Общее равновесие в экономике c двумя потребителями, двумя

Ю.В.Автономов
НИУ ВШЭ, факультет экономики, 2014
Общее равновесие в экономике c
двумя потребителями, двумя товарами
и производством: Парето-оптимальные
состояния и равновесия
Предпосылки и графическая иллюстрация модели
Парето-оптимальные состояния: определение, необходимое
условие
Равновесие по Вальрасу: определение
Закон Вальраса
I и II теоремы экономики благосостояния
Предпосылки модели
• Два блага (1 и 2), два потребителя (A и B) с
функциями полезности UA(x1A,x2A), UB(x1B,x2B)
• Первоначальные запасы благ у потребителей:
ω1A, ω2A, ω1B, ω2B
• Одна фирма-ценополучатель, производящая
благо 2 из блага 1 по технологии y2 = f(x1), где y2
– выпуск блага 2, x1 – затраты блага 1.
• Прибыль фирмы распределяется между
потребителями в долях ΘA, ΘB.
Допустимые состояния
• Состояние экономики («распределение»):
(x1A, x2A, x1B, x2B, x1, y2)
• Будем называть допустимыми те состояния,
для которых:
 x1 A  x1B  x1  1 A  1B
 A
B
A
B
 x2  x2  2  2  y2
 y  f (x )
1
 2
Парето-оптимальные состояния
Будем называть состояние ( x1 , x2 , x1 , x2 , x1 , y 2 )
A
A
B
B
Парето-оптимальным, если не существует
другого допустимого состояния
A
A
B
B
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
( x1 , x2 , x1 , x2 , xˆ1 , yˆ 2 ) такого, что:
B
B
B
B
B
B
A
A
A
A
A
ˆ
ˆ


U
(
,
)
(
,
x
x

U
x
x
ˆ
ˆ


U ( x1 , x2 )  U ( x1 , x2 ) ,
1
2
1
2 )
A
и хотя бы одно из этих неравенств строгое.
Экономика с двумя потребителями, двумя
благами и производством: графическая модель
Утверждение:
Если функции полезности и производственная
функция непрерывные и гладкие, а предпочтения
строго монотонны, необходимым условием
Парето-оптимальности внутренних состояний
экономики является:
Равновесие
Вектор цен ( p1 , p 2 ) и состояние (x 1 , x 2 , x 1 , x 2 , x 1 , y 2 )
составляют равновесие по Вальрасу в экономике с двумя
потребителями, двумя товарами и одной фирмой, если:
A
A
B
B
k
k
(1) Набор (x 1 , x 2 ) является решением задачи потребителя
k∈{A,B}:
(2) Комбинация ( x 1 , y 2 ) является решением задачи фирмы:
(3) Рынки товаров 1 и 2 уравновешены:
Равновесие: иллюстрация
Закон Вальраса
Если предпочтения потребителей таковы, что в
решении их задач максимизации полезности
бюджетные ограничения выполняются как
равенства, то при любых ценах, при которых
определен избыточный спрос, совокупная стоимость
избыточного спроса равна нулю:
p1 , p2
p1 z1 (p1 , p2 )  p2 z2 (p1 , p2 )  0
I теорема экономики благосостояния
Если вектор цен ( p1 , p 2 ) и состояние (x 1 , x 2 , x 1 , x 2 , x 1 , y 2 )
составляют равновесие по Вальрасу в экономике с двумя
потребителями, двумя товарами и одной фирмой...
A
A
B
B
A
A
B
B
...состояние (x 1 , x 2 , x 1 , x 2 , x 1 , y 2 ) оптимально по Парето.
II Теорема экономики благосостояния
Пусть в экономике с двумя потребителями, двумя
благами и одной фирмой производственная
функция и функции полезности непрерывные и
гладкие, предпочтения строго монотонны и
выпуклы а производственная функция вогнута.
Если внутреннее состояние (x 1A , x 2 A , x 1B , x 2 B , x 1 , y 2 )
является Парето-оптимальным...
…то найдется вектор цен
~
p
и вектор трансфертов
…такие, что
~p, ~x 
~
T
…
будет равновесием по Вальрасу
в экономике, где доходы потребителей имеют
вид:
k
k
k



I  p    ( p)  T
k
~k
T  0
M
причем
k 1
Рассмотрите экономику с двумя потребителями, двумя
благами и одной фирмой. Предпочтения потребителей
представимы функциями полезности:
U ( x1 , x2 )  3 x2  x1 , U ( x1 , x2 )  2 x2  x1
A
A
A
A
A
B
B
B
B
Начальные запасы благ составляют (1, 3) и (2, 3), а
технология фирмы позволяет произвести из единицы
первого блага две единицы второго. Найдите и
изобразите графически множество Паретооптимальных распределений.
B