Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Вычислять

Тема 1. Предел и непрерывность функции
Уметь:
Вычислять пределы функций и числовых последовательностей,
используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы,
проводить сравнение бесконечно малых величин и замену их на
эквивалентные, определять порядок малости бесконечно малых величин,
исследовать функцию на непрерывность, определять точки разрыва функции
и их характер, строить схематичный график.
Вопросы:
1. Определения бесконечно малой и бесконечно большой величин при
x  x0 и x  . Графическая иллюстрация. Свойства б.м. и б.б. величин.
Теорема о связи б.м.в.и б.б.в.
2. Определения предела функции в точке и на бесконечности.
Геометрический смысл. Определение предела числовой последовательности.
3. Теоремы о пределах (особое внимание обратить на теорему
единственности предела, основную теорему о пределах: прямую и обратную,
теорему о «сжатой переменной»).
4. Формулы 1-го и 2-го замечательных пределов, следствия из них.
Какого вида неопределенности раскрывают эти пределы?
5. Как сравнить две бесконечно малые величины? Какие возможны
случаи? Что такое относительный порядок малости?
6. В каком случае бесконечно малые будут эквивалентны? Таблица
эквивалентных б.м.в. (знать наизусть 8 основных). Свойства (теоремы 1 и 2)
эквивалентных б.м.в.
7. Перечислить 7 видов неопределенностей.
8. Определение односторонних пределов функции в точке.
9. Сформулировать 4 определения непрерывности функции в точке.
10.Что такое разрыв функции в точке? Какие типы разрывов следует
различать?
11.Дать определения устранимого разрыва, неустранимых разрывов 1-го и
2-го рода. В чем их отличие? Уметь привести графические иллюстрацию.
12. Свойства функций непрерывных в точке.
13.Что такое непрерывность функции на интервале?
14. Теоремы о функциях, непрерывных в замкнутом промежутке:
Вейерштрасса, две теоремы Больцано-Коши. Графическая иллюстрация
теорем.
Тема 2. Производная функции одной переменной
Уметь: дифференцировать функции любого типа: сложные, заданные
параметрически,
показательно-степенные,
используя
правила
дифференцирования и таблицу производных, находить производные и
дифференциалы высших порядков, использовать производные для
вычисления пределов функций.
Входной контроль: Проверка умения дифференцировать без
использования таблицы, т.е. все правила дифференцирования и табличные
производные знать наизусть.
Вопросы :
1. Схема, приводящая к понятию производной. Определение
производной, ее геометрический, механический и физический смысл.
2. Дать понятие дифференцируемости функции в точке и на интервале.
Как связаны понятия "непрерывности" и "дифференцируемости" функции в
точке? Привести графические примеры функций, непрерывных, но не
дифференцируемых
в
точке.
Как
записывается
приращение
дифференцируемой функции? Уметь определить существует ли производная
какого-либо порядка в заданной точке. (Уметь вычислять значения
производной в точке)
3. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух
функций.
4. Правила дифференцирования сложной и обратной функций,
параметрически заданной функции.
5. Прием
логарифмического
дифференцирования.
Когда
он
применяется? Производная показательно-степенной функции (вывод
формулы)
6. Дифференциал функции как часть приращения функции.
Определение
дифференциала,
его
геометрический,
механический,
математический и физический смысл. Геометрический смысл дифференциала
функции в точке уметь показать на любом графике.
7. Формула вычисления дифференциала 1-го порядка.
8. Производные и дифференциалы высших порядков. Производная 2-го
порядка параметрически заданной функции. Обозначение производной как
отношение дифференциалов.
9. Теоремы о дифференцируемы функциях: сформулировать теоремы о
связи непрерывности и дифференцируемости функции в точке, Ферма,
Ролля, Лагранжа, Коши. Следствие из теоремы Ролля. Геометрический
смысл теорем Ферма, Ролля, Лагранжа. Формула конечных приращений.
10. Правило Лопиталя. К каким видам неопределенностей оно
применяется? Перечислить 7 видов неопределенностей.
