Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè, 2011-12 ó÷. ãîä. Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè Àëãåáðà è àíàëèç

Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè, 2011-12 ó÷. ãîä.
Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè
Àëãåáðà è àíàëèç
Çàäà÷è ïî ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå
È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ)
Äëÿ óñïåøíîãî îñâîåíèÿ òåìû ¾Îñíîâû ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè¿ ñòóäåíò äîëæåí óìåòü
ðåøàòü âñå ïåðå÷èñëåííûå íèæå çàäà÷è.
Ðàçäåë II
Íàø äîëã íåêîòîðîìó áàíêó ñîñòàâëÿåò 50000 ðóáëåé, ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ýòîãî
êðåäèòà ñîñòàâëÿåò 12% ãîäîâûõ. Â êîíöå ãîäà ìû âíåñëè â áàíê 20000 ðóáëåé, â êîòîðûå
âõîäÿò è ïîãàøåíèå ïðîöåíòîâ ïî êðåäèòó çà ýòîò ãîä, è ÷àñòè÷íîå ïîãàøåíèå òåëà êðåäèòà.
Êàêóþ ñóììó ìû çàïëàòèëè â ñ÷¼ò ïîãàøåíèÿ ïðîöåíòîâ? Êàêóþ ñóììó ìû çàïëàòèëè â
ñ÷¼ò ïîãàøåíèÿ òåëà êðåäèòà? Êàêóþ ñóììó ìû äîëæíû áàíêó íà íà÷àëî ñëåäóþùåãî ãîäà?
Çàäà÷à 1.
×åëîâåê ñîáèðàåòñÿ âçÿòü êðåäèò 30.000 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ. Ñîãëàñíî
óñëîâèþ êðåäèòà, åãî åæåãîäíûå âûïëàòû (êðîìå, ìîæåò áûòü, ïîñëåäíåãî ãîäà âûïëàò)
ñîñòàâëÿþò 5000 (òàêèå ïëàòåæè îáû÷íî íàçûâàþò àííóèòåòíûìè). Çàïîëíèòå òàáëèöó äàííûõ ïîãàøåíèÿ êðåäèòà. (Òàáë. 1.) Ñêîëüêî ëåò çàéì¼ò ïîãàøåíèå êðåäèòà? Êàêóþ ÷àñòü
âûïëàò ñîñòàâëÿþò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó â ïåðâûé ãîä âûïëàò? Âî âòîðîé? Â òðåòèé? Â
ïðåäïîñëåäíèé?
Çàäà÷à 2.
Ñóììà
êðåäèòà
30000
28000
25800
Åæåãîäíàÿ
âûïëàòà
5000
5000
Ïðîöåíòû ïî êðåäèòó
Ïîãàøåíèå
êðåäèòà
òåëà
0.1 × 30000 = 3000
0.1 × 28000 = 2800
5000 − 3000 = 2000
5000 − 2800 = 2200
Òåëî êðåäèòà íà íà÷àëî ñëåäóþùåãî ãîäà
30000 − 2000 = 28000
28000 − 2200 = 25800
Òàáëèöà 1: Ñõåìà âûïëàò (àííóèòåòíûå ïëàòåæè)
×åëîâåê ñîáèðàåòñÿ âçÿòü êðåäèò 100.000 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ. Ñîãëàñíî
óñëîâèþ êðåäèòà, åãî åæåãîäíûå âûïëàòû (êðîìå, ìîæåò áûòü, ïîñëåäíåãî ãîäà âûïëàò)
ñîñòàâëÿþò 20000. Ñîñòàâüòå è çàïîëíèòå òàáëèöó äàííûõ ïîãàøåíèÿ êðåäèòà, àíàëîãè÷íóþ òàáëèöå èç çàäà÷è 32. Ñêîëüêî ëåò çàéì¼ò ïîãàøåíèå êðåäèòà? Êàêóþ ÷àñòü âûïëàò
ñîñòàâëÿþò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó â ïåðâûé ãîä âûïëàò? Âî âòîðîé? Â òðåòèé? Â ïðåäïîñëåäíèé?
