Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ Ò.È. Êîðøèêîâà, Ë.È. Êàëèíè÷åíêî, È.Ñ. Øàáàðøèíà ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÐßÄÛ Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê êóðñó ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ñòóäåíòîâ 2 êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2004 ã. Äàííûå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ñòóäåíòîâ 2-ãî êóðñà îòäåëåíèÿ Ìàòåìàòèêà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ, ñîñòàâëåíû ñ ó÷åòîì ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïå÷àòàþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÐÃÓ, ïðîòîêîë îò 23 äåêàáðÿ 2003 ã. 1 Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ïóñòü X íåïóñòîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî, D(X) ñîâîêóïíîñòü âñåõ âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà ìíîæåñòâå F : N −→ D(X) ìåíò fn fn , Îòîáðàæåíèå íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, îïðåäå- ë¼ííîé èëè çàäàííîé íà îáîçíà÷èì ÷åðåç X. X. F (n) Îáðàç ÷èñëà n à âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷åðåç ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè {fn (x)}. Êàæäûé ýëå- ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, îïðåäåë¼ííîé íà ìíîæåñòâå X. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñîïîñòàâëÿåò êàæäîìó x0 ∈ X {fn (x0 )}. x0 ∈ X è ÷èñëîâàÿ ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Îïðåäåëåíèå 1.1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )} x0 íàçûâàþò òî÷êîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} è ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 . f Ìíîæåñòâî X ⊂ X âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäèòñÿ, òî íàçûâàþò îáëàñòüþ å¼ ñõîäèìîñòè è ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå Îïðåäåëåíèå 1.2. f X . {fn (x)} ïîf : x ∈ X → n→∞ lim fn (x) íàçûâàþò Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå f X. Ôóíêöèþ f ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõî- f f íà ìíîæåñòâå X çàïèñûâàþò ñèìâîëè÷åñêè ñëåäóþùèì îáðàçîì: fn (x) −→ f (x) èëè f (x) = lim fn (x), ∀x ∈ X . n−→∞ Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íà ìíîæåñòâå X (èëè èíà÷å : ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} f ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê f (x) íà ìíîæåñòâå X ), åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 è êàæäîãî f x ∈X íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (ε, x), ÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ äèòñÿ ê ôóíêöèè X íåðàâåíñòâî |fn (x) − f (x)| < ε. (1.1) Î÷åâèäíî, ÷òî èç êðèòåðèÿ Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò êðèòåðèé ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ïîòî÷å÷íî f ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå X, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî f ε > 0 è êàæäîãî x ∈ X íàø¼ëñÿ íîìåð N = N (ε, x) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |fn (x) − fm (x)| < ε. Òåîðåìà 1.1. 3 Ïðèìåð 1.1. n ∈ N, Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëåíà íà R. {fn (x)}: fn (x) = xn , Òàê êàê n lim x = n−→∞ è íå ñóùåñòâóåò ïðåäåë â òî÷êå 0, 1, ∞, |x| < 1, x = 1, |x| > 1, åñëè åñëè åñëè x0 = −1, òî ïðîìåæóòîê (−1; 1] ÿâëÿåòñÿ îáëà- ñòüþ ñõîäèìîñòè äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ôóíêöèÿ f (x) = 0, 1, åñëè åñëè |x| < 1, x=1 f X = (−1; 1]. Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 1, õîòÿ âñå ÷ëåíû äàííîé ÿâëÿåòñÿ å¼ ïðåäåëüíîé íà ìíîæåñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíû â íåé. Îïðåäåëåíèå 1.3. {fn (x)}, îïðåäåëåííàÿ íà X , íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 ⊂ X , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N è âñåõ x ∈ X0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |fn (x) − f (x)| < ε. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Òîò ôàêò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f (x) íà X, {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè X ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàþò: fn (x) ⇒ f (x). Çàìå÷àíèÿ. 1.  îïðåäåëåíèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëü- N íîñòè â îòëè÷èå îò ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè íîìåð íå çàâèñèò îò òî÷åê x ìíîæåñòâà çàâèñèò òîëüêî îò ε è X0 . 2. Èç îïðåäåëåíèÿ 1.3 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòâå {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè X0 , òî îíà ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê f íà f íà ìíîæå- X0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíîé ñõîäèìîñòüþ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîòî÷å÷íîé è f X0 ⊂ X . {fn (x)} ÿâëÿ∀x ∈ X , ∀n ∈ N, è ÷èñ- 3. Åñëè êàæäàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åòñÿ ïîñòîÿííîé íà ìíîæåñòâå X, ò.å. fn (x) = cn , X ëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cn } ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ì n→∞ lim cn = c, òî fn (x) ⇒ c. 4. Íà êàæäîì êîíå÷íîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà f X cõîäèìîñòè ôóíêöèî- íàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. 4 5. Åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâàõ X1 è X2 , òî îíà ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå S f X = X1 X2 , è íàîáîðîò. Ãåîìåòðè÷åñêè ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ε-ïîëîñû Gε = {(x, y) ∈ R2 | f (x) − ε < y < f (x) + ε, x ∈ X} N = N (ε), ÷òî ãðàôèêè ïîëîñå Gε (ñì. ðèñ.1). íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð n>N ïðèíàäëåæàò ôóíêöèé y = fn (x) ñ íîìåðàìè (ðèñ.1) Ïðèìåð 1.2. Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) = n = x ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f (x) ≡ 0 íà ëþáîì îòðåçêå [−q; q], åñëè 0 < q < 1, è íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ïðîìåæóòêå [0, 1].  ñàìîì äåëå, äëÿ q ∈ (0; 1) ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0 (ñì. ïðèìåð 1.1) è |fn (x) − f (x)| = |xn | ≤ q n , ∀x ∈ [−q; q], ∀n > N. lim q n = 0, q n < ε, ∀n > N .  ε>0 Ïîñêîëüêó òî äëÿ ëþáîãî ñóùåñòâóåò íîìåð ÷òî ñèëó íåðàâåíñòâà (1.2) èìååì: (1.2) N = N (ε) òàêîé, |fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N, ∀x ∈ [−q; q]. Ñëåäîâàòåëüíî, [−q;q] fn (x) ⇒ 0, Íà îòðåçêå [0, 1] åñëè q ∈ (0; 1). ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà f (x) = 0, 1, åñëè åñëè x ∈ [0; 1), . x=1 (ðèñ.2) {xn } ê ëþáîãî N ∈ N Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèè f [0; 1] ñëåäóåò íàéòè òàêîå ε0 > 0, ÷òî n > N è òî÷êà xn ∈ [0; 1], äëÿ êîòîðûõ íà îòðåçêå ñóùåñòâóåò íîìåð |fn (xn ) − f (xn )| ≥ ε0 . 5 äëÿ Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè 1 ∈ [0; 1], ∀n ∈ N, n ! 1 n . |fn (xn ) − f (xn )| = 1 − n = 1e , òî ñóùåñòâóåò òàêîå n0 , ÷òî xn = 1 − Ïîñêîëüêó lim 1 − 1 n n 1 1− n Cëåäîâàòåëüíî, åñëè = (1 − 1 n) ∈ [0; 1] ε0 = 1 2e , òî !n > ∀N > n0 äëÿ âñåõ n > n0 1 . 2e íàéä¼òñÿ òàêîå n > N, ÷òî xn = è |fn (xn ) − f (xn )| > 1 = ε0 . 