11.Определение и уравнения касательной и нормали к кривой в данной
точке (для обычной функции и параметрически заданной).
Тема 3. Приложения производной
Необходимо знать:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Схему исследования функции на экстремум и нахождение
промежутков возрастания и убыванияю.
Схему исследования на выпуклость и вогнутость и определение
точек перегиба.
Схему нахождения вертикальных и наклонных асимптот
графика функции. Все частные случаи наклонных асимптот.
Схему полного исследования функции. Уметь использовать
полученные в ходе исследования результаты к построению
графика функции.
Находить наибольшее и наименьшее значения функции на
интервале.
Уметь использовать производные для составления уравнений
касательных и нормалей к кривым.
Вопросы :
1. Сформулируйте определения возрастающей и убывающей на
интервале функции.
2. Сформулируйте необходимое и достаточное условия возрастания и
убывания функции в интервале. Поясните их графически.
3. Что такое экстремум функции? Какие существуют виды
экстремумов?
4. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума
функции в точке. Критические точки. (Уметь нарисовать 3 вида максимумов
и минимумов, пояснить, в чем отличие). Приведите графические примеры
отсутствия экстремума в критической точке.
5. Сформулируйте 1-е и 2-е достаточные условия существования
экстремума.
6. Изложите подробную схему исследования функции на экстремум.
7. Изложите схему нахождения наибольшего и наименьшего значения
функции в интервале.
8. Дайте определения выпуклости и вогнутости кривой в интервале,
точек перегиба. Проиллюстрируйте геометрически.
9. Сформулируйте достаточные условия выпуклости и вогнутости
кривой в интервале.
10. Сформулируйте необходимое и достаточное условия существования
точек перегиба. Изложите схему отыскания точек перегиба.
11. Что называется асимптотой кривой? Укажите виды асимптот.
12. Изложите схему отыскания вертикальных асимптот.
13. Запишите уравнение наклонной асимптоты и формулы нахождения
параметров этого уравнения. Какие возможны частные случаи? В каких
случаях можно говорить об отсутствии у кривой наклонной асимптоты?
На повышенную оценку: по графику функции уметь построить
схематично графики первой и второй производной.
Тема 4. Функции нескольких переменных
Уметь:
Находить частные производные функций нескольких переменных
различных типов, сложные, неявные, находить полный и частные
дифференциалы функции нескольких переменных, частные производные
высших порядков, дифференциал 2-го порядка, проводить исследование на
экстремум функции двух переменных, составлять уравнение касательной
плоскости и нормали к поверхности, находить вектор нормали касательной
плоскости.
Вопросы :
1. Дайте понятие функции двух независимых переменных, способы
задания, область определения такой функции. Что является графиком
функции двух переменных?
2. Дайте определение непрерывности функции двух независимых
переменных в точке и в области. Какие бывают виды окрестностей точки на
плоскости. Приведите примеры разрывных функций.
3. Сформулируйте определение частных производных функции двух
независимых переменных по каждой из них. В чем состоит геометрический
смысл частных производных функции. Уметь нарисовать.
4. Сформулируйте определение частного приращения и частного
дифференциала функции. Определение полного приращения и полного
дифференциала.
5. Как
находятся
частные
производные
высшего
порядка?
Сформулируйте
условия
равенства
смешанных
производных.
Дифференциалы высших порядков и формулы их нахождения.
6. Дайте понятие сложной функции нескольких переменных. Запишите
формулы дифференцирования сложной функции (3 случая). Запишите
формулы дифференцирования неявно заданной функции (2 случая) .
7. Что такое касательная плоскость и нормаль к поверхности? Запишите
уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной
уравнением в S : F ( x; y; z) = 0 и S : z = f ( x; y) . Cформулируйте определение
экстремума функции двух переменных.
8. Экстремум функции двух независимых переменных. Необходимые и
достаточные условия существования экстремума функции двух переменных
(теорема о достаточных условиях).