Спектр атома водорода

Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ è èçëó÷åíèÿ I
Ð.Í. Ëè
25 ÿíâàðÿ 2011 ã.
Ñîäåðæàíèå
I
1
2
3
Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà
1
Ââåäåíèå
2
Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà
2
2.1
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå
4
2.3
Ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5
Íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.6
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà è ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Óðàâíåíèå Äèðàêà
8
3.1
Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Ïëîñêèå âîëíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Ïàðàäîêñ Êëåéíà
3.4
Ìîðå Äèðàêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.5
Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Äèðàêà
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.6
Ëîðåíö-êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Äèðàêà
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.7
Íåðåëÿòèâèñòñêîå ðàçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.8
Äâèæåíèå ñïèíà âî âíåøíåì ïîëå.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1
Ïðåöåññèÿ Òîìàñà.
3.8.2
Âûðàæåíèå 4-âåêòîðà ñïèíà ÷åðåç âîëíîâûå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ñïèðàëüíîñòü
3.9.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Êèðàëüíîñòü. Ñîõðàíåíèå ñïèðàëüíîñòè â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ðàññåÿíèè . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå.
9
10
16
17
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.10.1 Ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1
×àñòü I
Ðåëÿòèâèñòñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà
1
Ââåäåíèå
Âñïîìíèì, êàê âûãëÿäèò ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Óðîâíè ýíåðãèè èìåþò âèä
2
m Ze2
En = −
2}2 n2
Ñîîòâåòñòâåííî, íà ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàþòñÿ ïåðåõîäû ìåæäó ýòèìè óðîâíÿìè ñ ÷àñòîòàìè
m Ze2
En − En0
ν=
=
2π}
4π}3
2 1
1
− 2
02
n
n
Ñàìûå ðàííèå ýêñïåðèìåíòû ïî èçìåðåíèþ ñïåêòðà àòîìà âîäîðîäà
è îäíîçàðÿäíîãî èîíà ãåëèÿ ñâèäåòåëüñòâîâàëè î òîì, ÷òî ó ýòèõ óðîâíåé åñòü òîíêàÿ ñòðóêòóðà, òî åñòü, ÷òî êàæäûé óðîâåíü (êðîìå ïåðâîãî)
ðàñùåïëåí íà íåñêîëüêî ïîäóðîâíåé ñ íåìíîãî ðàçëè÷íûìè ýíåðãèÿìè.
Âîîáùå, ýòà ñòðóêòóðà âïåðâûå áûëà îòêðûòà â îïûòàõ Ìàéêåëüñîíà åùå
â 1891 ãîäó, íî èçìåðèòü ðàñùåïëåíèå óäàëîñü Ïàøåíó (â îäíîçàðÿäíîì
èîíå ãåëèÿ) ÷åðåç ÷åòâåðòü âåêà. Êàê îêàçàëîñü, ýòî ðàñùåïëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì ðåëÿòèâèñòñêèõ ýôôåêòîâ è ïðåêðàñíî ñîãëàñóåòñÿ
ñ âû÷èñëåíèÿìè, âûïîëíåííûìè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Äèðàêà. Ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïîïûòêîé îáúåäèíèòü ïðèíöèïû êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Êàê
ìû óâèäèì äàëåå, ýòà ïîïûòêà îêàçàëàñü âåñüìà óñïåøíîé, íî òàêæå è
óêàçàëà íà îãðàíè÷åííîñòü îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè îäíî÷àñòè÷íîé èíòåðïðåòàöèè êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Èñòîðè÷åñêè âîëíîâàÿ ìåõàíèêà ñ ñàìîãî ìîìåíòà åãî ïîÿâëåíèÿ
áûëà ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèåé. Ñîçäàòåëè êâàíòîâîé ìåõàíèêè Ëóè äå
Áðîéëü è Ýðâèí Øðåäèíãåð áûëè ïðîíèêíóòû èäåÿìè ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Ñîãëàñíî Äèðàêó, Øðåäèíãåð ñíà÷àëà íàïèñàë ðåëÿòèâèñòñêèé âàðèàíò âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ, íî áûë ñìóùåí òåì, ÷òî èç
ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ íå ñîâïàäàþùàÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì òîíêàÿ
Îòêëîíåíèÿ óðîâíåé îò íåðåëÿòèâèñòñêèõ íåñêîëüêî
ïðåóâåëè÷åíû (â 1/α2 ≈ 20 000 ðàç)
ñòðóêòóðà ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé. Ê òîìó ìîìåíòó, êàê îí âñå æå ñîáðàëñÿ îïóáëèêîâàòü è ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå, îíî
áûëî âûâåäåíî Êëåéíîì è Ãîðäîíîì, à òàêæå íåçàâèñèìî ñîâåòñêèì ôèçèêîì Ôîêîì.
.
Ïðèìå÷àíèå îá èñïîëüçóåìîé ñèñòåìå åäèíèö
2
Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñîîòâåòñòâóåò ñâÿçè ìeæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì â íåðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå, òî åñòü, â äèñïåðñèîííîì çàêîíå (â óðàâíåíèè, ñâÿçûâàþùåì ýíåðãèþ è èìïóëüñ íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû) íóæíî
ñäåëàòü çàìåíó
E → i∂t ,
p → −i∇
2
è ïîäåéñòâîâàòü ïîëó÷èâøèìèñÿ îïåðàòîðàìè íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ:
p2
,
2m
2
(−i∇)
i∂t ψ =
ψ
2m
E=
Åñòåñòâåííî ïîïðîáîâàòü òîò æå ðåöåïò è â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå:
ε2 = p2 + m2 ,
i
h
2
2
(i∂t ) φ = (−i∇) + m2 φ.
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà. Åãî óäîáíî çàïèñûâàòü â ÷åòûðåõìåðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ:
2
−∂ − m2 φ = 0.
Çäåñü, êîíå÷íî,
2.1
∂ 2 = ∂t2 − ∇2 .
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñóïåðïîçèöèÿ ïëîñêèõ âîëí
Z
ψ (t, x) =
dp
3C
(2π)
(p) e−iEt+ipx ,
Âåðíà ïîýòîìó ñëåäóþùàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü:
âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ
ñóïåðïîçèöèåé äåáðîéëåâñêèõ âîëí
⇔
âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò
ñâîáîäíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà.
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà èìååò âèä
Z
φ (t, x) =
dp −iεt+ipx
+ C2 (p) eiεt−ipx
3 C1 (p) e
(2π)
Ìû âèäèì ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà åñòü îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûå ìîäû
êîòîðûå íå ñîîòâåòñòâóþò äåáðîéëåâñêèì âîëíàì ÷àñòèö ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé. Èñòîðè÷åñêè, ýòè ðåøåíèÿ ñ "íåïðàâèëüíîé"çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè ñ÷èòàëèñü íåäîñòàòêîì òåîðèè. Îäíàêî, â äàëüíåéøåì îêàçàëîñü, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ýòèõ
ðåøåíèé åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðèâîäèò ê ïîíÿòèþ àíòè÷àñòèöû.
Äëÿ äàëüíåéøåãî ðàñìîòðåíèÿ çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà ïîëó÷àåòñÿ èç ñëåäóþùåãî äåéñòâèÿ:
