ДР. ФР. ДСвектор. (1)

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Мы уже видели, что для многих экспериментов нет
никаких различий в подсчёте вероятностей
событий, тогда как элементарные исходы в этих
экспериментах
очень
различаются.
С
вероятностью 0,5 при броске монеты выпадает
герб, на игральной кости — чётное число очков,
точка падает на левую половину отрезка, вынутая
из колоды карта оказывается красной и т. д. Во
всех таких «похожих» экспериментах будем для
обозначения элементарных исходов использовать
числа. Иначе говоря, каждый элементарный исход
заменим действительным числом, не обязательно
уникальным, и будем работать только с числами.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Задано , , P
 
число   
  выпало три очка на игральной кости
    3
Т.е.  : 
функция из «омега» в «эр»
Можно сопоставить  несколько чисел. Тогда
будет задана векторная функция.
    1 (), 2 (),...,  n ()  случайный
вектор
Нас может интересовать:
P  : ()  x  P    x 
P  : x1  ()  x2   P  x1    x2 
P  : ()  x  P    x 
и т.д.
P   
 : ()   ∈
В аксиоматике А.Н. Колмогорова требуется, чтобы события


вида  : ()  x для любого x принадлежали
Далее будем считать это условие выполненным.
Опр. Случайной величиной (СВ) над вероятностным
пространством , , P называется функция
:
такая, что
x
P  : ()  x  P    x 
.
F  x   P    x  , x   функция распределения
СВ 
ПРИМЕР 1. Подбрасывают один раз правильную
игральную кость. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Определим следующие случайные величины:
1) ξ(ω) = ω: эта случайная величина равна числу
выпавших на кости очков
2) η(ω) = 1, если ω = 2, 4, 6, иначе η(ω) = 0: эта случайная
величина служит индикатором того, что на кости
выпало чётное число очков. Если выпало четное, то она
становится равна единице, а если нечетное — нулю.
Случайная величина ξ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5,
6 с вероятностями по одной шестой каждое. Например,
ξ = 1, когда на кости выпало одно очко, т. е. с
вероятностью 1/6.
Можно записать соответствие между значениями
случайной величины ξ и вероятностями принимать эти
значения в виде таблицы распределения вероятностей
или, коротко, таблицы распределения (ряда
распределения):
ξ
P
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
В первой строке таблицы перечислены значения
случайной величины ξ, во второй строке —
вероятности, с которыми она принимает эти значения:
P (ξ = 1) = P (ξ = 2) = . . . = P (ξ = 6) = 1/6.
Для случайной величины η таблица распределения
выглядит так: P (η = 0) = P (выпало 1, 3 или 5 очков) =
0,5; P (η = 1) = P (выпало 2, 4 или 6 очков) = 0,5.
η
P
0
1/2
1
1/2
ПРИМЕР 2. Стержень длиной 5 см ломается на две
части в наудачу выбранном месте. Длину каждого из
полученных обломков можно считать случайной
величиной, принимающей любые значения из отрезка
[0, 5].
Если ξ — длина левой части стержня, то
η = 5 − ξ — длина правой.
Пользуясь геометрической вероятностью, мы можем
вычислить вероятности различных событий, связанных
со случайными величинами ξ и η.
1
Например, P 1    2    0, 2 — вероятность
5
того,
что
длина
окажется от 1 до 2 см
левой
части
2
P    3   0, 4 вероятность правому обломку
5
быть длиннее 3 см,
0
P    2    0 вероятность поделить стержень
5
на
в 2 и 3 см длиной,
P    6  0
части
—
вероятность
ровно
невозможного
события.
ПРИМЕР 3. Правильная монета подбрасывается 10 раз.
Случайная величина 10 равна количеству выпавших
гербов.
Эта случайная величина принимает целые значения от
0 до 10.
Можно записать все вероятности по формуле Бернулли:
для k = 0, 1, . . . , 10
P  10  k   С10k 0.510
Из-за симметрии монеты число выпавших решек имеет
такое же распределение.
ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
дискретное ВП :
  конечное или счетное
,
,P
 множество всех подмножеств 
т.е. любое подмножество является событием
 P  i   0

 P    1
i

i
P  A :  P  i 
i A
:
X  дискретное числовое
множество
( множество возможных значений СВ )
X   x1 , x2 ,..., xi ,..., xn , n  
xi  X cуществует событие : ()  xi 
События  : ()  xi , i  1,2,..., n; n  
образуют полную группу
P    xi  

i :  xi 
P  i 
n
  P    xi   1
i 1
 P    xi  
P  i  



i :    xi 
 n
  дискретное
 P    xi   1

 i 1

распределение вероятностей СВ 
Случайные величины из примеров 1 и 3 имеют
дискретное распределение
Любое правило, позволяющее вычислить вероятность
P      называется законом распределения СВ 
P        P    xi 
xi А
F  x  0   P    x   F ( x)
P    x   P    x   P    x   F  x  0   F ( x)
F  x    pi , где pi  P    xi 
i:xi  x
матрица распределения
объединение попарно несовместных событий 