.7) lim I k (f ) = 0 ∀f : I → E. k→∞ Воспользовавшись (1.7), построим последовательность {km }∞ m=1 так, чтобы ∀m ∈ N ∃km ∈ N 1 . Введем ε = (ε )∞ ∀k km выполнялось неравенство I k (f ) < m =1 : 2 (m + 1) ⎞ ⎛ k1 -ое место k2 -ое место kn -ое место ⎟ ⎜ 1 1 1 1 1 1 ⎟. , . . . , ; , . . . , ; . . . ; , . . . ; . . . ε=⎜ 1, . . . , 1; ⎠ ⎝ 2 2 3 3 n+1 n+1 Как Последовательность ε сходится к нулю, и поэтому множество Cε является компактным в E. показано ранее, функция f (t)Cε измерима. Далее, wf (t) (δ ) dt I(f ) := f (t)Cε dt = max |f (t)(0)|, sup ε ∈N I f (t)dt + I I I ∞ wf (t) (δ ) 1 sup dt K + = K + 2 < ∞. m ε 2 ∈N m=0 Для банаховых пространств теорема доказана. 4. Перейдем теперь к случаю, когда E — пространство Фреше. Поскольку теорема доказана для j , что j ⊂ E банаховых пространств, то ∀j ∈ N существует такой абсолютно выпуклый компакт C f (t)Cj dt < ∞. I ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА Заметим, что · λC = 59 1 · C ∀λ > 0 и подберем числа nj (j ∈ N) так, чтобы λ 1 f (t)nj Cj dt < 2 ∀j ∈ N. j I Рассмотрим множество x ∈ E sup xnj Cj 1 . C= j∈N j и поэтому может быть плотно и Поскольку E является проективным пределом пространств E непрерывно вложено в Ej , то C может быть инъективно (ввиду отделимости пространства E), j∈N j , компактное по теореме Тихонова. Следонепрерывно и плотно вложено в произведение nj C j∈N вательно, C является непустым абсолютно выпуклым компактом в E. 5. Функция f (t)C = sup f (t)nj Cj измерима как супремум последовательности измеримых j∈N функций f (t)nj Cj . Далее, воспользовавшись теоремой Б. Леви о предельном переходе, имеем ∞ f (t)C dt = sup f (t)nj Cj dt f (t)nj Cj dt = I = j∈N I ∞ I j=1 ∞ j=1 I j=1 f (t)nj Cj dt < 1 < ∞. j2 В [20, теорема 3.2] нами был получен следующий критерий сильной компактной абсолютной непрерывности. Теорема 1.3. Пусть E — отделимое локально выпуклое пространство. Тогда F ∈ ACK (I, E) в том и только в том случае, если 1. F представимо в виде неопределенного интеграла Бохнера: x F (x) = F (a) + (B) f (t)dt (a x b); 2. b a a f (t)C dt < ∞ при F ∈ AC(I, EC ), C ∈ C(E). Из теорем 1.2 и 1.3 вытекает Теорема 1.4. Пусть E — пространство Фреше. Тогда для любого интегрируемого по Бохнеру отображения f : I → E существует такой компакт C ⊂ E, что отображение x F (x) = F (a) + (B) f (t)dt (a x b) a принадлежит классу AC(I, EC ). Таким образом, любое пространство Фреше E обладает Kсвойством Радона—Никодима. 2. K-ШКАЛА ПРОСТРАНСТВ, ПОРОЖДЕННЫХ КОМПАКТАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ФРЕШЕ В данном пункте мы остановимся на топологических результатах, которые представляют и самостоятельный интерес. Начнем с обобщения на случай пространств Фреше теоремы о представлении основного пространства в виде (локально выпуклого) индуктивного предела банаховых пространств, порожденных абсолютно выпуклыми компактами: top E = lim −−−−−−→ C∈C(E) EC . 60 И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН Эта теорема доказана ранее для гильбертовых (а фактически, для банаховых) пространств в [5]. top E (отТеорема 2.1. Для любого пространства Фреше E верно соотношение E = −−−lim −−−→ C носительно непрерывных вложений, порождаемых порядком C1 ⊂ M · C2 ). C∈C(E) Доказательство. Пусть { · m }∞ m=1 — стандартная определяющая система полунорм в E ( · m E . Имеем: и попарно неэквивалентны), EC := −−−lim −−−→ C C∈C(E) 1. Так как ∀C ∈ C(E): EC → E (непрерывно), то EC → E и необходимо