Z
SÊÃ =
Óïðàæíåíèå.
h
i
2
2
d4 x |∂φ| − m2 |φ|
ÊÃ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà.
Ïîëó÷èòü èç âàðèàöèè äåéñòâèÿ δφ(x)
δS
3
2.2
Óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå
Âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà ïîëó÷àåòñÿ îáû÷íîé ïðîöåäóðîé óäëèííåíèÿ ïðîèçâîäíîé.
Òî åñòü, íåîáõîäèìî
i∂µ
çàìåíèòü íà
i∂µ − eAµ ,
ãäå
Aµ
÷åòûðåõ-ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à
e
çàðÿä ÷àñòèöû.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå
i
h
2
(i∂ − eA) − m2 φ = 0
Ìû óæå óïîìèíàëè î òîì, ÷òî ðåëÿòèâèñòñêèå ýôôåêòû ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ òîíêîé ñòðóêòóðû ó óðîâíåé àòîìà
A0 = −Ze/r è ñðàâíèì
φ (x). Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
âîäîðîäà. Äàâàéòå ïîýòîìó ïîëó÷èì ñïåêòð óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà â êóëîíîâñêîì ïîëå
íåðåëÿòèâèñòñêèì. Ïîñêîëüêó ìû èùåì ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå, ïîäñòàâëÿåì
h
φ (t, x) = e
−iεt
i
2
(ε + Zα/r) + ∆ − m2 φ (x) = 0
Óãëîâîé ìîìåíò â öåíòðàëüíîì ïîëå, êîíå÷íî, ñîõðàíÿåòñÿ (÷òî ñîîòâåòñòâóåò êîììóòèðîâàíèþ îïåðàòîðà
−ix × ∇
ñ îïåðàòîðîì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ), ïîýòîìó ìîæíî ïîäñòàâèòü
óðàâíåíèå íà
åãî ñ
φ (x) = Ylm (x/r) R (r).
l = x×p =
Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå
R
"
ε2 − m2
εZα
∆r
l (l + 1) − (Zα)
+
+
−
2m
mr
2m
2mr2
Çäåñü ìû ïîäåëèëè âñå óðàâíåíèå íà
2
#
R (r) = 0,
∆r =
1 2
∂ r
r r
(1)
2m âîò äëÿ ÷åãî. Ìû ìîãëè áû ðåøàòü ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå ÷åñòíî, íî ìû õîòèì
ñýêîíîìèòü âðåìÿ è âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî óæå ðåøàëè ïîäîáíîå óðàâíåíèå â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå.
Äåéñòâèòåëüíî, òàì ðàäèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êóëîíîâñêîé çàäà÷è âûãëÿäåëî î÷åíü ïîõîæå:
Zα
∆r
l (l + 1)
E+
+
−
R (r) = 0
r
2m
2mr2
Åñëè â ýòîì óðàâíåíèè ñäåëàòü çàìåíû
E→
ε2 − m2
,
2m
Zα →
ε
Zα,
m
l→
q
2
2
(l + 1/2) − (Zα) − 1/2,
òî ìû ïîëó÷èì ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå (1). Ïîýòîìó è ðåëÿòèâèñòñêèé ñïåêòð ïîëó÷àåòñÿ èç íåðåëÿòèâèñòñêîãî
E =
2
m(Zα)
− 2(n
+l+1)2
r
òîé æå çàìåíîé. Ïîëó÷àåì
2
2
ε
ε2 − m2
m (Zα)
=− 2
q
2m
2
2
2 nr + (l + 1/2) − (Zα) + 1/2
ε= r
m
1+
√
nr +
(Zα)2
2
(l+1/2)2 −(Zα)2 +1/2
Êàê ïîëó÷èòü íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë? Âñïîìíèì, ÷òî â àòîìå âîäîðîäà õàðàêòåðíàÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà
ýòîìó íåðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë ñîîòâåòñòâóåò
Zα 1.
Ðàñêëàäûâàåì è ïîëó÷àåì
2
m (Zα)
m (Zα)
ε=m−
−
2
2n
2n3
4
4
1
3
−
l + 1/2 4n
,
∼ Zα.
Ïî-
n = nr + l + 1. Íóëåâîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ
ãäå ìû îïÿòü îáîçíà÷èëè
ýòî ïðîñòî ýíåðãèÿ ïîêîÿ ýëåêòðîíà (mc
2
â îáû÷íûõ åäèíèöàõ),
ïåðâûé íåðåëÿòèâèñòñêàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè. Âòîðîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ,
ïðîïîðöèîíàëüíûé
(Zα)
4
, ïîÿâèëñÿ áëàãîäàðÿ ðåëÿòèâèñòñêèì ýô-
ôåêòàì. Îí çàâèñèò íå òîëüêî îò ãëàâíîãî êâàíòîâîãî ÷èñëà
ÿâíî îò
l.
n=2
Äëÿ
ýòîò ÷ëåí ñíèìàåò âûðîæäåíèå ìåæäó
n,
2p
íî è
è
2s
ñîñòîÿíèÿìè è ïðèâîäèò ê ðàçíîñòè ýíåðãèé
4
ε2p − ε2s ≈
m (Zα)
16
1
1
−
1/2 1 + 1/2
=
m (Zα)
12
4
Ýòî çíà÷åíèå ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîâïàäàåò ñ ýêñïåðèìåíòàëüíî
íàáëþäàåìûì â âîäîðîäå, ýòî õîðîøî. Òåì íå ìåíåå, åñëè èíòåðåñîâàòüñÿ íå òîëüêî ïîðÿäêîì, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îíî ïî÷òè â òðè ðàçà
áîëüøå, ÷åì â ýêñïåðèìåíòå, ÷òî è íàñòîðîæèëî Øðåäèíãåðà.Åñëè çàäóìàòüñÿ, ýòî íåñîîòâåòñòâèå íå îñîáåííî óäèâèòåëüíî ñåé÷àñ, êîãäà
õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ýëåêòðîí èìååò ñïèí
1/2,
â òî âðåìÿ, êàê óðàâ-
íåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà îïèñûâàåò ñêàëÿðíóþ ÷àñòèöó. Âîò åñëè
ñîçäàòü àòîì â êîòîðîì ýëåêòðîí çàìåíåí íà áåññïèíîâóþ ÷àñòèöó,
Ïåðåõîäû ìåæäó ïèîííûìè óðîâíÿìè â Ti. Ãðàôèê èç
ñòàòüè Wang et al., Phys. Rev. A, 22 (1980) 1072.
òîãäà ìîæíî áûëî áû ñðàâíèòü íàøó òåîðèþ ñ ýêñïåðèìåíòîì. Ïîäõîäÿùàÿ çàìåíà ýëåêòðîíó äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóåò è íàçûâàåòñÿ ýòà ÷àñòèöà
π -ìåçîíîì.
Òîíêàÿ ñòðóêòóðà â
π -ìåçîííîì
àòîìå âïåðâûå íàáëþäàëàñü ãîðàçäî ïîçäíåå ÷åì áûëî îòêðûòî óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà, â 1980ã. â ïèîííîì âàðèàíòå
àòîìîâ òèòàíà
(Z = 22)
è æåëåçà
(Z = 26).
Èññëåäîâàëèñü ïåðåõîäû ñ óðîâíåé
5g, 5f
íà óðîâíè
4f, 4d,
ñîîòâåòñòâåííî.
Îïðåäåëèòü ñïåêòð óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñðàâíèòü ñ íåðåëÿòèâèñòñêèì ðåçóëüòàòîì.
Çàäà÷à.
2.3
Ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà
Íåïðåðûâíûìè ñèììåòðèÿìè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ëîðåíöåâñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü, êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü. Ïðè ëîðåíöåâñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïîëÿ ìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
φ (x) → φ0 (x) = φ Λ−1 x
Aµ (x) → A0µ (x) = Λµ ν Aν Λ−1 x
Ìîæíî ÿâíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äëÿ øòðèõîâàííûõ ïîëåé âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà.
Óïðàæíåíèå.
Ïðîâåðèòü ëîðåíöåâñêóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà
Ëåãêî ïðîâåðèòü òàêæå è êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà, ò.å., èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî
ïðåîáðàçîâàíèé
φ (x) → φ0 (x) = e−ieχ(x) φ (x)
Aµ (x) → A0µ (x) = Aµ (x) + ∂µ χ (x)
Óïðàæíåíèå.
Ïðîâåðèòü êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà
Íóæíî çàìåòèòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå çàâèñèò îò ôóíêöèè
χ (x),
òîãäà êàê ëîðåíöåâñêîå ïðåîáðàçîâàíèå
çàâèñèò îò ïîñòîÿííîé ìàòðèöû. Ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êàëèáðîâî÷íàÿ ãðóïïà ãîðàçäî áîëüøå.
Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà:
P, T, C
5
ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ òàê
φ (x) → φ0 (x) = φ (t, −x)
A0 → A00 (x) = A0 (t, −x)
P :

