41

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Ãëàäêàÿ íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü êëèíà ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòîì óãîë α . Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó óñêîðåíèÿ êëèíà a1 .
Ïîä êàêèì óãëîì β ê ãîðèçîíòó äâèæåòñÿ øàéáà? Íàéäèòå
ñèëó äàâëåíèÿ F øàéáû íà êëèí. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ ðàâíî g.
Îáñóäèì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è.
Ïåðâûé ñïîñîá
Âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó êëèí – øàéáà,
íàïðàâëåíû òîëüêî ïî âåðòèêàëè (ðèñ.4). Ñëåäîâàòåëüíî,
èìïóëüñ ñèñòåìû â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñîõðàíÿåòñÿ:
Mv1x + mv2 x = 0 .
y
α
mg
x
Mg
Ðèñ. 4
y
u
α
v
x
Ðèñ. 5
Îòñþäà äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè ïîëó÷àåì
Ma1x + ma2 x = 0 .
H
Ñêîðîñòü øàéáû v2 â
ËÑÎ, ñêîðîñòü øàéáû
H
u îòíîñèòåëüíî êëèíà
H
è ñêîðîñòü êëèíà v1 â
ËÑÎ ñâÿçàíû çàêîíîì
ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé
(ðèñ.5):
H
H
H
v2 = v1 + u ,
òàê ÷òî
v2 x = v1x - u cos α ,
v2 y = -u sin α .
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ v2x â âûðàæåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, íàõîäèì
m+M
u = v1x
.
m cos α
Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àåì
m+M
v2 y = -v1x
tg α ,
m
m+M
a2 y = -a1x
tg α .
m
Äàëåå îáðàòèìñÿ ê ýíåðãåòè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì. Ïîñêîëüêó ñèëû òðåíèÿ îòñóòñòâóþò, ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû êëèí – øàéáà ñîõðàíÿåòñÿ:
2
Mv12x
mv22x mv2 y
+ mgy +
+
= mgh ,
2
2
2
ãäå áóêâîé h îáîçíà÷åíà ó-êîîðäèíàòà øàéáû ïðè t = 0.
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì
Mv1xa1x + mgv2 y + mv2 x a2 x + mv2 ya2 y = 0 .
Ïîäñòàíîâêà â ýòî ñîîòíîøåíèå ïîëó÷åííûõ âûøå âûðàæåíèé äëÿ v2 x , v2 y , a2 x , a2 y ïðèâîäèò (ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà
v1x ) ê îòâåòó íà âîïðîñ îá óñêîðåíèè êëèíà:
1 m sin 2α
g.
2 M + m sin 2 α
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà β çàìåòèì, ÷òî â ËÑÎ øàéáà
äâèæåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ,
òàê ÷òî åå ïåðåìåùåíèå çà ëþáîé Hïðîìåæóòîê âðåìåíè
ñîíàïðàâëåíî ñ âåêòîðîì óñêîðåíèÿ a2 , òîãäà
a1x =
β = arctg
a2 y
æm + M
ö
= arctg ç
tg α÷ .
a2 x
è M
ø
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
41
Ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû äàâëåíèÿ F øàéáû íà
êëèí (ñì. ðèñ.4) ñîîáùàåò êëèíó óñêîðåíèå a1x . Ïî âòîðîìó
çàêîíó Íüþòîíà,
Ma1x = F sin α .
Îòñþäà íàõîäèì ñèëó äàâëåíèÿ:
Mm cos α
F =
g.
M + m sin2 α
Âòîðîé ñïîñîá
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèÿ êëèíà ðàññìîòðèì äâèæåíèå
êàæäîãî èç òåë. Ñèëû, ïðèëîæåííûå ê òåëàì, óêàçàíû íà
ðèñóíêå 4. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ êëèíà:
H
H
H H
Ma1 = Mg + F + R
è äëÿ øàéáû:
H
H
H
ma2 = mg + N .
Ïåðåõîäÿ ê Hïðîåêöèÿì
ñèë è óñêîðåíèé íà îñè ËÑÎ ñ ó÷åòîì
H
ðàâåíñòâà F = - N , ïîëó÷àåì
Ma1x = N sin α ,
ma2 x = - N sin α ,
ma2 y = mg - N cos α .
H
H
Ñêîðîñòü v2 øàéáûH â ËÑÎ, ñêîðîñòü u øàéáû îòíîñèòåëüíî
êëèíà è ñêîðîñòü v1 êëèíà â ËÑÎ ñâÿçàíû çàêîíîì ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé:
H
H
H
v2 = v1 + u .
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî âðåìåíè, íàõîäèì ñâÿçü
ñîîòâåòñòâóþùèõ óñêîðåíèé:
H
H
H
a2 = a1 + w .
Èç òðåóãîëüíèêà óñêîðåíèé (ñì. òðåóãîëüíèê ñêîðîñòåé íà
ðèñóíêå 5) ñëåäóåò
a2 y
tg α =
a2 x - a1x .
Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîåêöèé
óñêîðåíèÿ øàéáû a2x è a2y , ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
a1x =
1 m sin 2α
g.
2 M + m sin 2 α
m
Çàäà÷à 4. Íà ãëàäêîé
ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñM
α
êîñòè ëåæèò êëèí ñ
óãëîì ïðè âåðøèíå α .
Íà ãëàäêîé íàêëîííîé Ðèñ. 6
ïëîñêîñòè êëèíà ëåæèò áðóñîê, ñâÿçàííûé ñ êëèíîì ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ k
(ðèñ.6). Ìàññà êëèíà Ì, ìàññà áðóñêà m. Íàéäèòå ïåðèîä
Ò ìàëûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû.
Ïðåäëàãàåì äâà ñïîñîáà ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ïåðâûé ñïîñîá
Âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó êëèí – áðóñîê,
íàïðàâëåíû òîëüêî ïî âåðòèêàëè (ðèñ.7). Ñëåäîâàòåëüíî,
èìïóëüñ ñèñòåìû â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñîõðàíÿåòñÿ:
Mv1 + mv2 x = 0 .
Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì
Mx1 + mx2 = 0 .