доказать лишь обратное непрерывное вложение: E → EC . Допустим противное. Тогда существует такая окрестность нуля U ⊂ EC , которая не является окрестностью нуля в E. 2. Для фиксированного m ∈ N обозначим Bm = {x ∈ E | xm 1}. Так как Bm не поглощается множеством U, то для любой последовательности αn → +0 найдется такая последовательность {xmn }∞ n=1 ⊂ E, что xmn ∈ (αn · Bm )\U (n = 1, 2, 3, . . . ). При этом, поскольку Bm+1 ⊂ Bm , то xm+k,n ∈ (αn Bm+k )\U ⊂ (αn Bm )\U ; 3. Положим C = abs.coE 1 √ xnn αn (∀n ∈ N, k ∈ N0 ). (2.1) ∞ n=1 и покажем, что C ∈ C(E). Действительно, в силу (2.1), 1 1 xm+k,n xm+k,n 1 (∀m, n ∈ N, k ∈ N0 ). αn αn m m+k Отсюда, в частности, при m + k = n имеем: 1 √ xnn √αn αn (∀n m, m ∈ N). (2.2) m Фиксируя m и переходя теперь в (2.2) к пределу при n → ∞, получаем: 1 √ xnn → 0 при n → ∞ (∀m ∈ N), αn m 1 E откуда √ xnn −→ 0 при n → ∞, и следовательно, C ∈ C(E). αn 4. Поскольку вложение EC → EC непрерывно, то C поглощается множеством U. В то же время, из включений 1 1 (∀n ∈ N) √ xnn ∈ C\ √ U αn αn 1 следует, что C\ √ U = ∅ при любом n, т.е. C не поглощается множеством U. Полученное αn противоречие доказывает теорему. Теперь мы установим важное свойство пространств Фреше, которое понадобится нам в дальнейшем. Определение 2.1. Будем говорить, что локально выпуклое пространство E обладает свойством компактной аппроксимации (E ∈ Kap ), если ∀C ∈ C(E) ∃C ∈ C(E) такое, что имеет место компактное вложение EC →→ EC . Теорема 2.2. Любое пространство Фреше E обладает свойством компактной аппроксимации. Более того, существует непрерывное отображение ϕ : E → E такое, что: 1. для любого C ∈ C(E) вложение EC →→ ECϕ компактно, где Cϕ = co ϕ(C); 2. ϕ(x) = x/ψ(x) (при x = 0), где 0 < ψ(x) < 1, ψ непрерывна, ψ(0) = 0, ψ(∞) = 1; ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА 3. 61 ! (x ∈ C) ⇒ xCϕ ψ(x) . (2.3) Доказательство. Пусть { · j }∞ j=1 — определяющая система полунорм в E. Введем отображения (∀x ∈ E): " ∞ xj 1 x " (x = 0), ϕ(0) = 0. Имеем: · , ϕ(x) = ψ(x) = j 2 1 + xj ψ(x) j=1 1. Функция ψ(x) непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций: " ∞ xj 1 1 1 " 0 j · < j (∀j ∈ N), 0 ψ(x) < = 1, ψ(0) = 0. 2 1 + xj 2 2j j=1 При этом ∀N ∈ N ⎛ ⎞ " N xj 1 ⎠ 1 ⎝1 lim ψ(x) " · lim = 1 − ψ(x) = 1 . ⇒ lim x→∞ x→∞ 2j xj →∞ 1 + xj 2N −1 j=1 2. Функция ϕ(x) = верно x непрерывна при x = 0. Проверим непрерывность при x = 0: ∀j ∈ N ψ(x) xj xj " = 2j · ϕ(x)j = ψ(x) xj 1 " · j 2 1 + xj # # xj · 1 + xj → 0 при x → 0. 3. Обозначим Cϕ = co ϕ(C) ∈ C(E) и докажем, что вложение EC → ECϕ компактно. 1 верно λ · x ∈ а). Пусть x ∈ ∂ co C (∂ co C — выпуклая граница C). Тогда при некотором λ ψ( x) ∂ co Cϕ . Отсюда x). (2.4) xCϕ ψ( Если же x ∈ C, x = μx (при некотором μ 1), то подставляя x = μx в (2.4), получаем: μ · xCϕ = xCϕ ψ(μx), откуда √ " ∞ μ xj 1 1 x) = · ψ(x), (2.5) xCϕ ψ(μ √ " j μ 2 1 + μ xj j=1 т.е. (2.3) верно. Заметим также, что из (2.5) следует, что при μ 1 ψ(x) ψ(μx) μψ(x). б). Пусть {xk }∞ 1 ⊂ C. Тогда существует подпоследовательность xkn сходящаяся к некоторому xkn − x0 E ∈ C (n ∈ N). x0 ∈ C, т.е. xkn − x0 −→ 0. При этом xkn − x0 ∈ C − C = 2C, т.е. 2 xkn − x0 Применяя (2.3) к x = , получаем: 2 xkn − x0 ψ xkn − x0 , откуда xk − x0 2ψ xkn − x0 → 0 n Cϕ 2 2 2 Cϕ ECϕ при n → ∞ ввиду непрерывности ψ. Таким образом, xkn − x0 −→ 0, т.