A (x) → A0 (x) = −A (t, −x)
φ (x) → φ0 (x) = φ∗ (x)
C:
Aµ (x) → A0µ (x) = −Aµ (x)

 φ (x) → φ0 (x) = φ∗ (−t, x)
A0 (x) → A00 (x) = A0 (−t, x)
T :

A (x) → A0 (x) = −A (−t, x)


Óïðàæíåíèå.
Ïðîâåðèòü èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà îòíîñèòåëüíî
Íåñêîëüêî íåîæèäàííûé âèä
T -ïðåîáðàçîâàíèÿ
P, C, T
ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òðåáîâàíèÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ âîëíîâûõ
ôóíêöèé, ñ òåì, ÷òîáû íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå ñîñòîÿíèÿ ïîìåíÿëèñü ìåñòàìè.
2.4
Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê
Ýëåêòðîìàãíèòíûé òîê ïîëó÷àåòñÿ âàðèàöèåé äåéñòâèÿ ïî âåêòîð-ïîòåíöèàëó èëè ïî-ïðîñòîìó, áåç âàðüèðîâàíèÿ.
Ïîëó÷àåì
h←
i
→
µ
jem
= ej µ = eφ∗ i ∂ µ − 2eAµ φ
Ðàíåå ìû ïðèäàâàëè íóëåâîé êîìïîíåíòå òîêà ñìûñë ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, íî òåïåðü ìû âèäèì, ÷òî, ïîñêîëüêó åñòü
îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûå ðåøåíèÿ, íóëåâàÿ êîìïîíåíòà íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé. Íàïðèìåð, â îòñóòñòâèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
j µ = ±2epµ
e∓ipx .Ïîýòîìó ýòîò òîê íóæíî èíòåðïðåòèðîâàòü ïî-äðóãîìó. À èìåííî, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî åñòü
µ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî òîêà. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè íàì äàíà ñîõðàíÿþùàÿñÿ ïëîòíîñòü òîêà j , ìû ìîæåì ïîñòðîèòü
äëÿ ïëîñêîé âîëíû
ïëîòíîñòü
ñîõðàíÿþùèéñÿ çàðÿä
Z
Q=
Z
Q̇ =
dx j 0 (x)
dx j̇ 0 = −
Z
dx (∇j) = 0
Çäåñü ìû ïðåäïîëàãàëè äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàþùèå íà áåñêîíå÷íîñòè ïîëÿ.
2.5
Íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå
×òîáû ïîëó÷èòü íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå äëÿ óðàâíåíèå Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà, ñäåëàåì çàìåíó
è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ýíåðãèè ïîêîÿ
m
ϕ (t, x) φ (t, x) = ϕ (t, x) e−imt
ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ ôóíêöèÿ. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ýíåðãèÿ ÷àñòèöû îòëè÷àåòñÿ îò
íà ìàëóþ âåëè÷èíó. Òîãäà ïîëó÷èì
i∂t − eA0
2
2
2
φ = i∂t − eA0 e−imt ϕ = e−imt i∂t + m − eA0 ϕ
h
i
2
≈ e−imt m2 + 2m i∂t − eA0 ϕ = e−imt (−i∇ − eA) + m2 ϕ
6
Ñàìûé áîëüøîé ÷ëåí
m2
2me−imt ,
"
#
2
(−i∇ − eA)
0
i∂t ϕ = eA +
ϕ
2m
ñ îáåèõ ñòîðîí ñîêðàùàåòñÿ è, ïîäåëèâ íà
ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà
Ñäåëàåì òî æå óïðàæíåíèå è äëÿ òîêà (â ñâîáîäíîì ñëó÷àå):
h←
→i
2
ρ = j 0 = eφ∗ i ∂t φ ≈ 2me |ϕ|
h ←
h ←
→i
→i
j = eφ∗ −i ∇ φ = eϕ∗ −i ∇ ϕ,
÷òî îòëè÷àåòñÿ îò íåðåëÿòèâèñòñêîãî òîêà òîëüêî îáùåé íîðìèðîâêîé.
Óïðàæíåíèå.
Ïîêàçàòü, ÷òî ïåðâàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ ïîïðàâêà ê ãàìèëüòîíèàíó èìååò âèä
4
−
(−i∇ − eA)
,
8m3
p
÷òî â ñâîáîäíîì ñëó÷àå (A = 0) ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ÷ëåíîì ðàçëîæåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
m2 + p2 . Ïîêàçàòü,
÷òî ñ ó÷åòîì ïåðâîé ïîïðàâêè ñâÿçü ìåæäó φ è ϕ (âîëíîâîé ôóíêöèåé â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà) èìååò âèä
e−imt
φ= √
2m
1−
i∂t − eA0
2m
ϕ
Èñïîëüçóÿ íàéäåííóþ ïîïðàâêó, âû÷èñëèòü ïîïðàâêè ê óðîâíÿì ýíåðãèè è ñðàâíèòü ñ ðàçëîæåíèåì òî÷íîé ôîðìóëû.
2.6
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà è ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè
Êàê ìû ïîìíèì èç êóðñà êâàíòîâîé ìåõàíèêè, çàäàíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò åå â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû. Ýòî íàõîäèò ñâîå îòðàæåíèå â òîì, ÷òî óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ
ïî îòíîøåíèþ êî âðåìåíè äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà ýòî íå òàê, è
äëÿ çàäàíèÿ âðåìåííîé ýâîëþöèè íåîáõîäèìî çíàòü íå òîëüêî çíà÷åíèå ôóíêöèè â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè, íî è,
íàïðèìåð, çíà÷åíèå åå ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó è ñîõðàíÿþùååñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âêëþ÷àåò ïåðâûå
ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè:
Z
hφ1 |φ2 i =
Óïðàæíåíèå.
h←
i
→
dx φ∗1 i ∂ 0 − 2eA0 φ2
Äîêàçàòü ñîõðàíåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, èñïîëüçóÿ íàéäåííûé òîê è ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè.
 ñòàöèîíàðíîì âíåøíåì ïîëå ñ îïåðàòîðîì â óðàâíåíèè Êëåéíà Ãîðäîíà êîììóòèðóåò îïåðàòîð
i∂t ,
ïîýòîìó ðåøåíèÿ
ìîæíî èñêàòü â âèäå
φ (x, t) = e−iεt φ (x)
Äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà, ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëåííîìó óðîâíþ ýíåðãèè â äèñêðåòíîì ñïåêòðå, èìååì
ñëåäóþùåå óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè
Z
hφn |φm i =
dx φ∗n εn + εm − 2eA0 φm = δnm
7
3
Óðàâíåíèå Äèðàêà
Òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ îäíî÷àñòè÷íîé èíòåðïðåòàöèåé óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà (à èìåííî, ðåøåíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé
ýíåðãèåé, íåïîëîæèòåëüíîñòü ïëîòíîñòè) ïðèâåëè ê ïîïûòêàì ïîëó÷èòü äðóãîå óðàâíåíèå, êîòîðîå íå èìåëî áû ïîäîáíûõ
íåäîñòàòêîâ. Êðîìå òîãî, óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà îïèñûâàåò ÷àñòèöó ñî ñïèíîì íîëü, òîãäà êàê ñïèí ýëåêòðîíà ðàâíÿåòñÿ
1/2.