Çàäà÷à 3.
Íàø äîëã íåêîòîðîìó áàíêó ñîñòàâëÿåò 50000 ðóáëåé, ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ýòîãî
êðåäèòà ñîñòàâëÿåò 12% ãîäîâûõ. Â êîíöå ãîäà ìû âíåñëè â áàíê 10000 ðóáëåé â ñ÷¼ò ïîãàøåíèÿ òåëà êðåäèòà, êðîìå òîãî ìû äîëæíû îïëàòèòü ïðîöåíòû ïî êðåäèòó çà ýòîò ãîä.
Êàêóþ ñóììó ìû çàïëàòèëè â ñ÷¼ò ïîãàøåíèÿ ïðîöåíòîâ? Êàêóþ ñóììó ìû çàïëàòèëè â
îáùåé ñëîæíîñòè? Êàêóþ ñóììó ìû äîëæíû áàíêó íà íà÷àëî ñëåäóþùåãî ãîäà?
Çàäà÷à 4.
1
È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ)
×åëîâåê ñîáèðàåòñÿ âçÿòü êðåäèò 30.000 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ. Ñîãëàñíî óñëîâèþ êðåäèòà, åãî åæåãîäíûå âûïëàòû ïî ïîãàøåíèþ òåëà êðåäèòà ñîñòàâëÿþò 3000 ðóáëåé,
êðîìå ýòîãî îí âûïëà÷èâàåò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó (òàêèå ïëàòåæè îáû÷íî íàçûâàþò äèôôåðåíöèðîâàííûìè). Çàïîëíèòå òàáëèöó äàííûõ ïîãàøåíèÿ êðåäèòà. (Ñì. òàáë. 2.) Ñêîëüêî
ëåò çàéì¼ò ïîãàøåíèå êðåäèòà? Êàêóþ ÷àñòü âûïëàò ñîñòàâëÿþò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó â
ïåðâûé ãîä âûïëàò? Âî âòîðîé? Â òðåòèé? Â ïðåäïîñëåäíèé?
Çàäà÷à 5.
Ñóììà
êðåäèòà
30000
27000
24000
Ïîãàøåíèå òåëà
êðåäèòà
3000
3000
Ïðîöåíòû ïî êðåäèòó
Ñóììà âûïëàò çà
ãîä
0.1 × 30000 = 3000
0.1 × 27000 = 2700
3000 + 3000 = 6000
3000 + 2700 = 5700
Òåëî êðåäèòà íà íà÷àëî ñëåäóþùåãî ãîäà
30000 − 3000 = 27000
27000 − 3000 = 24000
Òàáëèöà 2: Ñõåìà âûïëàò (äèôôåðåíöèðîâàííûå ïëàòåæè)
×åëîâåê ñîáèðàåòñÿ âçÿòü êðåäèò 100.000 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ. Ñîãëàñíî
óñëîâèþ êðåäèòà, åãî åæåãîäíûå âûïëàòû ïî ïîãàøåíèþ òåëà êðåäèòà ñîñòàâëÿþò 10000
ïëþñ ïðîöåíòû ïî êðåäèòó. Ñîñòàâüòå è çàïîëíèòå òàáëèöó äàííûõ ïîãàøåíèÿ êðåäèòà,
àíàëîãè÷íóþ òàáëèöå èç çàäà÷è 40. Ñêîëüêî ëåò çàéì¼ò ïîãàøåíèå êðåäèòà? Êàêóþ ÷àñòü
âûïëàò ñîñòàâëÿþò ïðîöåíòû ïî êðåäèòó â ïåðâûé ãîä âûïëàò? Âî âòîðîé? Â òðåòèé? Â
ïðåäïîñëåäíèé?
Çàäà÷à 6.
Ìû áåð¼ì êðåäèò 40.000$ ïîä 10% ãîäîâûõ ñ óñëîâèåì ïîñòîÿííîé âûïëàòû
5.000$ åæåãîäíî (âêëþ÷àÿ ïðîöåíòû). Ðàññ÷èòàéòå, ÷åðåç ñêîëüêî ëåò ìû âûïëàòèì âåñü
êðåäèò.