е. C предкомпактно в ECϕ и, следовательно, вложение EC → ECϕ компактно. Замечание 2.1. Если E — банахово пространство, то можно ввести более простую функцию " " x при x = 0, ϕ(0) = 0. В этом случае (x ∈ C) ⇒ xCϕ x и, ψ(x) = x, ϕ(x) = " x следовательно, " (x ∈ EC ) ⇒ xCϕ x · xC . 62 И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН В общем случае (E — пространство Фреше), из (2.3) следует лишь соотношение ! x · xC ⇒ xCϕ ψ(x) · xC ). (x ∈ EC ) ⇒ xCϕ ψ xC Для доказательства основного результата работы нам потребуется несколько усилить результат теоремы 2.2. Введем свойство σ-компактной аппроксимации для локально выпуклого пространства и докажем, что этим свойством также обладают все пространства Фреше. Определение 2.2. Будем говорить, что локально выпуклое пространство E обладает свойством σ-компактной аппроксимации, если ∀{Cn }∞ n=1 ⊂ C(E) ∃C ∈ C(E), что вложения ECn → EC σ . компактны ∀n ∈ N. Примем обозначение: E ∈ Kap Далее нам потребуется следующее вспомогательное утверждение. Лемма 2.1. Пусть E — пространство Фреше. Если {Cn }∞ n=1 ⊂ C(E) и ∀m ∈ N αn = o (1/diamm (Cn )) , то ∞ $ αn Cn ∈ C(E). C = co n=1 В частности, если lim diamm (Cn ) = 0 ∀m ∈ N, то n→∞ ∞ $ C = co Cn ∈ C(E). n=1 ∞ Доказательство. Пусть {xk }k=1 ⊂ C. Имеются ровно две возможности: 1. Последовательность {xk }∞ k=1 содержится в конечном числе множеств αn Cn . Тогда существует такое n0 ∈ N и такая подпоследовательность {xki }∞ i=1 , что xki ∈ αn0 · Cn0 (i = 1, 2, . . . ). содержит некоторую субподпоследовательность {xkij }∞ Так как αn0 Cn0 компактно, то {xki }∞ i=1 j=1 , сходящуюся к некоторой точке x0 ∈ αn0 C0 ⊂ C. 2. Последовательность {xk }∞ k=1 не содержится ни в каком конечном числе множеств αn Cn . ∞ Тогда существуют такие подпоследовательности {ni }∞ i=1 и {ki }i=1 , что xki ∈ αni · Cni (i = 1, 2, . . . ). E Следовательно, xki m αni · diamm (Cni ) → 0 при i → ∞ (∀m ∈ N), откуда xki −→ 0 ∈ C при i → ∞. Таким образом, C компактно в E. Приведем также определение σ-индуктивной шкалы локально выпуклого пространства, введенное ранее в [2]. Определение 2.3. Будем говорить, что индуктивная шкала (индуктивный спектр) локально выпуклого пространства {Eλ }λ∈Λ является σ-индуктивной шкалой, если для любого счетного подмножества {λn }∞ n=1 ⊂ Λ существует такое λ∞ ∈ Λ, что вложения Eλn → Eλ∞ непрерывны ∀n ∈ N. Теорема 2.3. Любое пространство Фреше E обладает свойством σ-компактной аппрокси→ σ . Иначе говоря, шкала − мации Kap E C = {EC }C∈C(E) является σ-индуктивной шкалой банаховых пространств с компактными вложениями. Доказательство. 1. Пусть Cn ∈ C(E) (n ∈ N), { · m }∞ m=1 — определяющая система полунорм в E, rmn = sup x − ym = diamm (Cn ) (∀m, n ∈ N) (rmn < ∞). x,y∈Cn По известной теореме из теории последовательностей, выберем такую последовательность αn → +0, что αn = o (1/rmn ) при n → ∞ (∀m ∈ N). ∞ % αn Cn ; тогда, по лемме 2.1, C ∈ C(E). Положим C = n=1 2. Применяя теорему 2.2, найдем такое Cϕ ∈ C(E), что вложение EC →→ ECϕ компактно. Тем более, ∀n ∈ N: ECn = Eαn Cn → EC →→ ECϕ . → − Таким образом, E C — σ-индуктивная шкала с компактными вложениями. ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА 3. ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА 63 В ПРОСТРАНСТВАХ ФРЕШЕ Далее мы переходим к исследованию свойств интегральных пространств W11 над пространствами Фреше с целью доказать представимость любого пространства Соболева W11 (I, E) в виде индуктивного предела как пространств W11 (I, EC ), так и пространств AC(I, EC ) (C ∈ C(E)). Проверим вначале, что подпространства EC ⊂ E, порожденные компактами C ∈ C(E), индуцируют соответствующую σ-индуктивную шкалу интегральных пространств. Приведем обозначения пространств, которые мы будем использовать в дальнейшем. В отличие от скалярного случая, мы должны различать абсолютно непрерывные отображения и неопределенные интегралы Бохнера. Определение 3.1. Пусть E — пространство Фреше. Введем пространства (векторный интеграл везде понимается в смысле Бохнера): x а). W11 (I, E) = {F : I → E | F (x) = F (a) + (B) F (t)dt (a x b)} с определяющей системой a полунорм ⎧ ⎫ b ⎨ ⎬ F n = F (a)n + F (t)n dt ⎩ ⎭ В частности, ◦ W 11 (I, E) , = F ∈ a . n∈N | F (a) = 0 с определяющей системой полунорм ⎫ ⎧ b ⎬ ⎨ . F n = F (t)n dt ⎭ ⎩ W11 (I, E) a n∈N ◦ ∼ Отметим сразу же очевидный изоморфизм = L1 (I, E) (при соответствии F ↔ F ). б). При C ∈ C(E) мы аналогично введем банаховы пространства W11 (I, EC ) с нормами W 11 (I, E) F C = F (a)C + b F (t)C dt a (поскольку дифференцируемость F : I → EC влечет дифференцируемость F : I → E), и соответ◦ ◦ ствующие подпространства W 11 (I, EC ). Здесь также W 11 (I, EC ) ∼ = L1 (I, EC ). в). При любых C ∈ C(E) мы также введем банаховы пространства AC(I, EC ) абсолютно непрерывных отображений F : I → (EC , · C ) с нормами C F b = F (a)C + F (t)C dt a (здесь, вообще говоря, нет дифференцируемости для F : I → EC , но есть дифференцируемость для F : I → E) и соответствующие подпространства ◦ AC(I, EC ) = {F ∈ AC(I, EC ) | F (a) = 0} с нормами F C b = F (t)C dt. a Теорема 3.1. Для любого пространства Фреше E система → − L 1,C (I, E) := {L1 (I, EC )}C∈C(E) (3.1) образует σ-индуктивную шкалу банаховых пространств относительно непрерывных вложений. Доказательство. Пусть C1 C2 (C1 ⊂ M · C2 ), тогда xC1 M · xC2 при x ∈ EC1 . Имеем: x(·)L1 (I,C1 ) = x(t)C1 dt M · x(t)C2 dt = x(·)L1 (I,C2 ) , I I откуда следует непрерывное вложение L1 (I, C1 ) → L1 (I, C2 ). 64 И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН Далее, для произвольной последовательности {Cn }∞ n=1 ⊂ C(E), согласно теореме 2.3, ∃Cϕ ∈ C(E): Cn Cϕ (∀n ∈ N), откуда L1 (I, ECn ) → L1 (I, ECϕ ) (∀n ∈ N), − → т.е. шкала L 1,C (I, E) σ-индуктивна относительно непрерывных вложений. Из доказанной теоремы и определения 3.1(б) вытекает Следствие 3.1. Для любого пространства Фреше E система , − → W 11,C (I, E) := W11 (I, EC ) C∈C(E) (3.2) образует σ-индуктивную шкалу банаховых пространств относительно непрерывных вложений. Заметим, что вопрос о компактности вложений в шкалах (3.1)–(3.2) остается открытым. В пункте 1 (теорема 1.2) было отмечено, что всякое отображение F ∈ AC(I, EC ) можно представить в виде интеграла Бохнера в E, причем функция F (·)C суммируема на I. При этом возникает естественный вопрос: будет ли отображение f = F в общем случае интегрируемым по Бохнеру в EC (или, что то же самое, обладает ли всякое EC свойством Радона—Никодима)? Это верно, например, в случае E = p (1 p < ∞) и C = Cε — компактного эллипсоида в E (см. [20, теорема 3.4]), однако это неверно в общем случае. Например, если E = c0 , то ECε ∼ = ∞ (см. [20, определение 3.2]), а пространство ∞ не обладает свойством Радона—Никодима (см. [14]). Однако, оказывается, что абсолютно непрерывные отображения в EC являются интегралами Бохнера в некотором EC (C, C ∈ C(E)). Теорема 3.2. Если E — пространство Фреше, то ∀C ∈ C(E) ∃C ∈ C(E) такой, что для любого F ∈ AC(I, EC ) его производная f = F интегрируема по Бохнеру в пространстве