Ïðè ýòîì çàðàíåå ïîíÿòíî, ÷òî ñïèíîâàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè îáÿçàíà êàê-òî ìåíÿòüñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ
Ëîðåíöà. Ýòî âèäíî õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî îíà ìåíÿåòñÿ ïðè ïîâîðîòàõ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ëîðåíöà.
ßñíî, ÷òî íåäîñòàòêè óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ãîðäîíà, â íåêîòîðîé ñòåïåíè, ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî îíî ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó Äèðàê ïðåäïîëîæèë, ÷òî ìîæíî íàïèñàòü óðàâíåíèå íà ìíîãîêîìïîíåíòíóþ â.ô. ýëåêòðîíà, êîòîðîå áûëî áû äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âðåìåíè. Ïîñêîëüêó ìû
õîòèì èìåòü Ëîðåíö-êîâàðèàíòíîå óðàâíåíèå, îíî äîëæíî áûòü òàêæå è ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî êîîðäèíàòàì.
Ôàêòè÷åñêè, îáùèé âèä òàêîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóþùèé
∂
i − αp − βm ψ = 0,
∂t
ãäå
αi , β
íåêîòîðûå ìàòðèöû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòè ìàòðèöû óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì
β 2 = 1,
αi αj + αj αi = 2δij ,
αi β + βαi = 0
Ïîäåéñòâîâàâ íà óðàâíåíèå îïåðàòîðîì
∂
i ∂t
+ αp + βm,
ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ âñåõ êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè âûïîëíÿåòñÿ
óðàâíåíèå Êëåéíà-Ãîðäîíà. Ìîæíî áûëî áû îæèäàòü, êîëè÷åñòâî êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè äîëæíî áûòü ðàâíî
â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå. Îäíàêî ñðàçó æå âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî íàéòè ïîäõîäÿùèå
ðàçìåðíîñòü ìàòðèö ðàâíà
4.
2×2
Óäîáíî çàïèñàòü óðàâíåíèå Äèðàêà â âèäå
[iγ µ ∂µ − m] ψ = 0
Ìàòðèöû
γµ
óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì
{γ µ , γ ν } = 2g µν
ßâíûé âèä ìàòðèö òàêîé
γ0 =
1
0
0
−1
,
γ=
0
−σ
σ
0
1
Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìàòðèö Äèðàêà :
• γ 0† = γ 0 , γ † = −γ
∗
• γ 0,1,3 = γ 0,1,3 , γ 2∗ = −γ 2
•
Ïîëíûé íàáîð îáðàçóþò ìàòðèöû
I,
1 Ñì.
ïîäðîáíîñòè â ôàéëå Gmatrix algebra.pdf
γµ,
σ µν =
1 µ ν
[γ , γ ] , γ 5 γ µ , γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3
2
??
8
2,
êàê
ìàòðèöû íå óäàåòñÿ. Ìèíèìàëüíàÿ
Âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå òàêæå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå óäëèíåíèåì ïðîèçâîäíîé:
h
i
γ µ (i∂ − eA)µ − m ψ = 0
Êàê ìû óâèäèì âïîñëåäñòâèè, òàêàÿ ïðåñêðèïöèÿ ïðèâîäèò â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ê óðàâíåíèþ Ïàóëè ñ
îïèñàíèÿ ÷àñòèö ñ
g 6= 2
íóæíî äîáàâèòü â óðàâíåíèå ÷ëåí
g = 2.
Äëÿ
σ µν Fµν :
i eδg µν
γ µ (i∂ − eA)µ − m +
σ Fµν ψ = 0,
2 4m
δg = g − 2
Äîáàâëåíèå äëÿ òî÷å÷íûõ ÷àñòèö ÷ëåíà ñ
óðàâíåíèÿ ñ
δg 6= 0
δg
ïðèâîäèò ê íåñêîëüêèì íåïðèÿòíûì ïîñëåäñòâèÿì. Íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè
â êóëîíîâñêîì ïîëå ïðîèñõîäèò ÿâëåíèå ïàäåíèÿ íà öåíòð, òî åñòü, ïîÿâëåíèå íåíîðìèðóåìûõ ñîñòîÿíèé
äèñêðåòíîãî ñïåêòðà. Êðîìå òîãî, òàêîé ÷ëåí íàðóøàåò ïåðåíîðìèðóåìîñòü òåîðèè, íî ýòîãî âîïðîñà â íàøåì êóðñå ìû êàñàòüñÿ íå áóäåì. Òåì íå ìåíåå, ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ñîñòàâíûõ ÷àñòèö ñ
g 6= 2 è èõ äâèæåíèå âî âíåøíåì ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïîëå îïèñûâàåòñÿ ïðèâåäåííûì óðàâíåíèåì.
3.1
Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê
Ñîõðàíÿþùèéñÿ òîê ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü â óðàâíåíèè Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà.
Èòàê, òîê èìååò âèä
µ
jem
= ej µ = eψγ µ ψ ,
ψ = ψ† γ 0
Ïëîòíîñòü òåïåðü ïîëîæèòåëüíà
j 0 = ψ† ψ > 0
3.2
Ïëîñêèå âîëíû
Íàéäåì îáùåå ðåøåíèå ñâîáîäíîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà. Êàê îáû÷íî äëÿ óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè èùåì ðåøåíèå â âèäå ïëîñêèõ âîëí. Ïîäñòàâëÿåì äëÿ äâóõ çíàêîâ ýíåðãèè
ψ (x) = u (p) e−ipx è ψ (x) = v (p) eipx .
u (p) , v (p), ïîëó÷àåì
σp √
√
ϕ
χ
u (p) = ε + m σp
, v (p) = ε + m ε+m
ϕ
χ
ε+m
Ðåøàÿ ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ äëÿ áèñïèíîðîâ
Îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä
Z
ψ (x) =
dp −ipx
u (p) + C2 (p) eipx v (p)
3 C1 (p) e
(2π)
Âèäèì, ÷òî îïÿòü åñòü ðåøåíèÿ êàê ñ ïîëîæèòåëüíîé, òàê è ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé. Òàêèì îáðàçîì, õîòü óðàâíåíèå
Äèðàêà è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîé ñòåïåíè, ìíîãîêîìïîíåíòíîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè
2
ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ ðåøåíèé ñ îáîèìè çíàêàìè ýíåðãèè . Õîòÿ ìû äîáèëèñü ïîëîæèòåëüíîñòè ïëîòíîñòè, íî ýòî íå ñïàñàåò
íàñ îò ïàðàäîêñîâ ïðè ïîïûòêå îäíî÷àñòè÷íîé èíòåðïðåòàöèè óðàâíåíèÿ.
2 Òî÷íåå,
íàì íå íðàâèòñÿ, êîíå÷íî, íå çíàê ýíåðãèè, à íåîãðàíè÷åííîñòü ñïåêòðà ãàìèëüòîíèàíà ñíèçó, ÷òî îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü
íåîãðàíè÷åííóþ ýíåðãèþ èç îäíîé ÷àñòèöû.
9
3.3
Ïàðàäîêñ Êëåéíà
 îòñóòñòâèè âíåøíåãî ïîëÿ íàëè÷èå ðåøåíèé ñ íåïðàâèëüíîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè ìåøàåò íå ñèëüíî. Îäíàêî, óæå â
çàäà÷å ðàññåÿíèÿ ìû âèäèì íåæåëàòåëüíûå ýôôåêòû. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ðàññåÿíèå ÷àñòèö â ïîòåíöèàëå, èìåþùåì âèä
ñòóïåíüêè.
∂
+ βm + V (z) ψ
εψ = −iα3
∂z
V (z) = θ (z) V
Ñëåâà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä ñóììû ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëí, à ñïðàâà ïðîøåäøåé:
V