Çàäà÷à 7.
Ðàçäåë III
Ñòàâêà âêëàäà ¾Íîðìàëüíûé¿ ñîñòàâëÿåò 5% â ãîä.
Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 2 ãîäà?
Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 5 ëåò?
Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 10 ëåò?
Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 12 ëåò?
Ñêîëüêî íóæíî ïîëîæèòü â áàíê ñåé÷àñ, ÷òîáû ÷åðåç 5 ëåò ïîëó÷èòü 100 ðóáëåé?
Ñêîëüêî íóæíî ïîëîæèòü â áàíê ñåé÷àñ, ÷òîáû ÷åðåç 15 ëåò ïîëó÷èòü 100 ðóáëåé?
Çàäà÷à 8.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Ñòàâêà âêëàäà ¾Åæåìåñÿ÷íûé¿ ñîñòàâëÿåò 1% â ìåñÿö.
Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç 2 ìåñÿöà?
Êàêóþ ñóììó ïîëó÷èò ÷åëîâåê, âëîæèâøèé 100 ðóáëåé ÷åðåç ïîëãîäà?
Êàêóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó â ãîäîâîì èñ÷èñëåíèè äà¼ò âêëàä ¾Åæåìåñÿ÷íûé¿?
Êòî ïîëó÷èò áîëüøå: ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé íà ãîä íà âêëàä åæåìåñÿ÷íûé
èëè ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé ïîä 10% ãîäîâûõ?
Êòî ïîëó÷èò áîëüøå: ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé íà ãîä íà âêëàä åæåìåñÿ÷íûé
èëè ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé ïîä 12% ãîäîâûõ?
Çàäà÷à 9.
a.
b.
c.
d.
e.
ÂØÝ, 2011-12, ¾Àëãåáðà è àíàëèç¿
2
È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ)
f. Êòî ïîëó÷èò áîëüøå: ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé íà ãîä íà âêëàä åæåìåñÿ÷íûé
èëè ÷åëîâåê, ïîëîæèâøèé 100 ðóáëåé ïîä 13% ãîäîâûõ?
Çàäà÷à 10.
ñòàâêó 24%?
Çàäà÷à 11.
ñòàâêó 15%?
Çàäà÷à 12.
200 ðóáëåé?
Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ íóæíî íà÷èñëÿòü åæåìåñÿ÷íî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ãîäîâóþ
Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ íóæíî íà÷èñëÿòü åæåìåñÿ÷íî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ãîäîâóþ
Ñêîëüêî äåíåã íóæíî âëîæèòü ïîä 15% ãîäîâûõ, ÷òîáû ÷åðåç ïÿòü ëåò ïîëó÷èòü
Îïðåäåëåíèå 1.
Ïóñòü ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ñîñòàâëÿåò
i ïðîöåíòîâ â ãîä. Òîãäà n ðóá-
n
ëåé, ïîëó÷åííûå ÷åðåç ãîä, ìû áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè 1+i/100
ðóáëåé ñåãîäíÿ. Åñëè ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà íå ìåíÿåòñÿ â òå÷åíèå k ëåò, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî n ðóáëåé, ïî-
ëó÷åííûå ÷åðåç
k ëåò, ðàâíûìè
n
ðóáëåé ñåãîäíÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî n ðóáëåé,
(1+i/100)k
ïîëó÷åííûå ÷åðåç k ëåò ïðè äåéñòâóþùåé ïðîöåíòíîé ñòàâêå i ïðîöåíòîâ â ãîä, ïðèâån
ä¼ííûå ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ, ñîñòàâëÿþò (1+i/100)
k ðóáëåé.
Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ñîñòàâëÿåò 15% ãîä. ×åìó ñîîòâåòñòâóåò ïëàò¼æ 200 ðóáëåé
÷åðåç ïÿòü ëåò, ïðèâåä¼ííûé ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ? Ñðàâíèòå ñ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è 12.