EC . Доказательство. По теореме 2.2, существует такой компакт C = ϕ(C ) ∈ C(E), что EC →→ EC . Это позволяет нам рассмотреть банахово пространство EC как основное; при этом C ∈ C(EC ), (EC )C = EC , F ∈ AC(I, (EC )C ) = AC(I, EC ). Следовательно, по теореме 1.3, f = F интегрируемо по Бохнеру в пространстве EC . Из теоремы 1.3, следствия 3.1 и теоремы 3.2 немедленно вытекают: Теорема 3.3. Пусть E — пространство Фреше, и отображение f : I → E интегрируемо по Бохнеру. Тогда ∃C ∈ C(E) такой, что f интегрируемо по Бохнеру в EC . Следовательно, имеет место векторный изоморфизм vect W11 (I, E) = lim −−−−−−→ C∈C(E) W11 (I, EC ). Теорема 3.4. Пусть E — пространство Фреше, отображение F : I = [a; b] → E сильно абсолютно непрерывно и почти всюду дифференцируемо на I. Тогда F ∈ ACK (I, E) и существует абсолютно выпуклый компакт C ⊂ E такой, что F почти всюду дифференцируемо как отображение I в пространство EC . ◦ ◦ Замечание 3.1. 1. Как уже отмечалось, W 11 (I, E) ∼ = L1 (I, E) и аналогично, W 11 (I, EC ) ∼ = L1 (I, EC ). Отсюда следуют изоморфизмы W 1 (I, E) ∼ = E × L1 (I, E), W 1 (I, EC ) ∼ = E × L1 (I, EC ). 1 2. По свойствам интеграла Бохнера, ◦ 1 1 W1 (I, EC ) → AC(I, EC ) (вложение изометрично, см. ◦ определение 3.1(b, c)) и аналогично, W 11 (I, EC ) → AC(I, EC ) (равенство имеет место только в случае, когда EC обладает свойством Радона—Никодима). 3. По теореме 2.2, ∀C ∈ C(E) ∃C ∈ C(E) такое, что вложение EC → EC компактно, и, следовательно, вложение AC(I, EC ) → W11 (I, EC ) непрерывно. Итак, ∀C ∈ C(E) ∃C ∈ C(E) такое, что (3.3) W11 (I, EC ) → AC(I, EC ) → W11 (I, EC ). Отсюда сразу следует топологическое равенство: ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА 65 Теорема 3.5. Для любого пространства Фреше верно соотношение lim top −−−−−−→ C∈C(E) W11 (I, EC ) = lim − −−−−−− → C ∈C(E) AC(I, EC ). (3.4) Следующая теорема 3.6 и вытекающая из нее теорема 3.7 являются основными результатами работы в целом. Теорема 3.6. Для любого пространства Фреше E верно соотношение top W11 (I, E) = W11 (I, EC ). lim −−−−−−→ C∈C(E) ◦ (3.5) ◦ Y C. Доказательство. Обозначим Y = W 11 (I, E), Y C = W 11 (I, EC ), Y C = −−−lim −−−→ top C∈C(E) C. Докажем, что Y = Y 1. Имеем ∀C ∈ C(E): (EC → E) ⇒ (Y C → Y ) ⇒ lim −−−−−−→ C∈C(E) Y C C = Y → Y . Таким образом, необходимо проверить только непрерывность обратного вложения: Y → Y C . Y 2. Пусть Fn −→ 0, причем Fn = fn — простые. Следовательно, ∀m (в каноническом представлеE ) имеем Fn m → 0 при n → ∞. Положим нии E ∼ = ←lim −m −− − m . Bm = {x ∈ E | xm 1}, Cmn = Bm spanfn (I) (n ∈ N). mn = Так как dim spanfn (I) < ∞, то Cmn ∈ C(E); при этом diamm Cmn = diamm Bm = 2. Отсюда C mn = em (Cmn ) (em : E → Em — канонические вложения) принадлежат C(Em ), причем diamEm C diamm Bm ≡ 2 (n ∈ N). Далее, так как n fn (t)C m = fn (t)m то αmn = n Fn C m = n fn (t)C m dt fn (t)m dt = Fn m → 0 = I (∀t ∈ I, n ∈ N), при n → ∞. I Положим m = co C ∞ $ √ m ). (C αmn · Cmn n=1 m ∈ C(Em ). При этом Согласно лемме 2.1, C √ √ 1 αmn m αmn Cm mn Fn C =√ Fn C =√ = αmn → 0 при n → ∞. m Fn m m αmn αmn = E = C m . Тогда C m — 3. Рассмотрим E как плотное подпространство произведения E m по теореме Тихонова (см. [8]). При этом абсолютно выпуклый компакт в E / ⊃ , E E C m, Cm m 0 E = ∅, C ∈ C(E) и lim E откуда C = C ←−− m, образом, m ⎛ m C Ym Fn −→ 0 (∀m) ⇐⇒ ⎝Fn m C Cm lim Ym ← −− m −→ Отсюда Y ∼ = Em, m ⎞ m C 0 0 E = EC . Таким E → E C C C Y Y 0⎠ =⇒ Fn −→ 0 =⇒ Fn −→ 0 . YC (Fn −→ 0) =⇒ (Fn −→ 0). m 66 И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН 4. Следовательно, вложение Y → Y C непрерывно на плотном подмножестве {F ∈ Y | — простые} пространства Y, а значит, и на всем Y. Из непрерывности вложений Y C → Y и Y → Y C следует изоморфизм Y ∼ (3.6) = Y C. 1 1 C 5. Так как W1 (I, E) ∼ = E × Y, W1 (I, EC ) ∼ = EC × Y , то из (3.6) и теоремы 2.1 следует соотношение F lim −−−−−−→ C∈C(E) W11 (I, EC ) = lim −−−−−−→ C∈C(E) EC × lim −−−−−−→ C∈C(E) YC ∼ = W11 (I, E), =E×Y ∼ т.е. (3.5) верно. Теорема доказана. Из равенств (3.4) и (3.5) немедленно следует финальный результат: Теорема 3.7. Для любого пространства Фреше E верно соотношение top W11 (I, E) = lim −−−−−−→ C∈C(E) top W11 (I, EC ) = lim − −−−−−− → C ∈C(E) AC(I, EC ). (3.7) Равенство (3.7) мы будем называть предельной формой свойства Радона—Никодима для интеграла Бохнера. Таким образом, теорема 3.7 означает, что предельная форма свойства Радона— Никодима справедлива в любом пространстве Фреше. Используя изоморфизм L1 (I, E) ∼ = ◦ W 11 (I, E), переформулируем полученный результат для пространства L1 (I, E). Следствие 3.2. Для любого пространства Фреше E верно соотношение top L1 (I, E) = top lim L1 (I, EC ) ∼ = −−−−−→ C∈C(E) ◦ lim AC(I, EC ). −−−−−−→ C ∈C(E) Из известного критерия непрерывности линейных операторов, заданных на индуктивном пределе (см. [23, II.6.1]) вытекает Следствие 3.3. Пусть E — пространство Фреше, X — произвольное локально выпуклое пространство, A : W11 (I, E) → X (соответственно A : L1 (I, E) → X) — линейный оператор. Тогда следующие условия равносильны: 1. A непрерывен на W11 (I, E) (соответственно, на L1 (I, E)); 2. A непрерывен на каждом W11 (I, EC ), C ∈ C(E) (соответственно, на L1 (I, EC )); ◦ 3. A непрерывен на каждом AC(I, EC ), C ∈ C(E) (соответственно, на AC(I, EC )). 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ 4.1. Обобщенная формула конечных приращений и теорема о среднем с компактной оценкой в пространствах Фреше. В работе [3] была получена для отображений F : [a; b] → E (E — отделимое локально выпуклое пространство) обобщенная формула Лагранжа ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ϕ(x)dx⎠ · B, (4.1) F (b) − F (a) ∈ ⎝ [a;b]\e в предположении непрерывности F на [a; b], дифференцируемости на [a; b]\e, нулевой слабой меры F (e) и локальной оценки F (x) ∈ ϕ(x) · B, где ϕ(x) неотрицательна и суммируема на [a; b]\e, а множество B замкнуто и выпукло в E. Оказывается, если E — пространство Фреше, то в случае, когда множество e имеет нулевую меру, а множество B абсолютно выпукло и ограничено, оценку (4.1) можно усилить, заменив B на некоторое его компактное подмножество. Обозначим через mes меру Лебега на вещественной прямой. Справедлива следующая Теорема 4.1. Пусть E — пространство Фреше, а отображение F : [a; b] → E непрерывно на [a; b], дифференцируемо на [a; b]\e, причем mes(e) = 0 и множество F (e) имеет скалярную меру нуль. Если F (x) ∈ ϕ(x) · B при x ∈ [a; b]\e, где ϕ(x) неотрицательна и суммируема на ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА 67 [a; b]\e, множество B замкнуто, выпукло и ограничено в E, то существует такое компактное = abs.co C и подмножество C ⊂ B, что F ∈ W11 (I, EC ), C ⎛ F (b) − F (a) ∈ ⎝ ⎞ b ϕ(t)dt⎠ · C. (4.2) a Доказательство. 