ψïàä + ψîòð



1
1
 0 


−ipz  0 

= eipz 
 p  + ae
 −p 
ε+m
ε+m
0
0


ψïð = beiqz 

1
0



q

ε−V +m
0
0
Çäåñü
p=
√
ε2
−
m2 ,
q =
q
2
(ε − V ) − m2 .
Êîýôôèöèåíòû
a
è
b
íàõîäèì èç íåïðå-
ðûâíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëå:
1 + a = b,
a=
1 − a = rb,
1−r
,
1+r
b=
ãäå
r=
q ε+m
pε−V +m
2
1+r
Îïðåäåëèì òîêè


1
0 1 0


0 0 −1
−p
  0p  = 2p ,
jïàä = 1 0 ε+m


 ε+m
0 0 0
ε+m
1 0 0
0
2
Re
q
2p
2
2
jïð = |b|
, jîòð = |a|
ε−V +m
ε+m
1 − r 2
jïð
4
Re
r
jîòð
2
2
T =
= |b| r =
= |a| = 2,R = j
jïàä
1 + r
ïàä
|1 + r|

0
 0
0 
−1
0
Åñëè
V > ε + m,
ïîëó÷àåì ïàðàäîêñàëüíóþ ñèòóàöèþ. Îòðàæåííûé òîê áîëüøå
ïàäàþùåãî, à ïðîøåäøèé íàïðàâëåí â äðóãóþ ñòîðîíó. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå.
3.4
Ìîðå Äèðàêà
10
Ïàðàäîêñ Êëåéíà. Ñèíÿÿ êðèâàÿ êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, êðàñíàÿ ðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé (óðàâíåíèå Äèðàêà). Ýíåðãèÿ íàëåòàþùåé
÷àñòèöû ðàâíà ε = 1.5m.Ïðè V >
ε + m (êðàñíàÿ îáëàñòü) êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ áîëüøå
åäèíèöû.
Äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà ïåðâîíà÷àëüíàÿ ïîïûòêà îáîéòè òðóäíîñòü ñ ñóùåñòâîâàíèåì
îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûõ ðåøåíèé ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû ïîñòóëèðîâàòü çàïîëíåííîñòü
òàêèõ ñîñòîÿíèé. Òîãäà óìåíüøèòü ýíåðãèþ âàêóóìà ôîðìàëüíî íåëüçÿ, ïî êðàéíåé
ìåðå, ïåðåõîäàìè êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòèö ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñ êîíå÷íîé ðàçíîñòüþ
ýíåðãèé (ïåðåõîäû áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ÷àñòèö íà äðóãèå ñîñòîÿíèÿ, î÷åâèäíî, ïîçâîëÿåò ýòî ñäåëàòü). Òîãäà ïîçèòðîí òðàêòóåòñÿ êàê îòñóòñòâèå îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîãî
ýëåêòðîíà (äûðêà â ìîðå Äèðàêà). Ïîýòîìó, íàïðèìåð, âîçìîæåí ïðîöåññ àííèãèëÿöèè
ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ êàê ïåðåõîä ýëåêòðîíà â íåçàïîëíåííîå ñîñòîÿíèå â ìîðå ñ èñïóñêàíèåì ôîòîíà. Êîíå÷íî, ïðè òàêîì ïðîöåññå ôîòîí äîëæåí áûòü
âèðòóàëüíûì, òàê êàê â ñ.ö.è. ïàðû åãî èìïóëüñ ðàâåí íóëþ, à ýíåðãèÿ êàê ìèíèìóì
2m.
Ýòî ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêîé ôîòîí áûñòðî ðàñïàäåòñÿ, íàïðèìåð, â ïàðó ìþîíîâ, èëè
äðóãèõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Êàðòèíà ìîðÿ Äèðàêà î÷åíü íàãëÿäíà è äàæå ìîæåò áûòü
Ìîðå Äèðàêà.
èñïîëüçîâàíà äëÿ êîëè÷åñòâåííûõ âû÷èñëåíèé. Îäíàêî, íå ñëåäóåò çàáûâàòü î åå ñóùåñòâåííîì íåäîñòàòêå: ìû âûíóæäåíû ïîñòóëèðîâàòü íåíàáëþäàåìîñòü çàðÿäà îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûõ ýëåêòðîíîâ â ìîðå
è îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèÿ èõ ìåæäó ñîáîé. Âìåñòî ýòîãî, âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé è ñ ïîëîæèòåëüíî-÷àñòîòíûìè
ýëåêòðîíàìè, à òàêæå, îáëàäàþò íàáëþäàåìûì çàðÿäîì äûðêè â ìîðå ïîçèòðîíû. ßñíî, ÷òî ïîçèòðîíû äîëæíû îáëàäàòü
çàðÿäîì, ïðîòèâîïîëîæíûì çàðÿäó ýëåêòðîíà. Åùå îäèí íåäîñòàòîê êàðòèíû ìîðÿ Äèðàêà â òîì, ÷òî îíà ïîäõîäèò òîëüêî
äëÿ îïèñàíèÿ ôåðìèîíîâ, â òî âðåìÿ êàê îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûå ðåøåíèÿ åñòü è äëÿ óðàâíåíèÿ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà. Ê
âîïðîñó î ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûõ ðåøåíèé ìû åùå âåðíåìñÿ, êîãäà áóäåì ãîâîðèòü î ïðåäñòàâëåíèè ÷èñåë çàïîëíåíèÿ.
3.5
Äèñêðåòíûå ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ Äèðàêà
Äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ Äèðàêà îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì

 ψ (x) → ψ 0 (x) = γ 0 ψ (t, −x)
A0 → A00 (x) = A0 (t, −x)
P :

A (x) → A0 (x) = −A (t, −x)

 ψ (x) → ψ 0 (x) = γ 1 γ 3 ψ ∗ (−t, x)
A0 (x) → A00 (x) = A0 (−t, x)
T :