Çàäà÷à 13.
Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ñîñòàâëÿåò 10% ãîäîâûõ. Ñêîëüêî íóæíî âåðíóòü äåíåã
÷åëîâåêó, çàíÿâøåìó 100 ðóáëåé íà òðè ãîäà? Âñå ïëàòåæè, âêëþ÷àÿ ïðîöåíòû, âûïëà÷èâàþòñÿ åäèíîâðåìåííî, ïî îêîí÷àíèè òð¼õ ëåò. Çàïèøèòå ïîëó÷åííîå ðåøåíèå â òåðìèíàõ
ïëàòåæåé, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ.
Çàäà÷à 14.
Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ïî êðåäèòó â áàíêå ñîñòàâëÿåò 15% ãîäîâûõ. Ôèðìà áåð¼ò
êðåäèò â 100 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Ïåðâûé òðàíø ôèðìà ïîëó÷àåò â ìîìåíò âçÿòèÿ êðåäèòà, îí
ñîñòàâëÿåò 60 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Âòîðîé òðàíø ôèðìà ïîëó÷àåò ÷åðåç äâà ãîäà, îí ñîñòàâëÿåò
40 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Âåðíóòü êðåäèò ôèðìà îáÿçóåòñÿ ÷åðåç ïÿòü ëåò ïîñëå âçÿòèÿ êðåäèòà, ïðîöåíòû ïî êðåäèòó âûïëà÷èâàþòñÿ òîãäà æå. Ñêîëüêî äåíåã äîëæíà ôèðìà âåðíóòü
áàíêó? Çàïèøèòå ïîëó÷åííîå ðåøåíèå â òåðìèíàõ ïëàòåæåé, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó
äíþ.
Çàäà÷à 15.
Çàäà÷à 16. Ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ïî êðåäèòó ñîñòàâëÿåò 10% ãîäîâûõ. Ôèðìà áåð¼ò êðåäèò
â 100 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Ïåðâûé òðàíø ôèðìà ïîëó÷àåò â ìîìåíò âçÿòèÿ êðåäèòà, îí ñîñòàâëÿåò 60 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Âòîðîé òðàíø ôèðìà ïîëó÷àåò ÷åðåç äâà ãîäà, îí ñîñòàâëÿåò
40 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Âåðíóòü êðåäèò ôèðìà îáÿçóåòñÿ ÷åðåç ïÿòü ëåò ïîñëå âçÿòèÿ êðåäèòà, ïðîöåíòû ïî êðåäèòó âûïëà÷èâàþòñÿ åæåãîäíî. Ñêîëüêî äåíåã äîëæíà âåðíóòü ôèðìà
áàíêó? Çàïèøèòå âñå äåéñòâèÿ â òåðìèíàõ ïëàòåæåé, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ.
Ôèðìà ïîëó÷èëà â áàíêå êðåäèò íà 100 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Ïî óñëîâèþ êðåäèòà,
ôèðìà âåðíóëà êðåäèò ÷åðåç ÷åòûðå ãîäà, ïëàò¼æ âìåñòå ñ ïðîöåíòàìè ñîñòàâèë 146410 äîëëàðîâ. Ïîä êàêèå ïðîöåíòû áûë âçÿò êðåäèò? Çàïèøèòå âñå äåéñòâèÿ â òåðìèíàõ ïëàòåæåé,
ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ.
Çàäà÷à 17.
Îïðåäåëåíèå 2.
Ýôôåêòèâíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêîé ïî êðåäèòó íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ïðî-
öåíòíàÿ ñòàâêà, ïðè êîòîðîé ñóììà âñåõ äåíåæíûõ ïîòîêîâ, ïðèâåä¼ííûõ ê ñåãîäíÿøíåìó äíþ, ðàâíà íóëþ. Ïîëó÷åííûå äåíüãè ñ÷èòàþòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, îòäàííûå ñî çíàêîì
ìèíóñ.