1. Покажем сначала, что F ∈ AC(I, E). Пусть {·}∞ j=1 — определяющая система полунорм в E, E = ←lim E — соответствующее каноническое представление E (см. замечание 1.1). −−−− j j→∞ j вытекает, что для всякой неперекрываюТогда из оценки (4.1) и ограниченности B в каждом E % щейся системы отрезков [αk ; βk ] ⊂ [a; b] при любом j ∈ N верно соотношение k ⎛ ⎞ βk F (βk ) − F (αk )j sup Bj · ⎝ ϕ(t)dt⎠ −→ 0 k k при (βk − αk ) → 0, k αk j ) ∀j ∈ N, а значит, F ∈ AC(I, E). т.е. F ∈ AC([a; b], E 2. Так как F по условию почти всюду дифференцируемо на [a; b], то, согласно известной теореме о представимости интеграла Бохнера (см. [6, теорема 3.8.6]), x F (x) = F (a) + (B) F (t)dt (a x b). a ∈ C(E). При Тогда, по теореме 3.2, F интегрируемо по Бохнеру в некотором пространстве EC , C этом можно считать, что F (x) ∈ ϕ(x) · C x ∈ [a; b]\e, (4.3) 0 где C = B C. 3. Теперь остается применить формулу конечных приращений (4.1) с заменой B на C. Из доказанной теоремы стандартным образом выводится Следствие 4.1 (Теорема о среднем). Пусть E — пространство Фреше, отображение F : [a; b] → E непрерывно на [a; b], дифференцируемо на [a; b]\e, причем mes(e) = 0, множество F (e) имеет скалярную меру нуль, а множество F ([a; b]\e) ограничено. Тогда существует та ∈ C(E), что кое C F (b) − F (a) ∈ abs.coEC F ([a; b]\e). b−a (4.4) в соответствии с доказательством теоремы 4.1 можно взять C = Заметим, что в качестве C, abs.co (F ([a; b]\e) . Заметим также, что оценка (4.4) точнее оценки, вытекающей из (4.1) за счет того, что замыкание множества F ([a; b]\e) в пространстве EC меньше, чем замыкание в E. Таким образом, оценка (4.4) может быть незамкнутой в E. Следствие 4.2. В условиях следствия 4.1 существует такой абсолютно выпуклый компакт C ∈ C(E), при котором справедлива оценка F (b) − F (a)C sup F (x)C · (b − a). x∈[a;b]\e (4.5) p 4.2. Предельная форма свойства Радона—Никодима в пространствах Соболева Wm (I, E). p Пусть E — пространство Фреше. Введем пространства Соболева Wm (I, E) (m ∈ N0 , p 1), а также p p (I, EC ) и ACm (I, EC ). соответствующие пространства Wm 68 И. В. ОРЛОВ, Ф. С. СТОНЯКИН 1. p Wm (I, E) = F () сильно измеримы, b p () F :I→E F (t)n dt < ∞ с определяющей сис(0m, n∈N) a темой полунорм F n = 2. В частности, стемой полунорм ◦ W pm (I, E) m−1 , ⎛ F () (a)n + ⎝ =0 = F ∈ b ⎞1/p F (m) (t)pn dt⎠ . a p Wm (I, E) | F (a) = · · · = F (m−1) (a) = 0 с определяющей си- ⎛ b ⎞1/p F n = ⎝ F () (t)pn dt⎠ . a Имеет место изоморфизм ◦ p (I, E) ∼ Wm = E m × W pm (I, E) ∼ = E m × Lp (I, E). p 3. При этом, аналогично определению 3.1, можно ввести банаховы пространства Wm (I, EC ), C ∈ C(E), и пространства ⎧ ⎫ b ⎨ ⎬ () AC(I, EC ), p (I, EC ) = F : I → E F ∈0m−1 F (m) (t)pC dt < ∞ , ACm ⎩ ⎭ C ∈ C(E) с нормами F C = m−1 1 =0 F () (a)C + b a a 1/p F (m) (t)pC dt . Справедлив аналог равенства (3.7): top p (I, E) = Wm lim −−−−−−→ C∈C(E) top p Wm (I, EC ) = lim − −−−−−− → C ∈C(E) p ACm (I, EC ). (4.6) ◦ p Используя изоморфизм Lp (I, E) ∼ = W m (I, E), тождество (4.6) можно переписать в виде ◦ lim Lp (I, EC ) ∼ AC pm (I, EC ). Lp (I, E) = −−− = −−−lim −−→ −−−→ C∈C(E) C ∈C(E) Справедлив также аналог следствия 3.3: если E — пространство Фреше, X — произвольное лоp (I, E) → X, 1 p < ∞, m ∈ N0 (соответственно, кально выпуклое пространство, A : Wm A : Lp (I, E) → X) — линейный оператор, то следующие условия равносильны: p (I, E) (соответственно, на Lp (I, E)); 1. A непрерывен на Wm p (I, EC ), C ∈ C(E) (соответственно, на Lp (I, EC )); 2. A непрерывен на каждом Wm ◦ p (I, EC ), C ∈ C(E) (соответственно, на AC pm (I, EC )). 