A (x) → A0 (x) = −A (−t, x)
ψ (x) → ψ 0 (x) = iγ 2 ψ ∗ (x)
C:
Aµ (x) → A0µ (x) = −Aµ (x)
ψ (x) → ψ 0 (x) = γ 5 ψ (−x)
CP T :
Aµ (x) → A0µ (x) = −Aµ (−x)
0 1
5
0 1 2 3
Çäåñü ìàòðèöà γ = iγ γ γ γ =
.
1 0
2
2
2
Óïðàæíåíèå. Ïðîâåðèòü èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Äèðàêà îòíîñèòåëüíî P, C, T . Ïðîâåðèòü, ÷òî P = C = T = 1.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë îïåðàöèé P è T ïîíÿòåí: ýòî, ñîîòâåòñòâåííî, ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî èíâåðñèè ïðîñòðàíñòâà è
âðåìåíè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûÿñíèòü ñìûñë C -÷åòíîñòè, âûïîëíèì ýòó îïåðàöèþ íàä îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíûì ðåøåíèåì
11
óðàâíåíèÿ Äèðàêà
e
ϕ = iσy χ∗ .
ãäå
ipx
ψ (x) = eipx v (p):
C
2 ∗
−ipx
v (p) → iγ v (p) e
σ∗ p
iσy χ∗
=e
=e
ε+m
σ∗ p ∗
−iσy ε+m
χ
χ
!
iσy χ∗
√
√
ϕ
= e−ipx ε + m σp
= e−ipx ε + m
,
σ∗ p
−σy ε+m σy iσy χ∗
ε+m ϕ
−ipx
√
0
ε+m
−iσy
iσy
0
ε+m χ
∗
∗
−ipx
√
ïðîâåðèòü
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì
Ìû âèäèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåì
σ -ìàòðèö σy σ ∗ σy = −σ .
C -ñîïðÿæåíèÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîãî ýëåêòðîíà ïåðåøëà â e−ipx u (p),
òî åñòü â âîëíîâóþ ôóíêöèþ ÷àñòèöû ñ ïðàâèëüíûì çíàêîì ýíåðãèè. Ýòà ÷àñòèöà, êàê ëåãêî ñîîáðàçèòü èç êàðòèíû ìîðÿ
Äèðàêà, è åñòü ïîçèòðîí. Èòàê, ìû ïîêàçàëè, ÷òî îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà ÿâëÿåòñÿ
C -ñîïðÿæåíèåì
3.6
âîëíîâîé ôóíêöèè ïîçèòðîíà.
Ëîðåíö-êîâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ Äèðàêà
Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, êîìïîíåíòû ôóíêöèè
ψ
äîëæíû ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ íåòðèâèàëüíûì îáðàçîì ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ
Ëîðåíöà. Áóäåì èñêàòü çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ â âèäå
ψ (x) → ψ 0 (x) = S (Λ) ψ Λ−1 x
Äëÿ øòðèõîâàííîé ôóíêöèè äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óðàâíåíèå Äèðàêà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàòðèöà
S (Λ)
èìååò ñëåäóþùåå
ñâîéñòâî
S (Λ) γ µ S −1 (Λ) = Λ−1
µ
νγ
ν
S −1 (Λ) γ µ S (Λ) = Λµ ν γ ν
(2)
Ïîëó÷àåì
[iγ µ ∂µ − m] ψ 0 (x) = [iγ µ ∂µ − m] S (Λ) ψ Λ−1 x
= S (Λ) [iΛµ ν γ ν ∂µ − m] ψ Λ−1 x
= S (Λ) iγ µ ∂µ0 − m ψ (x0 ) = 0
.×òîáû íàéòè ÿâíûé âèä ìàòðèö S (Λ), äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü èíôèíèòåçèìàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, à çàòåì âîçâåñòè â
ýêñïîíåíòó, êàê ñëåäóåò èç òåîðèè ãðóïï. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
Λµ ν = exp [ω]µ ν = g µ ν + ω µ ν +
ìàòðèöà S (Λ) âûãëÿäèò òàê
S (Λ) = exp
1 µ σ
ω σω ν + . . .
2
1 µν
σ ωµν ,
4
ãäå σµν = 12 [γ µ , γ ν ] . ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ïîâîðîòîâ íà óãîë φ (íàïðàâëåíèå âåêòîðà îáîçíà÷àåò íàïðàâëåíèå îñè,
âîêðóã êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ïîâîðîò)
S (Λ) = exp
i
Σφ , Σ =
2
σ
0
0
σ
Çíà÷èò, ìàòðèöà 21 Σ ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ñïèíà. Îïåðàòîð ïîëíîãî óãëîâîãî ìîìåíòà èìååò, ñîîòâåòñòâåííî, âèä
j=l+
1
1
Σ = −ir × p + Σ
2
2
12
Ïðîâåðèì, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà òîê âåäåò ñåáÿ êàê âåêòîð. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ìàòðèöû
S (Λ):
S † = exp
1 µν†
1
σ ωµν = exp − γ 0 σ µν γ 0 ωµν = γ 0 S −1 γ 0
4
4
Ïîýòîìó ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ñîáñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà
j µ (x) → j 0µ (x) = ψ † Λ−1 x S † γ 0 γ µ Sψ Λ−1 x
= ψ Λ−1 x Λµ ν γ ν ψ Λ−1 x = Λµ ν j ν Λ−1 x ,
òî åñòü, òàê, êàê è äîëæåí ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ âåêòîð. Ïðè
P
- ÷åòíîñòè
j µ (x) → j 0µ (x) = ψ † (t, −x) γ 0 γ 0 γ µ γ 0 ψ (t, −x) = ψ (t, −x) γ †µ ψ (t, −x) ,
òî åñòü, òîæå åñòåñòâåííûì îáðàçîì. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôîðìà âèäà
ψ̄ (x) γ µ1 . . . γ µn ψ (x)
ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà êàê òåíçîðíîå ïîëå ðàíãà
Óïðàæíåíèå.
3.7
n.
Ïðîâåðèòü ýòî óòâåðæäåíèå.
Íåðåëÿòèâèñòñêîå ðàçëîæåíèå
Çàïèøåì
ϕ
ψ=
χ
 äâóõêîìïîíåíòíûõ îáîçíà÷åíèÿõ èìååì
∂
ϕ = σπχ + eA0 ϕ + mϕ
∂t
∂
i χ = σπϕ + eA0 χ − mχ
∂t
i
 íåðåëÿòèâèçìå äåëàåì çàìåíó
ϕ = e−imt Φ ,
è ôîðìàëüíî ðàñêëàäûâàåìñÿ ïî
1/m.
χ = e−imt X
Ïîëó÷àåì
"
#
2
∂
(σπ)
i Φ≈
+ eA0 Φ
∂t
2m
X≈
(σπ)
Φ
2m
Ïåðâîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ïàóëè, ïðè÷åì ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ìàãíèòíîãî ìîìåíòà
µ=
e
≈ 5.8ýÂ/Ãñ,
2m
13
÷òî ñîîòâåòñòâóåò ãèðîìàãíèòíîìó îòíîøåíèþ, ðàâíîìó
2
2.
×òîáû ýòî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, èñïîëüçóåì òîæäåñòâî
2
2
(σπ) = π 2 + iσ [π × π] = (p − eA) − eσ [∇ × A] = (p − eA) − eσH
Ïðè ðàçëîæåíèè äî áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà íóæíî ó÷åñòü ïðàâèëüíîå óñëîâèå íîðìèðîâêè:
Z
1=
h
2
2
dx |Φ| + |X|
i
! 2
2
σπ 2 Z
(σπ)
2
dx |Φ| + Φ ≈ dx 1 +
Φ
,
2
2m
8m
Z
≈
îòêóäà åñòåñòâåííî ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå
2
ΦØ ≈
Ðàñêëàäûâàåìñÿ ìû ïî
v/c,
(σπ)
1+
8m2
!
Φ.
èñïîëüçóÿ òàêèå îöåíêè
eA0 ∼
p2
,
2m
eE
p
∼ eA0 ,
m
m
H ∼ vE.
Ïîëó÷àåì
"
#
2
4
∂
(σπ)
(σπ)
i ΦØ =
−
+ eA0 − i [σπ, σE] ΦØ
∂t
2m
8m3
2
e
p4
e
e
ie
π
0
+ eA −
σH− 3 −
div E −
σ [E × p] −
σ · rot E ΦØ
=
2m
2m
8m
8m2
4m2
8m2
e
− 2m
σH, êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, ñîîòâåòñòâóåò âçàèp4
ñîîòâåòñòâóåò
ðàçëîæåíèþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
ìîäåéñòâèþ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ñ ìàãíèòíûì ïîëåì. ×ëåí −
8m3
Êàæäàÿ ïîïðàâêà èìååò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë. ×ëåí
p
p2
p4
p2 + m2 − m ≈
−
.
2m 8m3
×ëåí
e
− 8m
2 div E
ìîæíî êà÷åñòâåííî îáúÿñíèòü êâàíòîâûì äðîæàíèåì ÷àñòèöû, èëè äðóãèìè ñëîâàìè íåâîçìîæíîñòüþ
ëîêàëèçîâàòü ÷àñòèöó íà ðàññòîÿíèÿõ ìåíüøå, ÷åì êîìïòîíîâñêàÿ äëèíà âîëíû
m−1 = }/m.
Òîãäà
1
eA0 (r) + eδr∇A0 (r) + eδri δrj ∇i ∇j A0 (r)
2
e i j i j 0
e
0
0
≈ eA (r) +
δr δr ∇ ∇ A (r) ≈ eA (r) −
div E (r) .
2
6m2
eA0 (r) → eA0 (r + δr) ≈
×ëåíû
e
− 4m
2 σ [E × p] −
ie
8m2 σ
· rot E
ìîæíî ïåðåïèñàòü â ÿâíî ýðìèòîâîé ôîðìå
−
e
[E × p] − [p × E]
σ
4m2
2
 êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå âêëàä îáîèõ ñëàãàåìûõ â ÷èñëèòåëå îäèíàêîâ è äâîéêà â çíàìåíàòåëå óõîäèò. Åñòåñòâåííîå îáúÿñíåíèå ýòîãî ÷ëåíà òàêîå:  ñèñòåìå ïîêîÿ ýëåêòðîíà, áëàãîäàðÿ ïðåîáðàçîâàíèþ Ëîðåíöà ïîÿâëÿåòñÿ ìàãíèòíîå ïîëå