2e Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [0; 1]. Íåðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ê ôóíêöèè f (x) íà [0;1] xn ⇒ f (x). Òîãäà äëÿ ÷èñëà ñóùåñòâóåò íîìåð N , òàêîé, ÷òî ïðè n > N äëÿ âñåõ x ∈ [0; 1) 1 1 n n ∈ [0; 1), n ∈ N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |x − 0| = x < . Îäíàêî äëÿ xn = √ n 3 2 [0; 1] ε = 31 îòðåçêå ìîæíî äîêàçàòü èíà÷å. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååì: (xn )n = 1 1 > , n ∈ N. 2 3 Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íåðàâíîìåðío ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà îòðåçêå [0; 1]. Çàìå÷àíèÿ. 1. Èç ïðèâåä¼ííûõ äîêàçàòåëüñòâ âòîðîé ÷àñòè ïðèìåðà 1.2 ñëåäóåò, ÷òî [0;1) xn 6⇒ f (x) = 0. 2. Íåðàâíîìåðíaÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè [0; 1] {xn } ê ôóíêöèè f (x) íà [0; 1) ïîíÿòíà è èç ðèñóíêà 2. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ n ëþáîãî ε ∈ (0; 1) íà [0, 1) ãðàôèêè ôóíêöèé y = x íå âõîäÿò öåëèêîì â ïîëîñó ìåæäó ïðÿìûìè y = 0 è y = ε. 2 èëè ïðîìåæóòêå Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè Åñëè ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn(x)} è {φn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî èõ ñóììà {fn (x) + φn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Òåîðåìà 2.1. 6 X X / Ôèêñèðóåì ε > 0. Òàê êàê fn (x) ⇒ f (x) è φn (x) ⇒ φ(x), òî ïî îïðåäåëåíèþ 1.3 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X ε ε |fn (x) − f (x)| < , |φn (x) − φ(x)| < 2 2 Ïîýòîìó ∀n > N, ∀x ∈ X |(fn (x) + φn (x)) − (f (x) + φ(x))| ≤ |fn (x) − f (x)| + |φn (x) − φ(x)| < ε. . Åñëè ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn} ñõîäèòñÿ, à ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ê îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèè f , òî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {αn · fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Òåîðåìà 2.2. / lim αn = α. ßñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn · fn (x)} ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè α · f (x) è Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà |αn · fn (x) − α · f (x)| ≤ |αn ||fn (x) − f (x)| + |f (x)||αn − α| Èç îãðàíè÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äóåò, ÷òî íàéä¼òñÿ M >0 {αn } è ôóíêöèè f (2.1) íà ìíîæåñòâå X ñëå- òàêîå, ÷òî |αn | ≤ M, ∀n ∈ N, è |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ X. Äàëåå, ïîñêîëüêó ÷òî αn → α X è fn (x) ⇒ f (x), òî íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ε , ∀n > N 2M ε |fn (x) − f (x)| < , ∀n > N, ∀x ∈ X. 2M ∀n > N è ∀x ∈ X. |αn − α| < Ñëåäîâàòåëüíî, |αn fn (x) − α · f (x)| ≤ |αn | · |fn (x) − f (x)| + |f (x)| · |αn − α| ≤ M ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Çàìå÷àíèå. {fn (x)} ε ε +M = ε, 2M 2M . Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå îíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αfn (x)} X, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà α ôóíêöè- ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå. 7 X. 3 Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Äëÿ òîãî ÷òîáû {fn(x)} ñõîäèëàñü ê f (x) ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn} : Òåîðåìà 3.1. αn = sup |fn (x) − f (x)|, n ∈ N, x∈X áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé. / Íåîáõîäèìîñòü. {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.3, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ∀n > N ∀x ∈ X ε |fn (x) − f (x)| < . 2 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ïîýòîìó sup |fn (x) − f (x)| ≤ x∈X ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } ε < ε, ∀n > N, 2 ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé. n âåëè÷èíà αn αn ∈ R. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ íîìåðîâ íî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, Äîñòàòî÷íîñòü. íîìåð N = N (ε) ìîæåò áûòü ðàâíà +∞, lim αn = 0, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ αn < ε, ∀n > N , ò.å. Ïî óñëîâèþ òàêîé, ÷òî sup |fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N. x∈X Ïîýòîìó |fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N, ∀x ∈ X, X à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî fn (x) ⇒ f (x) . Î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâà Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f (x) è çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)}. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn}, ÷òî ∀n ∈ N Òåîðåìà 3.2. |fn (x) − f (x)| ≤ αn , ∀x ∈ X, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . 8 Ïðèìåð 3.1. Èññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} : fn (x) = arctg nx [δ, +∞), δ > 0 íà ìíîæåñòâàõ / è (0; +∞). Î÷åâèäíî,÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà f (x) = π , ∀x ∈ (0; +∞). 2 Òàê êàê 0≤ π sup x≥δ 2 − arctg nx ! π π = sup − arctg nx = − arctg nδ −→ 0, n → ∞, 2 x≥δ 2 [δ;∞) òî π 2 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, π − arctg(nx) ≥ − arctg(n 2 arctg nx ⇒ π sup x>0 2 (0;+∞) Ïîýòîìó arctg nx 6⇒ · 1/n) = π π π − = , ∀n ∈ N. 2 4 4 π 2. . Ïóñòü fn : X ⊂ R → R, n ∈ N. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâîâàë òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n > N, ëþáîãî p ∈ N è âñåõ òî÷åê x ∈ X âûïîëíÿëîñü óñëîâèå Òåîðåìà 3.3 (êðèòåðèé Êîøè). |fn+p (x) − fn (x)| < ε. / Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ íà (3.1) X ïîñëåäî- f (x) å¼ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.3 äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ N = N (ε) ∈ N òàêîå, ÷òî ∀n > N, ∀x ∈ X ε |fn (x) − f (x)| < . 2 Òîãäà ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X âàòåëüíîñòü è |fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x) − f (x)| + |f (x) − fn (x)| < ε, ò. å. âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè (3.1) ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äîñòàòî÷íîñòü. ñèðîâàííîãî âàòåëüíîñòè Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (3.1), òîãäà äëÿ êàæäîãî ôèê- x ∈ X âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäî{fn (x)}, à ïîòîìó îíà ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèîíàëüíàÿ 9 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ïóñòü f (x) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. X fn (x) ⇒ f (x).  ñèëó óñëîâèÿ (3.1) äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáûõ n > N, p ∈ N è x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ Äîêàæåì, ÷òî íîìåð óñëîâèå ε |fn+p (x) − fn (x)| < . 2 Çàìå÷àÿ, ÷òî f (x) = lim fn+p (x), ∀x ∈ X , ∀n ∈ N, ïåðåõîäÿ p→∞ íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè p → +∞, ïîëó÷èì ε |f (x) − fn (x)| ≤ < ε, ∀x ∈ X, ∀n > N. 2 Ýòî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ïîñëåäíåì {fn (x)} ê f (x) íà X. . 