3. A непрерывен на каждом ACm СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962. 2. Орлов И. В. Сходимость почти всюду как сходимость в нелинейной индуктивной шкале локально выпуклых пространств // Ученые записки Таврического нац. университета. Математика. — 2001. — 14 (53). — С. 75–80. 3. Орлов И. В. Формула конечных приращений для отображений в индуктивные шкалы пространств// Математическая физика, анализ, геометрия (МАГ). — 2001. — 8, № 4. — С. 419–439. 4. Орлов И. В., Стонякин Ф. С. Компактные субдифференциалы: формула конечных приращений и смежные результаты// Современная математика. Фундаментальные направления. — 2009. — 34. — С. 121– 138. 5. Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. — М.: Наука, 1984. 6. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962. 7. Arvanitakis A. D., Aviles A. Some examples of continuous images of Radon—Nikodym compact spaces // arXiv:0903.0653v1 [math.GN],3 Mar 2009. — P. 1–11. ПРЕДЕЛЬНАЯ ФОРМА СВОЙСТВА РАДОНА—НИКОДИМА 69 8. Berezansky Yu. M., Sheftel Z. Gr., Us G. F. Functional Analysis. Vol.1. — Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser Verlag, 1995. 9. Bu Q., Buskes G. and Wei-Kai L.. The Radon—Nikodym property for tensor products of banach lattices II // Positivity. — 2008. — 12. — P. 45—54. 10. Chakraborty N.D., Jaker Ali Sk.. Type II-Λ-weak Radon—Nikodym property in a Banach space associated with a compact metrizable abelian group// Extracta Math. — 2008. — 23, №3. — P. 201–216. 11. Cheeger J. Kleiner B. Characterization of the Radon—Nikodym property in terms of inverse limits // arXiv:0706.3389v3 [math.FA], 11 Jan 2008. — P. 1–12. 12. Cheeger J. Kleiner B. Differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces with the Radon—Nikodym property // arXiv:0808.3249v1 [math.MG], 24 Aug 2008. — P. 1–17. 13. Chi G. A geometric characterization of Frechet spaces with the RNT // Proc. Amer. Math. Soc. — 1975. — 48. — P. 371–380. 14. Davis W.J. The Radon—Nikodym property // Seminaire d’analyse fonctionelle (Polytechnique)(1973 – 1974). — exp no. 0. — P. 1–12. 15. Diestel J., Uhl J.J. Vector Measures. — Providence, Amer. Math. Soc., 1977. 16. Dunford N., Pettis B.J. Linear operations on summable functions // Trans. Amer. Math. Soc. — 1940. — 47. — P. 323–392. 17. Gilliam D. Geometry and the Radon—Nikodym theorems in strict Mackey convergence spaces // Pacific J. Math. — 1976. — 65, №2. — P. 353–364. 18. Moedomo S., Uhl J.J. Radon—Nikodym theorems for the Bochner and Pettis integrals // Pacific J. Math. — 1971. — 38, №2. — P. 531–536. 19. Orlov I. V., Stonyakin F. S. Compact variation, compact subdifferential and indefinite Bochner integral // Methods Funct. Anal. Topology. — 2009. — 15, №1. — P. 74–90. 20. Orlov I. V., Stonyakin F. S. Strong compact properties of the mappings and K-property of Radon—Nikodym // Methods Funct. Anal. Topology — в печати. 21. Phillips R.S. On weakly compact subsets of a Banach space // Amer. J. Math. — 1943. — 65, №3. — P. 108–136. 22. Rieffel M.A. The Radon—Nikodym theorem for the Bochner integral // Trans. Amer. Math. Soc. — 1968. — 131. — P. 466–487. 23. Shaefer H.H. Topological vector spaces. — New York–London: McMillan, 1966. И. В. Орлов Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, Украина E-mail: [email protected] Ф. С. Стонякин Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь, Украина E-mail: [email protected]