Hind = E × v,
êîòîðîå è âçàèìîäåéñòâóåò ñ ìàãíèòíûì ìîìåíòîì ÷àñòèöû. Ïîëó÷àåì
−µHind = −
e
e
σ [E × v] = − 2 σ [E × p]
2m
2m
Âèäèì, ÷òî ïîëó÷èëè êîýôôèöèåíò â äâà ðàçà áîëüøå. ×òîáû îáúÿñíèòü ýòîò ôàêò (ò.í. "òîìàñîâñêóþ ïîëîâèíêó"), ðàññìîòðèì äâèæåíèå ñïèíà âî âíåøíåì ïîëå.
14
3.8
Äâèæåíèå ñïèíà âî âíåøíåì ïîëå.
Ñïèí ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ìîæíî îïèñàòü àêñèàëüíûì ÷åòûðå-âåêòîðîì, ïîä÷èíÿþùåìñÿ óñëîâèþ
S · u = 0,
ãäå
u-
÷åòûðåõ-ñêîðîñòü. Ýòî óñëîâèå Ëîðåíö-èíâàðèàíòíàÿ ôîðìà óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî â ñèñòåìå ïîêîÿ ñïèí ÷àñòèöû
ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ïðîñòðàíñòâåííûì âåêòîðîì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
u = γ (1, v),
ïîëó÷àåì
S0 = S · v
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ïî
t,
(3)
ïîëó÷àåì
Ṡ 0 = Ṡ · v + S · v̇
 ìãíîâåííîé ñèñòåìå ïîêîÿ
v=0
è ìû ïîëó÷àåì
Ṡ 0 = S · v̇ =
e
S·E
m
(ìãí. ñ.ï.)
(4)
À èçìåíåíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ êîìïîíåíò îïðåäåëÿåòñÿ ìàãíèòíûì ïîëåì (ïðåöåññèÿ)
Ṡ = µ × H =
ge
S×H
2m
(ìãí. ñ.ï.)
(5)
Óðàâíåíèÿ (4),(5) ìîæíî çàïèñàòü â Ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé ôîðìå:
Ṡ µ =
ge µν
e g
F Sν −
− 1 uµ (uα F αν Sν )
2m
m 2
2Sµ , ïîëó÷àåì, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ñîõðàíÿåò íîðìó âåêòîðà S . Ïîñêîëüêó
S 2 = −1. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áàðãìàíà-Ìèøåëÿ-Òåëåãäè.
Óìíîæèâ íà
ñ÷èòàòü, ÷òî
(6)
óðàâíåíèå ëèíåéíî ïî
S,
áóäåì
Ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûå ÷à-
ñòèöû òàêæå ìîãóò èìåòü íåíóëåâîé ìàãíèòíûé ìîìåíò (íàïðèìåð, íåéòðîí ÷àñòèöà ñ íóëåâûì çàðÿäîì è ñî ñïèíîì
1/2),
ïîýòîìó áîëåå óíèâåðñàëüíûé âèä óðàâíåíèÿ ÁÌÒ òàêîé:
Ṡ µ =
µ
µ µν
e µ
F Sν −
−
u (uα F αν Sν ) ,
s
s
m
ge
2m → µ/s (s ñïèí ÷àñòèöû).  òàêîì âèäå ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì ïðîèñõîæäåíèå ðàçëè÷íûõ
÷ëåíîâ â óðàâíåíèè: ïðîïîðöèîíàëüíûå µ/s ÷ëåíû îïèñûâàþò âçàèìîäåéñòâèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ÷àñòèöû ñ ìàãíèòíûì
ãäå ìû ïðîñòî çàìåíèëè
ïîëåì, à ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå
e îïèñûâàþò êèíåìàòè÷åñêîå âëèÿíèå íà ñïèí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ
ñèë. Òî, ÷òî òàêîå âëèÿíèå åñòü, âèäíî óæå èç óðàâíåíèÿ (3). Åñëè ñêîðîñòü ÷àñòèöû ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî ïðîèçâîëüíîìó
çàäàííîìó çàêîíó, èç ýòîãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî ñïèí íå ìîæåò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííûì.
3.8.1
Ïðåöåññèÿ Òîìàñà.
Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ðåëÿòèâèñòñêè êîâàðèàíòíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
Sµ
â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå. Òåïåðü âûïîëíèì íåðå-
ëÿòèâèñòñêîå ðàçëîæåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, óäåðæèâàÿ ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå ñêîðîñòè. Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîìïîíåíò ïîëó÷àåì
µ
µ
e
([S × H] + E (Sv)) −
−
v (ES)
s
s
m
µ
e
= [S × (H + [E × v])] + v (ES)
s
m
Ṡ =
15
Ó÷òåì, ÷òî
S
ζ
ñâÿçàí ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà ñî ñïèíîì
â ñèñòåìå ïîêîÿ ÷àñòèöû. Ìîæíî íàïðÿìóþ ñäåëàòü ýòî
ïðåîáðàçîâàíèå, à ìîæíî èñêàòü ñâÿçü â âèäå
S = aζ + b (ζu) u
è íàéòè êîýôôèöèåíòû
a
è
b
èç äâóõ óñëîâèé
S 2 = −1,
Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñðàçó èìååì
a=1
S⊥ = ζ ⊥
è, ðåøàÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì (ìû âçÿëè êîðåíü, êîòîðûé ñòðåìèòñÿ ê
íóëþ)
S=ζ+
(ζu) u
1 + u0
Çàìåòèì, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ëèíåéíûõ Ïðè ðàçëîæåíèè äî êâàäðàòè÷íûõ ÷ëåíîâ ïî ñêîðîñòè, èìååì
1
(ζv) v
2
S≈ζ+
Ïîýòîìó
1
1
(ζv) v̇ + (ζ v̇) v
2
2
1
e
e 1
≈ ζ̇ + (ζv) E +
(ζE) v
2
m
m2
Ṡ ≈ ζ̇ +
Ïîëó÷àåì
e
µ
e
e
(ζv) E −
(ζE) v + [ζ × (H + [E × v])] + v (ζE)
2m
2m
s
m
µ
µ
µ
e µ
e = [ζ × H] +
−
[ζ × [E × v]] = [ζ × H] +
−
[ζ × Hind ]
s
s
2m
s
s
2m
ζ̇ = −
µ
s [ζ × (H + Hind )].
Ïðîèñõîæäåíèå âòîðîãî ÷ëåíà ïîíÿòíî èç âûâîäà: îí ïîÿâèëñÿ èç-çà òîãî, ÷òî íà çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó äåéñòâóåò ñèëà eE.
Åñëè áû íå ÷ëåí
e
− 2m
â êðóãëûõ ñêîáêàõ, ìû áû ñãðóïïèðîâàëè ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ â âèäå
Ïîñêîëüêó äëÿ ýëåêòðîíà
e
ge
e
2e
e
e
1µ
µ
−
=
−
=
−
=
=
,
s
2m
2m 2m
2m 2m
2m
2s
ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷àåì òîìàñîâñêóþ ïîëîâèíêó. Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî òîìàñîâñêàÿ ïðåöåññèÿ ÿâëÿåòñÿ
êëàññè÷åñêèì ðåëÿòèâèñòñêèì ýôôåêòîì, ñâÿçàííûì ñ íåèíåðöèàëüíîñòüþ ìãíîâåííîé ñèñòåìû ïîêîÿ.
3.8.2
Âûðàæåíèå 4-âåêòîðà ñïèíà ÷åðåç âîëíîâûå ôóíêöèè
Ïîêàæåì, ÷òî
ïðîâåðèòü
Âî-ïåðâûõ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
S µ ∝ ψγ µ γ5 ψ
γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = − 4!i εαβγδ γ α γ β γ γ γ δ , ìû âèäèì, ÷òî ψγ5 γ µ ψ
ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîâåêòîðîì. Çíà÷èò,
äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñâÿçü ýòîé âåëè÷èíû ñî ñðåäíèì ñïèíîì â ñèñòåìå ïîêîÿ, ãäå
ψ=
ϕ
0
.
Ïîëó÷àåì
0
ψγ γ5 ψ = 0,
†
ψγγ5 ψ = ϕ , 0
0
−σ
ò.å., ìû äåéñòâèòåëüíî ïîëó÷èëè óäâîåííûé ñðåäíèé ñïèí.
16
σ
0
0
1
1
ϕ
= ϕ† σϕ ,
0
0
3.9
Ñïèðàëüíîñòü
Ñïèðàëüíîñòü ïðîåêöèÿ ñïèíà íà íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ. Äëÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì
1/2 îïåðàòîð ñïèðàëüíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ,
ñîîòâåòñòâåííî, êàê
Σp̌/2,
ãäå
u,
p̌ = p/p. Ïî îïðåäåëåíèþ, ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà ñ çàäàííûì èìïóëüñîì è ñïèðàëüíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò òàêîìó 4-ñïèíîðó
÷òî
Σp̌u = λu.
Ïîñêîëüêó
2
(Σp̌) = 1,ïîëó÷àåì,
÷òî
λ = ±1.
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñïèðàëüíîñòü òî÷íî ñîõðàíÿåòñÿ â ñëó÷àå ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð ñïèðàëüíîñòè êîììóòèðóåò ñî ñâîáîäíûì ãàìèëüòîíèàíîì. Òàêæå ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îïåðàòîð ñïèðàëüíîñòè êîììóòèðóåò ñ
îïåðàòîðîì óãëîâîãî ìîìåíòà, à òàêæå ñ ãåíåðàòîðîì áóñòà âäîëü
âðàùåíèÿõ è ïðè êîíå÷íûõ áóñòàõ âäîëü
3
p̌,
p̌.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïèðàëüíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ëþáûõ
ñîõðàíÿþùèõ íàïðàâëåíèå
p.