4 Ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî X ⊂ R. {fn (x)}, îáëàñòüþ îïðå- Ôîðìàëüíî çàïèñàííóþ ñóììó f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + . . . íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì, à ìíîæåñòâî X (4.1) îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ðÿäà (4.1). Êàê è äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ èçó÷åíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (4.1) ýêâèâàëåíòíî èçó÷åíèþ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Sn (x) = n X {Sn (x)} : fk (x), n ∈ N, k=1 åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì. Îïðåäåëåíèå 4.1. Ìíîæåñòâî f X òåõ òî÷åê x ∈ X, â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ (àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ) ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñëîâîé ðÿä, íàçûâàþò îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè (àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè) ðÿäà (4.1). Èíûìè ñëîâàìè: îáëàñòü f X ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1) åñòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì åãî. ×àñòî íàçûâàþò îáëàñòüþ ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1). Íà ìíîæåñòâå äåëåíà ôóíêöèÿ íîñòè S(x), f X f X îïðå- êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëü- {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà (4.1), å¼ íàçûâàþò ñóììîé ðÿäà (4.1). Îïðåäåëåíèå 4.2. äèòñÿ íà ìíîæåñòâå Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõî- X, ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X. 10 {Sn (x)} åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì Èç îïðåäåëåíèÿ (4.2) è êðèòåðèåâ 3.1 è 3.3 ñëåäóþò Ïóñòü S(x) ñóììà ðÿäà íà ìíîæåñòâå X . Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn} : Òåîðåìà 4.1. (4.1) (4.1) αn = sup |Sn (x) − S(x)| = sup |Rn (x)|, x∈X x∈X ∞ P ãäå Rn(x) = k=n+1 fk (x), ÿâëÿëàñü áåñêîíå÷íî ìàëîé. Òåîðåìà 4.2 (Êîøè). Ïóñòü X îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà . Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàø¼ëñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N , äëÿ ëþáûõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå n+p (4.1) (4.1) | X fk (x)| < ε. k=n+1 Ñëåäñòâèå 4.2.1. ðÿäà). (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) = 0, íà ìíîæåñòâå X . (4.1) Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïðèìåð 4.1. Èññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà ìíîæåñòâå R ðÿä (−1)n . 2 n=1 n + x ∞ X / Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x∈R äàííûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ëåéáíè- öåâñêîãî òèïà, ïîýòîìó â ñèëó îöåíêè îñòàòêîâ ëåéáíèöåâñêîãî ðÿäà ∞ X k=n+1 (−1)k 1 1 ≤ ≤ , ∀n ∈ N, ∀x ∈ R. k + x2 n + x2 + 1 n + 1 Ïîýòîìó αn = sup |Rn (x)| ≤ x∈R 1 , ∀n ∈ N, n+1 è, ñîãëàñíî òåîðåìå 4.1, ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå . R. 11 5 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà Åñëè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ∞ P fn (x) ñóùåñòâóåò ñõîäÿùèéñÿ ÷èñëîâîé ðÿä cn òàêîé, ÷òî |fn (x)| ≤ cn , n=1 n=1 ∞ P ∀n ∈ N, ∀x ∈ X, òî ðÿä fn (x) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà X . n=1 ∞ P Òåîðåìà 5.1 (ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà). / ∞ P Ïî óñëîâèþ ðÿä ÷èñëîâîãî ðÿäà n=1 cn ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòè ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N X p cn+k k=1 ∀x ∈ X Íî p X |fn+k (x)| ≤ k=1 p X < ε. cn+k (x), ∀n ∈ N, ∀p ∈ N. k=1 Ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíî- . ãî ðÿäà. Ïóñòü fn : X ⊂ R −→ R è αn = x∈X sup |fn (x)|, ∞ P ∀n ∈ N. Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä αn ñõîäèòñÿ, òî ðÿä ðàâíîìåðíî è àán=1 ñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ñëåäñòâèå 5.1.2. Åñëè αn = sup |fn (x)| 6→ 0, òî ðÿä íå ÿâëÿåòñÿ x∈X ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà ìíîæåñòâå X . ∞ P Çàìå÷àíèå. αn −→ 0 αn n=1 Ñëåäñòâèå 5.1.1. (4.1) (4.1) Åñëè , íî ðÿä ðàñõîäèòñÿ, òî íè÷åãî îïðåäåë¼ííîãî î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1) íà ìíîæåñòâå X ñêàçàòü íåëüçÿ. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð. Ïðèìåð 5.1. Èññëåäóåì íà îòðåçêå [0;1] íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä ∞ X fn (x), n=2 ãäå fn (x) = 0, 1 n sin 2n πx, åñëè 1 x ∈ [0; 21n ) ∪ ( 2n−1 ; 1], åñëè 1 x ∈ [ 21n , 2n−1 ], 12 / Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ # 1 1 x = 0, xk = k , k ∈ N, x ∈ , 1 2 2 x ∈ (0; 21 ) è x 6= 21k , k ∈ N, 1 ). Ïîýòîìó äëÿ x ∈ ( 21k , 2k−1 ÷ëåíû ðÿäà ðàâíû íóëþ. Äàëåå, äëÿ ëþáîãî ñòâóåò åäèíñòâåííîå k ∈ N, k ≥ 2 òàêîå, ÷òî ñóùå- ! 1 1 x ∈ k , k−1 , k ≥ 2 2 2 Rn (x) = è k ≥n+1 1 · sin 2k πx. k Ñëåäîâàòåëüíî, 0 ≤ sup |Rn (x)| ≤ x∈[0,1] 1 , n ∈ N, n ≥ 2, n+1 ò.å. lim sup |Rn (x)| −→ 0, x∈[0,1] ÷òî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü äàííîãî ðÿäà íà îòðåçêå [0;1] (ñì. òåîðåìó 4.1). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, αn = sup |fn (x)| = x∈[0;1] è ðÿä ∞ P n=1 αn 1 , n≥1 n . ðàñõîäèòñÿ. Ïðèâåä¼ì åù¼ ïðèìåð. Ïðèìåð 5.2. Äîêàçàòü, ÷òî ðÿä ∞ X 1 n (x + 3x−n ) n=1 n! ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå / Î÷åâèäíî, ÷òî [ 21 ; 2] ∀n ∈ N, ∀x ∈ [ 12 ; 2] 1 n 1 1 (x + 3x−n ) ≤ 2n + 3 · n! n! 2 Ïîñêîëüêó ðÿä !−n = 4 · 2n . n! 4 · 2n n=1 n! ∞ X ñõîäèòñÿ, òî â ñèëó ïðèçíàêà Âåéåðøòðàññà äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [ 21 ; 2]. . 13 Îïðåäåëåíèå 5.1. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X, ñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå M > 0, ÷òî {fn (x)} íàçûâàåò- åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî |fn (x)| ≤ M, ∀n ∈ N, ∀x ∈ X Òåîðåìà 5.2 (ïðèçíàê Äèðèõëå). ∞ X Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà an (x)bn (x) (5.1) n=1 òàêîâû, ÷òî X 1) an(x) ⇒ 0; 2) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {a∞n(x0)} ìîíîòîííà; P 3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn(x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà n=1 bn (x) ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå X ; òî ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X. (5.1) / Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû áàçèðóåòñÿ íà êðèòåðèè Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõî- äèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà è ïîâòîðÿåò, ïî÷òè äîñëîâíî, äîêàçàòåëüñòâî . ïðèçíàêà Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ïðèìåð 5.3. Ðàññìîòðèì ðÿä ∞ X sin nx n=1 n + x (5.2) [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π); èíòåðâàëå (0; 2π). à) íà îòðåçêå á) íà / a) Äëÿ x ∈ [ε; 2π − ε], |Bn (x)| = n X sin kx k=1 ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íî îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå ≤ 1 1 x ≤ ε , ∀n ∈ N, | sin | sin 2 2 {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π), ∞ P n=1 (5.3) sin nx ðàâíîìåð- è óñëîâèå 3) ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíåíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1 . n+x x ∈ [ε; 2π − ε] {an (x)} : an (x) = Î÷åâèäíî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ â êàæäîé òî÷êå ùåé è áåñêîíå÷íî ìàëîé. Ïîñêîëüêó sup |an (x)| = x∈[ε;2π−ε] 14 1 −→ 0, n+ε ìîíîòîííî óáûâàþ- [ε;2π−ε] òî â ñèëó òåîðåìû 3.1 an (x) ⇒ 0. Âñå òðåáîâàíèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå (òåîðåìû 5.2) âûïîëíåíû, ïîýòîìó ðÿä (5.2) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì îòðåçêå á) Íà èíòåðâàëå [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π). (0; 2π) îöåíêà òèïà (5.3) íå èìååò ìåñòà. Îäíàêî ∀x ∈ (0; 2π) îíà äàåò ïðàâî óòâåðæäàòü, ÷òî ðÿä (5.2) ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (0; 2π). Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä (5.2) ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ýòîì ìíîæåñòâå. Âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Êîøè, ò.å. óêàæåì òàêîå ε0 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî N ∈ N íàéäóòñÿ òàêèå çíà÷åíèÿ p ∈ N, n ∈ N, n > N è xn ∈ (0; 2π), ÷òî n+p X k=n+1 Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ xn = sin kxn ≥ ε0 . k + xn π 6n ïðè k ∈ N, k ∈ [n; 5n] èìååì: 1 sin kxn ≥ . 2 N , âçÿâ n > N, pn = 4n, xn = Ïîýòîìó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî π 6n ∈ (0; 2π), ïîëó÷èì: n+p X k=n+1 5n 5n sin πk X sin kxn 1 X 1 6n ≥ > = k + xn k=n+1 k + π 2 k=p+1 k + 1 6n 1 1 4(n − 1) > · · (4n − 1) > . 2 5n + 1 2 · 5(n + 1) Òàê êàê n−1 n+1 > 12 , à n−1 → 1 ïðè n → +∞, òî íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N0 , ÷òî ∀n > N0 n+1 π ïîýòîìó ∀N > N0 ∀n > N íàìè íàéäåíû pn = 4n, xn = 6n òàêèå, ÷òî n+p X k=n+1 Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ε0 ìîæíî âçÿòü íåðàâíîìåðíî íà èíòåðâàëå sin kxn 1 > . k + xn 5 1 5 . Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðÿä (5.2) ñõîäèòñÿ (0; 2π). Òåîðåìà 5.3 (ïðèçíàê Àáåëÿ). . Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (5.1) òàêîâû, ÷òî 1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an(x)} ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà X, 2) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x0 )} ìîíîòîííà, ∞ P 3) ðÿä n=1 bn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . (5.1) 15 M > 0 òàêîå, ÷òî |an (x)| ≤ M , ∀n ∈ N, ∀x ∈ X. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.  ñèëó óñëîâèÿ 3) ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî ïðè âñåõ n > N, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåí/ Ñîãëàñíî 1) ñóùåñòâóåò ñòâî | p X bn+k (x)| < k=1 ε . 3M p∈N è Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, ýòî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà (5.1). . Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 2), â ñèëó íåðàâåíñòâà Àáåëÿ äëÿ âñåõ x∈X âñåõ n > N, âñåõ ïîëó÷èì: | p X an+k (x)bn+k (x)| < k=1 Çàìå÷àíèå. ε (|an+1 (x)| + 2|an+p (x)|) ≤ ε. 3M Óñëîâèå 2) â ïðèçíàêàõ Äèðèõëå è Àáåëÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåí- íûì. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïîäòâåðæäàþùèé âûñêàçûâàíèå. Ïðèìåð 5.4. Ðàññìîòðèì ðÿä ∞ X (1 − cos nx) cos nx , n n=1 π 3π x ∈ [ ; ]. 4 4 1 − cos nx , bn (x) = cos nx, n ∈ N. n Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà / Ïóñòü an (x) = îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [ π4 ; 3π 4 ], ∞ P n=1 cos nx ðàâíîìåðíî òàê êàê " # 1 1 π 3π ; . |Bn (x)| ≤ x ≤ π , ∀n ∈ N, ∀x ∈ sin 2 sin 8 4 4 Äàëåå, 1 − cos nx 2 ≤ , ∀x ∈ R, n n ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)} ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íà ìíîæåñòâå R, h i π 3π à çíà÷èò è íà îòðåçêå ; (ñì. òåîðåìó 3.1). h 4 4i π π 3π  òî÷êå x0 = 2 ∈ 4; 4 0≤ 0, 0, (1 − cos nx0 ) cos nx0 = n − åñëè n = 4k, n = 4k + 1, åñëè n = 4k + 2, åñëè 4k + 3 åñëè 1 , 2k + 1 0, 16 , k ∈ N, Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä â ýòîé òî÷êå èìååò âèä: ∞ X −1 . k=1 2k + 1 (5.4) Òàê êàê ðÿä (5.4) ðàñõîäèòñÿ, òî äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå h ïîýòîìó îí íå ìîæåò ðàâíîìåðíî ñõîäèòüñÿ íà îòðåçêå π 3π 4; 4 i . x0 = π 2, à Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî äëÿ äàííîãî ðÿäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1) è 3) ïðèçíàêà Äèðèõëå. Çíà÷èò, òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëþáîãî x0 ∈ X 6 {an (x0 )} äëÿ . íå âûïîëíåíî è ñóùåñòâåííî. Ñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè è ñóììû ðÿäà Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f (x), a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë n→a lim fn (x) = an , ∀n ∈ N. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } ñõîäèòñÿ, ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå a è Òåîðåìà 6.1 (î ïðåäåëå ïðåäåëüíîé ôóíêöèè). lim f = lim an , a ò.å. / lim lim f (x) x→a n→∞ n = n→∞ lim x→a lim fn (x). Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ. X Ïî óñëîâèþ Ïåðåõîäÿ â fn (x) ⇒ f (x), ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû 3.3 ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X ε |fn+p (x) − fn (x)| < . 2 ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè x → a, ïîëó÷èì ε |an+p − an | ≤ < ε, ∀n > N, ∀p ∈ N, 2 ÷òî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an }. Ïîëîæèì, ÷òî lim an = d. Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ∀n0 ∈ N lim f (x) = d. x→a Î÷åâèäíî, ÷òî |f (x) − d| = |f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) − an0 + an0 − d| ≤ ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − an0 | + |an0 − d|. 17 ∀x ∈ X , Òàê êàê an → d X è fn (x) ⇒ f (x), òî ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X ε 3 |fn (x) − f (x)| < n0 > N, òî äëÿ íåãî âûïîëíåíû lim f (x) = an0 , ïîëó÷èì: x→a n0 Åñëè ÷òî ∃Ua : ∀x ∈ X Ñëåäîâàòåëüíî, ∀x ∈ X \ o Ua è ε |an − d| < . 3 ïðåäûäóùèå íåðàâåíñòâà è, ó÷èòûâàÿ ε |fn0 (x) − an0 | < . 3 T o Ua |f (x) − d| < ε ε ε + + = ε, 3 3 3 ò.å. ∃ lim f = d. . a Òåîðåìà 6.2. (î íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè â òî÷êå). Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f (x) è a ∈ X. Åñëè ôóíêöèè fn íåïðåðûâíû â òî÷êå a äëÿ âñåõ n ∈ N, òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå a. / Åñëè a∈X è ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé òî÷êîé ìíîæåñòâà X, òî f íåïðå- ðûâíà â íåé. Åñëè a∈X è ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà ðûâíîñòè ôóíêöèè fn â òî÷êå X, òî â ñèëó íåïðå- a lim fn = fn (a), ∀n ∈ N. a Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 è ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òî÷êå a lim f (x) = n→∞ lim fn (a) = f (a), x→a ÷òî îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå a. . Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà X, òî å¼ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà X. Ñëåäñòâèå 6.2.2. Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X è fn(x) ∈ C(X), ∀n ∈ N. X Åñëè ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà X, òî fn(x) 6⇒ f (x). Ñëåäñòâèå 6.2.1. 18 Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X è åãî ñóììà ðàâíà S(x), n=1 a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë lim fn = cn , ∀n ∈ N. Òîãäà ÷èñëîâîé ðÿä a ∞ P Òåîðåìà 6.3 (î ïðåäåëå ñóììû ðÿäà). ∞ X cn (6.1) n=1 ñõîäèòñÿ, ñóùåñòâóåò ïðåäåë x→a lim S(x) è lim S(x) = x→a ò.