Общее равновесие в экономике обмена

Факультет мировой экономики
и мировой политики НИУ ВШЭ,
2011-2012
Ю.В. Автономов
Общее равновесие в экономике обмена - 3:
теоремы экономики благосостояния
9 I и II фундаментальные теоремы
экономики благосостояния
9 Cуществование равновесия
I Теорема экономики благосостояния
«Пусть в экономике обмена предпочтения каждого
потребителя представимы функцией полезности,
монотонно возрастающей хотя бы по одному
товару. Тогда:
Если
( p , x )
– равновесие по Вальрасу
в этой экономике…
…то распределение
~
x
оптимально по Парето»
II Теорема экономики благосостояния
(для экономики обмена)
Пусть все потребители в экономике обмена имеют
9выпуклые,
9строго монотонные предпочтения,
представимые дифференцируемыми функциями
полезности.
Если
~
x
- внутреннее Парето-оптимальное
распределение в этой экономике Î
…то найдется вектор цен
~
p
и вектор трансфертов
…такие, что
(~p, ~x )
~
T
…
будет равновесием по Вальрасу
в экономике, где доходы потребителей имеют
вид:
k
k
I = pω + T
k
,
M
причем
~k
∑T = 0
k =1
Возможные нарушения II Теоремы
экономики благосостояния: невыпуклость
предпочтений
x1B x2А
В
0
x
x̂
A
;
~
B
;
~
0А
x1А
x2B
Поиск равновесия с трансфертами:
пример
• Экономика обмена 2x2
u ( x) = x
B
u ( x) = x
A
• Функции полезности:
• Первоначальные запасы:
0,25
1
0,25
1
x
x
0,75
2
0,75
2
ω A = ( 6 ,1 )
ω = ( 2 ,3 )
B
Можно ли реализовать
распределение
{~
x A = ( 2 ,1 ), ~
x B = ( 6 ,3 )}
как равновесие по Вальрасу с трансфертами?
• В силу I теоремы экономики благосостояния, любое
равновесное по Вальрасу распределение в этой
экономике должно быть Парето-оптимальным
Îубедимся, что распределение
Парето-оптимально.
x = {(2,1), (6,3)}
заметим, что это распределение внутреннее!
• Т. к. предпочтения обоих потребителей монотонны и
строго выпуклы, а кривые безразличия гладкие…
…необходимым и достаточным
условием Парето-оптимальности любого внутреннего
распределения является:
MRS = MRS
A
B
• Легко видеть, что
MRS12 A
1 x2A
=
3 x1A
и MRS12 B
1 x2B
=
3 x1B
A
B
x
x
A
B
2
2
MRS
=
MRS
→
=
• Отсюда,
A
B
x1
x1
• Распределение
x = {(2,1), (6,3)}
удовлетворяет
этому уравнению Æ является Парето-оптимальным
Условия II теоремы экономики благосостояния выполнены:
распределение внутреннее, ’ монотонны и строго выпуклы
Найдем цены и трансферты,
при которых x =было бы равновесным Î
p 1
Найдем необходимое в равновесии отношение цен
p 2
• Согласно условию индивидуальной рациональности
потребителя А, набор
x
A
должен быть решением
задачи максимизации его полезности при ценах
Æ
x
A
и
p
p .
должны удовлетворять условию:
A
p 1
x
= MRS12 A = 2 A
p 2
3x1
x A =( 2,1)
1
=
6
Теперь найдем необходимые трансферты Î
Рассмотрим уравнение бюджетного ограничения для
потребителя А с учетом трансферта:
p 1 x1 A + p 2 x2 A = p 1ω1A + p 2ω2A + T A
Разделим это уравнение на
p 1 , и подставим p 2
=
6
p 1
A
x1 + 6 x2 = ω + 6ω + T p1
A
A
A
1
Теперь подставим в уравнение
2 + 6 ⋅1 = 6 + 6 ⋅1 + T
A
A
2
x A = ( 2,1)
и
ω = ( 6,1)
A
p1 → T A = −4 p1
Трансферты должны быть сбалансированы:
T B = −T A
Существование равновесия
Рассмотрим пример:
• экономика 2x2, предпочтения строго монотонны и строго
выпуклы.
• товар 2 – товар-измеритель (p2 = 1)
• в равновесии по Вальрасу рынок каждого товара должен
быть уравновешен = совокупный избыточный спрос на
каждый товар должен равняться нулю.
• Рассмотрим совокупный избыточный спрос на товар 1.
– Предпочтения обоих агентов строго монотонны:
– При p1 → 0, x1A, x1B→ ¶ и z1 → ¶
– При p1 → ¶, x1A, x1B→ 0 и z1 → – ω1A – ω1B =
−ω1
z1(p1, p2 =1)
0
−ω1
В равновесии необходимо, чтобы
совокупный избыточный спрос на
каждое благо был равен нулю…
…а это гарантировано, если
функции совокупного
избыточного спроса
p1
на каждое благо
непрерывны.
NB: это достаточное, но не необходимое условие.