Çàìåòèì, ÷òî ñïèðàëüíîñòü íå ñîõðàíÿåòñÿ ïðè
îáùèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ Ëîðåíöà . Íàïðèìåð, åñëè ìû ïåðåéäåì â ñèñòåìó, äâèæóùóþñÿ ïî
÷àñòèöû, ñïèðàëüíîñòü î÷åâèäíî èçìåíèò çíàê.Êàê ìû óæå óïîìèíàëè, 4-ñïèíîð
v
n ñî ñêîðîñòüþ áîëüøå ñêîðîñòè
ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíîìó
ýëåêòðîíó è ÿâëÿåòñÿ çàðÿäîâûì ñîïðÿæåíèåì ñïèíîðà ôèçè÷åñêîé ÷àñòèöû ïîçèòðîíà. Îïðåäåëèì, êàê äåéñòâóåò îïåðàòîð
Σp̌
íà
v:
?
Σp̌v = Σp̌iγ 2 u?pos = −iγ 2 (Σp̌) u?pos = −iλpos γ 2 u?pos = −λpos v,
òî åñòü, åñëè
v
Σp̌,
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ñïèíîðîì îïåðàòîðà
òî ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ðàâíî ìèíóñ
(óäâîåííîé) ñïèðàëüíîñòè ïîçèòðîíà.
3.9.1
Êèðàëüíîñòü. Ñîõðàíåíèå ñïèðàëüíîñòè â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ðàññåÿíèè
Ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû âî âíåøíåì ïîëå ñïèðàëüíîñòü, êîíå÷íî, íå ñîõðàíÿåòñÿ. Ðàññìîòðèì îäíàêî îïåðàòîð
0
γ5 =
1
1
,
0
êîòîðûé íàçîâåì îïåðàòîðîì êèðàëüíîñòè.
Ýòîò îïåðàòîð íå êîììóòèðóåò ñ ãàìèëüòîíèàíîì èç-çà ÷ëåíà
mβ .
Îäíàêî â ïðåäåëå íóëåâîé ìàññû îí êîììóòèðóåò ñ
ãàìèëüòîíèàíîì, äàæå ïðè íàëè÷èè âíåøíåãî ïîëÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì æå ïðåäåëå åãî äåéñòâèå íà
ïëîñêóþ âîëíó (è ñóïåðïîçèöèþ ïëîñêèõ âîëí) ñîâïàäàåò ñ äåéñòâèåì îïåðàòîðà ñïèðàëüíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ
ìàññó ðàâíîé íóëþ, èìååì:
u=
γ5 u =
Äëÿ ñïèíîðà
v
√
√
ϕ
(σn) ϕ
(σn) ϕ
ϕ
ε
ε
èìååì òî æå ñàìîå ñîîòíîøåíèå
√
=
ε
(σn) ϕ
2
(σn) ϕ
= (Σn) u
γ5 v = (Σn) v .
Çàìåòèì, ÷òî ïðåäåë íóëåâîé ìàññû ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è óëüòðàðåëÿòèâèñòñêèé ïðåäåë. Ïîýòîìó ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ñîõðàíÿåòñÿ êèðàëüíîñòü. Äëÿ çàäà÷è ðàññåÿíèÿ âäàëè îò ðàññåèâàþùåãî öåíòðà
âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïîä÷èíÿåòñÿ ñâîáîäíîìó óðàâíåíèþ Äèðàêà è ïîýòîìó â ýòîé îáëàñòè êèðàëüíîñòü ñîâïàäàåò ñî ñïèðàëüíîñòüþ. Äðóãèìè ñëîâàìè, â óëüòðàðåëÿòèâèñòñêîì ðàññåÿíèè ñïèðàëüíîñòü ñîõðàíÿåòñÿ.
3 Îäíàêî
äëÿ áåçìàññîâûõ ÷àñòèö ñïèðàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ Ëîðåíö-èíâàðèàíòîì.
17
3.10
Äâèæåíèå â öåíòðàëüíîì ïîëå.
j âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ
l = j±1/2. ßñíî, ÷òî ñèììåòðèåé ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ P -÷åòíîñòè, à òàêæå, îïðåäåëåííûìè j2 = j (j + 1) , jz = M
 öåíòðàëüíîì ïîëå ñîõðàíÿåòñÿ ïîëíûé ìîìåíò è ÷åòíîñòü ñîñòîÿíèÿ. Ïðè çàäàííîì ïîëíîì ìîìåíòå
áóäåò îáëàäàòü âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñëåäóþùåãî âèäà:
ψ=
ãäå
Ω (n) = Ωjlm (n)
f (r) Ω (n)
,
ig (r) Ω̃ (n)
ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðîâ
P
Ω̃ (n) = − (σn) Ω (n) ,
j2 , l2 , jz .
Ïðîâåðêà òàêîâà:
l
0
ψ (r) → γ ψ (−r) = γ
0
(−1) f (r) Ω (n)
l+1
(−1) ig (r) Ω̃ (n)
!
l
= (−1) ψ (r)
Ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåëåííûì ïîëíûì ìîìåíòîì óäîâëåòâîðÿþò
j2 ψ = j (j + 1) ψ
Ïîêàæåì,÷òî
Ω̃ (n)
òîæå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé îïåðàòîðîâ
j2 , l2 , jz .
Ñ
j2
ýòî ñðàçó ïîíÿòíî. Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî
(σl) Ω (n) = j2 − l2 − 3/4 Ω (n) = [j (j + 1) − l (l + 1) − 3/4] Ω (n)
= [j (j + 1) − (j ∓ 1/2) (j ∓ 1/2 + 1) − 3/4] Ω (n) = [± (j + 1/2) − 1] Ω (n)
Ïðîâåðèì îïåðàòîð
l2
l2 Ω̃ (n) = −l2 (σn) Ω (n) = − (σn) l2 + 2 − 2i (n×σ) l Ω (n) = − [(σn) (l (l + 1) + 2) + 2 (σn) (σl)] Ω (n)
= [l (l + 1) + 2 + 2 (j (j + 1) − l (l + 1) − 3/4)] Ω̃ (n) = (2j − l) (2j − l + 1) Ω̃ (n)
Óïðàæíåíèå.
Ïðîâåðèòü ýòî óòâåðæäåíèå (ó÷åñòü, ÷òî
j = l ± 1/2). Íàéòè ÿâíûé âèä øàðîâûõ ñïèíîðîâ ñëîæåíèåì
ìîìåíòîâ.
3.10.1
Ñïåêòð àòîìà âîäîðîäà
Íàéäåì óðîâíè ýíåðãèè â êóëîíîâñêîì ïîëå. Ïðè ýòîì ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Äèðàêà ñ äîáàâî÷íûì ÷ëåíîì
i eδg µν
µ
γ (i∂ − eA)µ − m +
σ Fµν ψ = 0.
2 4m
Çàïèøåì âîëíîâóþ ôóíêöèþ â âèäå
ψ=
ϕ −iεt
e
χ
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
σ µν Fµν = 2σ 0i F0i = 2 (αE) = 2
Z |e|
(αn) ,
r2
ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
Zα
Zαδg
ε−m+
ϕ = σp + i
σn
χ
r
4mr2
Zαδg
Zα
χ = σp − i
σn
ϕ
ε+m+
r
4mr2
18
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åñëè
Óïðàæíåíèå.
δg 6= 0,
ïðîèñõîäèò ïàäåíèå íà öåíòð.
Ïðîâåðèòü ýòî óòâåðæäåíèå îïðåäåëèâ àñèìïòîòèêó âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëå.
Ðåøàåì äàëåå ïðè
δg = 0.
Èñïîëüçóåì òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííûå ôîðìóëû, èìååì
i
2
σpf (r) Ω (n) = (σn) σpf (r) Ω (n) = (σn) [(np) + iσl/r] f (r) Ω (n) = − (σn) [r∂r + 1 ∓ (j + 1/2)] f (r) Ω (n)
r
i
σpg (r) Ω̃ (n) = − (σn) [r∂r + 1 ± (j + 1/2)] g (r) Ω̃ (n)
r
Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ
Zα
j + 1/2
−1
− ε+m+
g = r ∂r r ∓
f
r
r
Zα
j + 1/2
ε−m+
f = r−1 ∂r r ±
g
r
r
Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå
r−1 ∂r r − κr−1 σz + ε + Zαr−1 iσy + mσx fg = 0
−1
r ∂r r + κr−1 σz − ε + Zαr−1 iσy + mσx , ïîëó÷àåì
h
i
2
r−1 ∂r2 r − κ2 r−2 + ε + Zαr−1 − m2 + r−2 (κσz − iZασy )
Äåéñòâóÿ îïåðàòîðîì
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
(κσz − iZασy ),
î÷åâèäíî, ðàâíû
q
2
±γ = ± κ2 − (Zα) .
f
g
=0
Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè íàéäåííûõ
ðåøåíèé â èñõîäíîå óðàâíåíèå ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íàì íóæåí âåðõíèé çíàê (ïîñêîëüêó ìû äåéñòâîâàëè íà óðàâíåíèå
îïåðàòîðîì, ìû ìîãëè ïîëó÷èòü ëèøíèå ðåøåíèÿ). Ïîñëå ýòîãî îñòàåòñÿ íàéòè óñëîâèå íà íàëè÷èå íóëåâûõ ìîä ó îïåðàòîðà
r−1 ∂r2 r − κ2 r−2 + ε + Zαr−1
2
− m2 + γr−2 = r−1 ∂r2 r −
Ñðàâíèâàÿ ýòîò îïåðàòîð ñ íåðåëÿòèâèñòñêèì ñëó÷àåì
E−H =
r −1 ∂r2 r
2m
−
(γ − 1) γ
2Zαε
+
+ ε2 − m2
r2
r
l(l+1)
2mr 2
+
Zα
r
+ E,
ïîëó÷àåì ñïåêòð èç
2
E=−
çàìåíîé
E→
ε2 −m2
2m ,
m (Zα)
2 (nr + l + 1)
2
l → γ − 1, Zα → Zαε/m:
2
ε2 − m2
m (Zαε/m)
=−
2
2m
2 (nr + γ)
ε= q
m
1+
(Zα)2
(nr +γ)2
2
≈m−
4
4
m (Zα)
3m (Zα)
m (Zα)
+
− 3
+ ...
4
2n
8n
n (2j + 1)
Âèäèì, ÷òî âòîðîé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ íåðåëÿòèâèñòñêîé ýíåðãèåé ñâÿçè. Òðåòèé ÷ëåí ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ïîïðàâêîé, íî
n,
m(Zα)4
íî ðàçíûìè j . Íàïðèìåð, áëàãîäàðÿ ýòîìó ÷ëåíó 2s1/2 è 2p1/2 óðîâíè ëåæàò íèæå óðîâíÿ 2p3/2 (ñ ðàçíèöåé ýíåðãèé
).
32
íå íàðóøàåò âûðîæäåíèå ïî ïîëíîìó ìîìåíòó. ×åòâåðòûé ÷ëåí ïðèâîäèò ê òîíêîìó ðàñùåïëåíèþ óðîâíåé ñ îäèíàêîâûìè
19