å. lim x→a ∞ X fn (x) = n=1 ∞ X cn , (6.2) n=1 ∞ X n=1 lim f (x), x→a n Òåîðåìó 6.3 ÷àñòî íàçûâàþò òåîðåìîé î ïî÷ëåííîì ïåðåõîäå ê ïðåäåëó äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. / Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà íîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X lim S (x) = x→a n ê ôóíêöèè n X S(x) ∞ P n=1 fn (x) ðàâ- è ck := Cn , n ∈ N, k=1 òî ïî òåîðåìå 6.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Cn } ñõîäèòñÿ è ñóùåñòâóåò lim S(x) = n→∞ lim Cn . x→a Íî Cn ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (6.1), ïîýòîìó ìû äîêàçàëè ñõîäèìîñòü ðÿäà . (6.1) è ðàâåíñòâî (6.2). Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä n=1 fn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X, a ∈ X è fn íåïðåðûâíû â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ), òî ñóììà ðÿäà íåïðåðûâíà â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ). Òåîðåìà 6.4 (î íåïðåðûâíîñòè ñóììû ðÿäà). ∞ P Òåîðåìà ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.3 ñ ó÷¼òîì îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå. Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèé ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà X è ñóììà ðÿäà íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà X, òî ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X . Ñëåäñòâèå 6.4.1. 19 Çàìå÷àíèå 1. Òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà ñóùåñòâåííî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû 6.4 è ñëåäñòâèÿ. Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ñêàçàííîãî ðàññìîòðèì Ïðèìåð 6.1. Èññëåäóåì ðÿä x2 2 n n=1 (1 + x ) ∞ X íà îòðåçêå / [−1, 1]. Çàìåòèì, ÷òî ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìå- 1 q = 1+x 2 ìíîæåñòâà R. íàòåëåì è ïåðâûì ÷ëåíîì a1 = x2 1+x2 . Îí ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå Äîêàæåì, ÷òî äàííûé ðÿä íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå ñòâèòåëüíî, Rn (0) = 0, à ïðè Äåé- x 6= 0 x2 Rn (x) = [−1; 1]. 1 1− 1 + x2 2 n+1 (1 + x ) Ïîñêîëüêó ! = 1 , (1 + x2 )n 1 1 sup |Rn (x)| ≥ Rn √ = 1 + n n x∈[−1;1] !−n ∀n ∈ N. 1 −→ , e [−1;1] Rn (x) 6⇒ 0, à ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [−1; 1]. Çàìåòèì, ÷òî åãî ñóììà S(x) òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 0, õîòÿ ÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû íà R. . Òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà íåïðåðûâíûõ íà X òî ïî òåîðåìå 3.1 Çàìå÷àíèå 2. ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, íî íå íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ñóììû ðÿäà. Íàïðèìåð, ðÿä ∞ X nx (n − 1)x − 2 2 1 + (n − 1)2 x2 n=1 1 + n x èìååò íà îòðåçêå [0; 1] ñóììó ñõîäèòñÿ ðÿä íåðàâíîìåðíî íà S(x) = 0, [0; 1]. ÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû íà [0; 1], à Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ðÿäà) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè (ñóììû ðÿäà) íà ìíîæåñòâå X. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ 20 Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} íå óáûâàåò (èëè íå âîçðàñòàåò) â êàæäîé òî÷êå x çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà X ⊂ R è ñõîäèòñÿ íà X ê ôóíêöèè f (x). Åñëè âñå ÷ëåíû fn (x) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíû íà X , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Òåîðåìà 6.5 (Äèíè). / Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x ∈ X. óáûâàåò â êàæäîé òî÷êå òåëüíîñòü {rn (x)} 1) ôóíêöèè Ïîëîæèì rn (x) = f (x) − fn (x). {fn (x)} íå Ïîñëåäîâà- îáëàäàåò ñâîéñòâàìè: rn (x) íåîòðèöàòåëüíû è íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå 2) â êàæäîé òî÷êå x∈X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 3) â êàæäîé òî÷êå x∈X ñóùåñòâóåò ïðåäåë {rn (x)} íå âîçðàñòàåò; lim r (x) n→∞ n Äîêàæåì, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X; = 0. {rn (x)} ê r(x) = 0 íà X ÿâ- ëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé.Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì "îò ïðîòèâíîãî". Äîïóñòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X íåðàâíîìåðíî, ò.å. äëÿ íåêîòîðîãî îäíà òî÷êà xn ìíîæåñòâà X {rn (x)} ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè r(x) = 0 íà ε0 > 0 è ëþáîãî n ∈ N íàéä¼òñÿ õîòÿ áû òàêàÿ, ÷òî rn (xn ) ≥ ε0 .  ñèëó îãðàíè÷åííîñòè ìíîæåñòâà ñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } rn (x) è ëåììû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç ïî- ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå öèè X íåïðåðûâíû â {xnk }, ñõîäÿ- c ∈ X (X çàìêíóòîå ìíîæåñòâî). Ïî óñëîâèþ ôóíêòî÷êå c, ïîýòîìó rn (xnk ) → rn (c) ïðè k → ∞, ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó rnk (xnk ) ≥ ε0 , {rn (x)} íå âîçðàñòàåò â êàæäîé òî÷êå x ∈ X, m ∈ N íîìåð nk òàêîé, ÷òî nk > m, ïîëó÷èì à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëÿ êàæäîãî òî, âûáðàâ rm (xnk ) ≥ rnk (xnk ), à çíà÷èò ∀nk : nk > m, rm (xnk ) ≥ ε0 . Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè k → +∞, ïîëó÷èì rm (c) ≥ ε0 , ∀m ∈ N, ÷åãî áûòü íå ìîæåò, ò.ê. rm (c) → 0 ïðè m → +∞. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå . äîêàçûâàåò òåîðåìó. 21 Çàìå÷àíèå1. ìíîæåñòâà X Òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñóùåñòâåííî äëÿ òåîðåìû Äèíè. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}: [0; π] i h sin nx, åñëè x ∈ 0; πn , 0, åñëè x∈ fn (x) = èìååì íà {fn (x)} â òî÷êàõ π n; π i f (x) = 0, ∀x ∈ [0; π], ∀n ∈ N ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ ýòîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî, òàê êàê sup |fn (x) − f (x)| ≥ x∈[0;π] Çàìå÷àíèå 2. fn π 2n ! íî íå ñõîäèòñÿ íà ! π = sin n · = 1. 2n Òðåáîâàíèå êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà X ñóùåñòâåííî äëÿ òåî- ðåìû Äèíè. {xn } ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0 íà ìíîæåñòâå X = [0; 1), êàæäàÿ ôóíêöèÿ fn (x) è f (x) íåïðåðûâíà íà X , â n êàæäîé òî÷êå x ∈ [0; 1) ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x } óáûâàåò. Îäíàêî Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü [0;1) fn (x) 6⇒ 0 (ñì. çàìå÷àíèå ê ïðèìåðó 1.2). Ïðèâåä¼ì ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Äèíè äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ. Ïóñòü âñå ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íåïðåðûâíû è íåîòðèöàòåëüíû (èëè ïîëîæèòåëüíû) íà çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå X ⊂ R. Åñëè ðÿä ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà X è åãî ñóììà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèåé, òî ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Òåîðåìà 6.6.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Äèíè ðàññìîòðèì Ïðèìåð 6.2. Èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}: fn (x) = xn íà [0; q], q ∈ (0; 1). f (x) ≡ 0. Ôóíêöèè fn (x) = x è f (x) = 0 íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå X = [0; q], q ∈ (0; 1) è â êàæäîé n òî÷êå x ∈ [0; q] ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {x } íå âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó, ñîÏðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà n ãëàñíî òåîðåìå 6.5, ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0; q], q ∈ (0; 1). Òåîðåìà 6.7. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). fn [a; b], Ïóñòü ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå n ∈ N, è ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [a; b]. 22 Òîãäà ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {aRb fn(x)dx} ñõîäèòñÿ è Zb lim n→∞ ò.å. Zb fn (x)dx = a Zb fn (x)dx = lim (6.3) a Zb n→∞ f (x)dx, a a lim f (x)dx. n→∞ n / Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a; b] âîñïîëü- çóåìñÿ êðèòåðèåì Äàðáó. [a;b] Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå íîìåð N = N (ε) ε > 0. Ïî óñëîâèþ fn (x) ⇒ f (x), ïîýòîìó íàéä¼òñÿ òàêîé, ÷òî |fn (x) − f (x)| < ε , ∀n > N, ∀x ∈ [a; b]. 3(b − a) Ïîýòîìó ε , ∀x ∈ [a; b]. 3(b − a) íà [a; b] è êðèòåðèÿ Äàðáó |fN +1 (x) − f (x)| < fN +1 îòðåçêà [a; b], Èç èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè ðàçáèåíèå τε = {xk }m k=1 m−1 X i=0 ãäå ωif = íàéä¼òñÿ òàêîå ÷òî ε f ωi N +1 ∆xi < , 3 |f (x0 ) − f (x00 )|. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê x0 , x00 i−ãî îòðåçêà sup x0 ,x00 ∈[xi ,xi+1 ] íàéäåííîãî ðàçáèåíèÿ |f (x0 ) − f (x00 )| ≤ |f (x0 ) − fN +1 (x0 )| + |fN +1 (x0 ) − fN +1 (x00 )| + 2ε f + |fN +1 (x00 ) − fN +1 (x00 )| < + ωi N +1 . 3(b − a) Îòñþäà ωif ≤ Ïîýòîìó äëÿ ðàçáèåíèÿ m−1 X i=0 2ε f + ωi N +1 , i = 0, 1, . . . , m − 1. 3(b − a) τε f ωi N +1 ∆xi m−1 X X 2ε m−1 f ∆xi + ωi N +1 ∆xi < ε ≤ 3(b − a) i=0 i=0 è ïî êðèòåðèþ Äàðáó ôóíêöèÿ f ∈ R[a; b]. Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü âòîðóþ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 23 Rb { fn (x)dx} a ñõîäèòñÿ è å¼ ïðåäåë ðàâåí èíòåãðàëó íàéä¼òñÿ íîìåð Rb a f (x)dx. N = N (ε) Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ Zb fn (x)dx a n>N f (x)dx a Zb − < ε. {fn (x)} x ∈ [a; b] È ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè [a; b] íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) ε>0 òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ |fn (x) − f (x)| < ê f (x) ε . 2(b − a) íà îòðåçêå (6.4) Èç ñâîéñòâ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà è ðàâåíñòâà (6.4) ïîëó÷èì: Zb fn (x)dx a f (x)dx a Zb (fn (x)dx a Zb − = − f (x))dx Zb |fn (x)dx − f (x)|dx ≤ ≤ a Zb ε ε ≤ dx = < ε, 2(b − a) a 2 . ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ. Çàìå÷àíèå. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.7 ïîòðåáîâàòü äîïîëíèòåëüíî íåïðå- fn (x), n ∈ N, íà îòðåçêå [a; b], òî äîêàçàòåëüñòâî èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a; b] ñëåäîâàëî áû èç ñëåäñòâèÿ 1 òåîðåìû 6.3 è ðûâíîñòü ôóíêöèé äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè.  ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì [a; b] Rx {Fn (x)} : Fn (x) = fn (t)dt, c ∈ [a; b) ê ôóíêöèè F (x) = Rx c c f (t)dt, x ∈ [a; b]. ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò, ñîîòâåò- ñòâóþùèé òåîðåìå 6.7, äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ. Òåîðåìà 6.8. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿ- ∞ P Åñëè ôóíêöèè fn ∈ R[a; b], n ∈ N, è ðÿä n=1 fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b], òî åãî ñóììà S(x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ÷èñëîâîé ∞ Rb P ðÿä n=1 fn (x)dx, ïîëó÷åííûé èç äàííîãî ïî÷ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì íà [a; b], a ñõîäèòñÿ è Zb Zb äà). S(x)dx = ò.å. a Zb X ∞ ∞ X fn (x)dx, n=1 a fn (x)dx = a n=1 ∞ Zb X n=1 a 24 fn (x)dx. Çàìå÷àíèå. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.8 èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèé fn , n ∈ N, çàìåíèòü íåïðåðûâíîñòüþ, òî ìîæíî äîêàçàòü åù¼, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ∞ Zx X fn (t)dt, n=1 c ãäå c ∈ [a; b], ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå ∞ Zx X fn (t)dt = Zx X ∞ [a; b] è fn (t)dt. c n=1 n=1 c Òåîðåìà 6.9. (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). fn Ïóñòü ôóíêöèè äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå 0 [a; b], n ∈ N, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïðîèçâîäíûõ ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [a; b], à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 ∈ [a; b]. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn(x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b], ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b] è f 0 (x) = φ(x), ∀x ∈ [a; b], ãäå φ(x) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn0 (x)}, ò.å. ∀x ∈ [a; b] (n→∞ lim fn (x))0 = n→∞ lim fn0 (x). / Âîñïîëüçîâàâøèñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàæåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà îòðåçêå [a; b] {fn (x)}. íîìåðîâ n è p ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ è x ∈ [a; b] |fn+p (x) − fn (x)| ≤ |(fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x0 ) − fn (x0 ))| + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )|. fn+p (x) − fn (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ [a; b] îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ëàãðàíæà íà îòðåçêå, îãðàíè÷åííîì òî÷êàìè x0 è x.Çíà÷èò ìåæäó x0 è x íàéä¼òñÿ òî÷êà cx òàêàÿ, ÷òî Ôóíêöèÿ 0 (fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x0 ) − fn (x0 )) = (fn+p (cx ) − fn0 (cx ))(x − x0 ). [a;b] Ïî óñëîâèþ òåîðåìû fn0 (x) ⇒ φ(x) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )} ñõîäèòñÿ. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ ëþáîãî ε>0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] 0 |fn+p (x) − fn0 (x)| < ε ε , |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < . 2(b − a) 2 25 ∀n > N , Ñëåäîâàòåëüíî, ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] 0 |fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (cx ) − fn0 (cx )||x − x0 | + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < ε ε < |x − x0 | + ≤ ε. 2(b − a) 2 Ýòî îçíà÷àåò, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè, ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà îòðåçêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê ôóíêöèè Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f [a; b] f (x). äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], è óêà- çàòü å¼ ïðîèçâîäíóþ. e îòðåçêà Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x lim x→e x (x∈[a;b]\{e x}) Òàê êàê ∀x ∈ [a; b] lim f (x) n→∞ n [a; b] è íàéä¼ì e f (x) − f (x) . x − xe = f (x), òî e e fn (x) − fn (x) f (x) − f (x) = n→∞ lim . x − xe x − xe (6.5) È íàì ñëåäóåò íàéòè lim n→∞ lim x→e x e fn (x) − fn (x) . x − xe Ïóñòü e fn (x) − fn (x) , ∀n ∈ N, x − xe e −→ R, ∀n ∈ N. Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òîãäà ôóíêöèè gn : [a; b] \ x e {gn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå [a; b] \ x. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ n, p ∈ N è x ∈ [a; b] \ xe gn (x) := gn+p (x) − gn (x) = 1 e − (fn+p (x) − fn (x)) e (fn+p (x) − fn+p (x)) = x − xe 1 e − fn (x)) e (fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x) . x − xe Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà, ïðèìåíåííîé ê ôóíêöèè fn+p (x) − fn (x) e íàéä¼ì òî÷êó ηx ìåæäó x è x e òàêóþ, ÷òî êîíöàìè x è x, = íà îòðåçêå ñ 0 e − fn (x)) e e fn+p (x) − fn (x) − (fn+p (x) = (fn+p (ηx ) − fn0 (ηx ))(x − x). Ïîýòîìó e ∀n ∈ N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] \ {x} 0 |gn+p (x) − gn (x)| = |fn+p (ηx ) − fn0 (ηx )|. 