ÂØÝ, 2011-12, ¾Àëãåáðà è àíàëèç¿
3
È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ)
Ôèðìà ïîëó÷èëà â áàíêå êðåäèò íà 100 òûñÿ÷ äîëëàðîâ. Ïî óñëîâèþ êðåäèòà,
ôèðìà âåðíóëà êðåäèò ÷åðåç ÷åòûðå ãîäà, ïëàò¼æ âìåñòå ñ ïðîöåíòàìè ñîñòàâèë 146410
äîëëàðîâ. Íàéäèòå ýôôåêòèâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó. Ñðàâíèòå ñ ðåøåíèåì çàäà÷è 17.
Çàäà÷à 18.
Áàíê îáÿçàëñÿ îïëàòèòü ñòóäåíòó äâóõëåòíåå îáó÷åíèå íà ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ:
çà ïåðâûé ãîä âûïëà÷èâàåòñÿ 5.000$, çà âòîðîé 7.000$, à ïî îêîí÷àíèè äâóõ ëåò ñòóäåíò
äîëæåí âåðíóòü áàíêó 15.000$. Íàéäèòå ýôôåêòèâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó áàíêà.
Çàäà÷à 19.
Íà ðàçâèòèå áèçíåñà ôèðìà âçÿëà â áàíêå 40.000$, à çàòåì ÷åðåç ãîä åù¼ 20.000$.
Åù¼ ÷åðåç ãîä ôèðìà âåðíóëà áàíêó 66.000$. Êàêîâà ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó ïî
ýòîìó êðåäèòó?
Çàäà÷à 20.
Áàíê îáÿçàëñÿ îïëàòèòü ñòóäåíòó äâóõëåòíåå îáó÷åíèå íà ñëåäóþùèõ óñëîâèÿõ:
çà ïåðâûé ãîä âûïëà÷èâàåòñÿ 7.000$, çà âòîðîé 10.000$, à ïî îêîí÷àíèè äâóõ ëåò ñòóäåíò
äîëæåí âåðíóòü áàíêó 20.000$. Êàêîâà ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà ïî ýòîìó êðåäèòó?
Çàäà÷à 21.
Äîïîëíèòåëüíûå çàäàíèÿ
Íàó÷èòüñÿ çàïîëíÿòü òàáëèöû èç çàäà÷ 2 è 5 ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû Microsoft
Excel (èëè ñ ïîìîùüþ å¼ àíàëîãà).
Çàäàíèå 1.
Íàó÷èòüñÿ èñêàòü ýôôåêòèâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó ïðè ïîìîùè ïðîãðàììû
Excel. Äëÿ ýòîãî èçó÷èòå ôèíàíñîâûå ôóíêöèè ÂÑÄ è/èëè ×ÈÑÒÂÍÄÎÕ (â àíãëîÿçû÷íîé
âåðñèè XIRR).
Çàäàíèå 2.
Âçÿòü óñëîâèÿ êðåäèòà â ëþáîì áàíêå, óçíàòü î äîïîëíèòåëüíûõ ïëàòåæàõ
èëè ïîïðîñèòü ðàñïèñàòü ñõåìó âûïëàò. Íàéòè ýôôåêòèâíóþ ïðîöåíòíóþ ñòàâêó. Â ðàáîòå
íåîáõîäèìî óêàçàòü âñå èñòî÷íèêè èñïîëüçîâàííîé èíôîðìàöèè. Íå áåðèòåñü çà ýòî çàäàíèå, íå íàó÷èâøèñü ïîëüçîâàòüñÿ ôèíàíñîâûìè ôóíêöèÿìè Excel èëè äðóãîé ïðîãðàììû,
âû÷èñëåíèå ýôôåêòèâíîé ïðîöåíòíîé ñòàâêè ¾âðó÷íóþ¿ ñëîæíàÿ è íå âñåãäà ðåøàåìàÿ
çàäà÷à, òðåáóþùàÿ áîëüøèõ âû÷èñëåíèé.
Çàäàíèå 3.
ÂØÝ, 2011-12, ¾Àëãåáðà è àíàëèç¿
4