26 (6.6) 0 Ïîñêîëüêó fn (x) [a;b] ⇒ φ(x), ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] òî ïî êðèòåðèþ Êîøè ∀ε > 0 ∃N = N (ε) : ∀n > N, 0 |fn+p (x) − fn0 (x)| < ε. Âîçâðàùàÿñü ê (6.6), ïîëó÷èì, ÷òî e ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] \ {x} |gn+p (x) − gn (x)| < ε. Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü e [a; b] \ {x}. {gn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå Íàêîíåö, òàê êàê lim gn (x) = fn0 (x), ∀n ∈ N, x→e x òî, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 6.1 è ðàâåíñòâîì (6.5), ïîëó÷èì e e f (x) − f (x) fn (x) − fn (x) e = φ(x), e = lim n→∞ lim = n→∞ lim fn0 (x) ∀xe ∈ [a; b]. x→e x x→e x x − xe x − xe lim Ýòî îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè f e è ðàâåíñòâî â òî÷êå x e ∀x e ∈ [a; b]. = φ(x), e = f 0 (x) . Äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ ñïðàâåäëèâà Òåîðåìà 6.10. (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). fn [a; b], Ïóñòü ôóíêöèè∞ äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå ðÿä èç ïðîP 0 èçâîäíûõ ýòèõ ôóíêöèé n=1 fn(x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b] è ðÿä ∞ P fn (x) ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 îòðåçêà [a; b]. Òîãäà ïîñëåäíèé n=1 ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b], åãî ñóììà S(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b] è ∞ S 0 (x) = X fn0 (x), ∀x ∈ [a; b], n=1 ò.å. ïðîèçâîäíàÿ ñóììû ðÿäà n=1 fn(x) åñòü ñóììà ðÿäà, ïîëó÷åííîãî èç äàííîãî ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì. Çàìå÷àíèå1. ∞ P Åñëè, íàïðèìåð, â óñëîâèè òåîðåìû 6.9 äîïîëíèòåëüíî ïîòðå- áîâàòü, ÷òî ôóíêöèè fn íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], òî ìû f (x) ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b]. Òåîðåìû 6.9 è 6.10 ñïðàâåäëèâû íà ïðîìåæóòêå X , îòëè÷íîì äîñòàòî÷íî ëåãêî ïîëó÷àåì åù¼, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ Çàìå÷àíèå2. îò îòðåçêà. Çàìå÷àíèå3. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü {fn0 (x)} íà îòðåçêå âàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîèçâîäíûõ [a; b] íå âûòåêàåò äàæå èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäî{fn (x)}. 27 Ïðèìåð 6.3. Èññëåäóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü sin nx {fn (x)} : fn (x) = √ , x ∈ [0; 1]. n / Äëÿ ëþáîãî x ∈ R lim f (x) n→∞ n ðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè = 0. Ïîýòîìó ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòf (x) = 0, ∀x ∈ R.  ñèëó êðèòåðèÿ 3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü R fn (x) ⇒ f (x). Ïîýòîìó [0;1] fn (x) ⇒ f (x). √ √ fn0 (x) = n cos nx, ∀x ∈ [0; 1], ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó fn0 (0) = n, òî fn0 (0) −→ +∞ ïðè n → ∞ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn0 (x)} íå ÿâëÿåòñÿ ïîòî÷å÷íî ñõîäÿùåéñÿ íà îòðåçêå [0; 1]. . Ôóíêöèÿ 7 Îïðåäåëåíèå 7.1. íîñòü, a ∈ R. Ïóñòü Ñòåïåííîé ðÿä {an }∞ n=1 íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü- Ñòåïåííûì ðÿäîì ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé ∞ X a íàçûâàåòñÿ ðÿä ak (x − a)k , k=0 ïðè ýòîì ÷èñëà ak íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà. a 6= 0 òî÷êîé a â Ïîñêîëüêó ïðè ñ íà÷àëüíîé t = x − a ïåðåâîäèò ñòåïåííîé ðÿä an tn ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé â íóëå, òî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ñòåïåííîé ðÿä ∞ P n=0 ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ, êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè, óäîáíî ôîðìóëèðîâàòü äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà ∞ X an x n . (7.1) n=0 Îïðåäåëåíèå 7.2. x = x0 ) Òî÷êà x0 ∈ R, â êîòîðîé ñòåïåííîé ðÿä (7.1) (ïðè ñõîäèòñÿ, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1). Ìíîæåñòâî X⊂R âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè åãî. Çàìå÷àíèå. Ëþáîé ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå ëàñòü åãî ñõîäèìîñòè íå ïóñòà. 28 x = 0, ïîýòîìó îá- Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Ïðèìåð 7.1. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà ∞ X n!xn n=0 ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè x = 0, ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x0 ∈ R\0 lim n!xn = ∞. Ïðèìåð 7.2. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà xn n=0 n! ∞ X ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì (7.2) R. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ïðèçíàêà Äàëàìáåðà äëÿ ëþáîãî ÷èñëîâîé ðÿä ìíîæåñòâà n ∞ X |x0 | . n=0 n! x0 ∈ R \ 0 ñõîäèòñÿ Ïîýòîìó ðÿä (7.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå R. Ïðèìåð 7.3. Ñòåïåííîé ðÿä xn , α ∈ [0; ∞) α n=0 n ∞ X x ∈ (−1; 1), ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x : |x| > 1.  òî÷êå x = 1 îí ñõîäèòñÿ , åñëè α > 1, è ðàñõîäèòñÿ ïðè α ∈ [0; 1].  òî÷êå x = −1 îí ñõîäèòñÿ ïðè α > 0 è ðàñõîäèòñÿ ïðè α = 0. Ïîýòîìó îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ (−1; 1), åñëè α = 0; ñ [−1; 1), åñëè α ∈ (0; 1]; ñ [−1; 1], åñëè α > 1. ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êàõ Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 6= 0, òî îí ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó |x| < |x0|. Òåîðåìà 7.1 (ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ). / x0 6= 0.  = 0, ïîýòîìó Ïóñòü ÷èñëîâîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå n ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà lim an x0 ñèëó íåîáõîäèìîãî ∃c > 0 ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 |an xn0 | ≤ c, è ñïðàâåäëèâà îöåíêà n |an x | = |an xn0 | n n |x| |x| · ≤ c , ∀n > N0 . |x0 | |x0 | |x| |x0 | ∞ P q n ñõîäèòñÿ.  ñèëó n=0 ∞ P ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ ðÿä |an xn | ñõîäèòñÿ, à çíà÷èò n=0 Eñëè x òàêîå, ÷òî |x| < |x0 |, òî = q < 1 29 è ðÿä ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x òàêîé, ÷òî |x| < |x0 |. . Åñëè X ⊂ R îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1), òî ñóùåñòâóåò âåëè÷èíà (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) R = sup{|x| : x ∈ X}. Åñëè R = sup{|x| : x ∈ X}, òî ïðè R = 0 ñòåïåííîé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x 6= 0; ïðè R = +∞ ñòåïåííîé ðÿä cõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå Òåîðåìà 7.2. 1) (7.1) 2) (7.1) x ∈ R; ïðè R ∈ (0; +∞) ðÿä ñõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (−R; R), ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x ∈ R òàêèõ, ÷òî |x| > R, è ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ â òî÷êàõ x = ±R 3) (7.1) / Åñëè R = 0, òî ìíîæåñòâî X = {0}, ïîýòîìó óòâåðæäåíèå 1) òåîðåìû âåðíî. R = +∞, òî ìíîæåñòâî {|x| : x ∈ X} íåîãðàíè÷åííî ñâåðõó, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R \ 0 íàéä¼òñÿ òî÷êà x ∈ X òàêàÿ, ÷òî |x0 | < |x|.  ñèëó 1-îé òåîðåìû Àáåëÿ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êå x0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ R. Ïóñòü R ∈ (0; +∞). Ôèêñèðóåì òî÷êó x0 ∈ R \ 0 òàêóþ, ÷òî |x0 | < R, è ïîëîæèì ε = R − |x0 | > 0.Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíèöû ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò xε ∈ X : |x0 | = R − ε < |xε | ≤ R. Åñëè Ó÷èòûâàÿ ïåðâóþ òåîðåìó Àáåëÿ, ïîëó÷èì, ÷òî ðÿä (7.1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 , ïîýòîìó â òî÷êàõ x0 ∈ (−R; R) òî÷êà x0 ∈ R, R ëþáàÿ íàäëåæèò ìíîæåñòâó X ñõîäèìîñòè ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 . Ïî îïðåäåëåíèþ ÷èñëà ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. äëÿ êîòîðîé |x0 | > R, íå ïðè- ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä . Ïðèìåð 7.3 ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ íåãî R = 1, ∀α ∈ [0; +∞), è â òî÷êàõ x = ±R ñòåïåííîé ðÿä ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò åãî êîýôôèöèåíòîâ. Îïðåäåëåíèå 7.3. R = sup{|x| : x ∈ X} íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Åñëè R ∈ (0; +∞), òî èíòåðâàë (−R; R) íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Åñëè R = +∞, òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì (−∞; +∞). Âåëè÷èíà 30 Ïóñòü äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà ρ = lim |an |.Òîãäà ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ñòåïåííîãî ðÿäà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå 0, åñëè ρ = +∞, R = 1/ρ, åñëè ρ ∈ (0; +∞), +∞, åñëè ρ = 0. Òåîðåìà q 7.3 (ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà). n (7.1) (7.1) Ôîðìàëüíî ôîðìóëó Êîøè-Àäàìàðà çàïèñûâàþò : R= / Ôèêñèðóåì òî÷êó x 6= 0 1 q lim n |an | . è ðàññìîòðèì ïîëîæèòåëüíûé ðÿä ∞ X |an ||x|n . (7.3) n=0 Ïî ñâîéñòâó âåðõíåãî ïðåäåëà q lim n |an ||x|n = |x| · ρ, +∞, åñëè åñëè ρ ∈ [0; +∞), ρ = +∞.  ñèëó ïðèçíàêà Êîøè (ïðåäåëüíàÿ ôîðìà) ïðè â òî÷êàõ x 6= 0, ρ = +∞ ðÿä (7.3) ðàñõîäèòñÿ ïðè÷¼ì äëÿ íåãî íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäè- ìîñòè. Çíà÷èò ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå ñõîäèìîñòè åãî ðàâåí Åñëè x 6= 0 è ðàäèóñ R = 0. ρ = 0, òî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R ðÿä (7.3) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (7.1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà ìíîæåñòâå R è åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè áåñêîíå÷åí. ρ · |x| < 1, ò.å. ïðè |x| < ρ1 , 1 n è ρ , ïðè ýòîì |an | · |x| 6−→ 0 ïðè n → ∞. Ïîýòîìó 1 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà ìíîæåñòâå |x| < ρ è ðàñõîäèòñÿ â 1 1 òî÷êàõ |x| > . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî R = . . ρ ρ ρ ∈ (0; +∞), ðàñõîäèòñÿ ïðè |x| > Åñëè æå Çàìå÷àíèå. òî ðÿä (7.3) ñõîäèòñÿ ïðè Åñëè äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim n→∞ òî åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè Ïðèìåð 7.4. R= |an+1 | = A ∈ R, |an | 1 A. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà n!xn . n n=1 n ∞ X 31 (7.4) / Òàê êàê n! , ∀n ∈ N, nn an = òî lim |an+1 | 1 1 = lim 1 n = |an | e (1 + n ) R = e, èíòåðâàë (−e; e) èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.4). Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ðÿäà â òî÷êàõ x = ±e. Åñëè x = e, òî ðÿä (7.4) ïðèíèìàåò âèä è n!en . n n=1 n ∞ X Ïîëîæèì bn = n!en , ∀n ≥ 1. nn Òîãäà |bn+1 | e = → 1. |bn | (1 + n1 )n Íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü e 1+ âàòåëüíîñòü 1 n {(1 + 1/n)n } −n ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, ïîýòîìó ïîñëåäî- ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé è |bn+1 | > 1, ∀n ∈ N. |bn | Ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà (íåïðåäåëüíàÿ ôîðìà) ÷èñëîâîé ðÿä n!en n n=1 n ∞ X bn 6→ 0. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî è â òî÷êå x = −e ðÿä (7.4) ðàñõîîáëàñòü åãî ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè (−e; e). ðàñõîäèòñÿ è äèòñÿ, ò.å. . 8 Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñòåïåííîãî ðÿäà Òåîðåìà 8.1. (î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè). (7.1) Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñòåïåííîé ðÿä ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì îòðåçêå [a; b] ⊂ (−R; R). 32 / Ôèêñèðóåì îòðåçîê [a; b] ⊂ (−R; R). Ïo àêñèîìå íåïðåðûâíîñòè ìíîæåñòâà R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàéä¼òñÿ r0 > 0 òàêîå, ÷òî [a; b] ⊂ [−r0 ; r0 ] ⊂ (−R; R). ∞ P Òàê êàê r0 ∈ (0; R), òî ÷èñëîâîé ðÿä |an |r0n ñõîäèòñÿ. Íî ∀x ∈ [a; b], ∀n ∈ N0 n=0 |an xn | ≤ |an |r0n . Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä (7.1), ñîãëàñíî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà, àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå Îïðåäåëåíèå 8.1. [a; b]. . Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì îòðåçêå, ñîäåðæàùåìñÿ â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè åãî, òî ãîâîðÿò, ÷òî îí ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè. Ñ ó÷¼òîì ïîñëåäíåãî îïðåäåëåíèÿ äîêàçàííàÿ òåîðåìà 8.1 ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè. Ñëåäñòâèå 8.2.1. Ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè. Òåîðåìà 8.3. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = R, òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå Òåîðåìà 8.2. (7.1) (7.1) [0; R]. / Ïî óñëîâèþ ÷èñëîâîé ðÿä an xn = an Rn · ( Rx )n , ∞ P n=0 an R n ñõîäèòñÿ. Òàê êàê ∀x ∈ [0; R] òî â ñèëó ïðèçíàêà Àáåëÿ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî [0; R] (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {( Rx )n } ìîíîòîííà ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ [0; R] è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà, òàê êàê ( Rx )n ≤ 1, ∀x ∈ [0; R] è ∀n ∈ N0 ). . ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå Åñëè ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = R, òî åãî ñóììà S(x) íåïðåðûâíà ñëåâà â òî÷êå x = R, ò.å. S(R − 0) = S(R). Çàìå÷àíèå. Ñëåäñòâèå 8.3.1 (2-àÿ òåîðåìà Àáåëÿ). (7.1) Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõîäè- x = −R, òî àíàëîãè÷íî îòðåçêå [−R; 0] è åãî ñóììà ìîñòè è ñõîäèòñÿ â òî÷êå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îí ðàâ- íîìåðíî ñõîäèòñÿ íà íåïðåðûâíà â òî÷êå x = −R ñïðàâà. Òåîðåìà 8.4 (î Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä ïî÷ëåííîì (7.1) èíòåãðèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà). èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R > 0 è x ïðèíàäëåæèò 33 îáëàñòè ñõîäèìîñòè åãî. Òîãäà ðÿä(7.1) ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà îòðåçêå [0; x]. Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ðÿä ∞ X an n+1 x n=0 n + 1 (8.1) èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä / Äëÿ ëþáîãî x (7.1) . èç îáëàñòè ñõîäèìîñòè (7.1) ñîãëàñíî òåîðåìàì 8.1 è 8.3 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå ñòåïåííîãî ðÿäà íåïðåðûâíû íà èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [0; x] [0; x]. Ïîñêîëüêó ÷ëåíû R, òî â ñèëó òåîðåìû 6.8 ñóììà S(x) ðÿäà (7.1) è Zx S(x)dx = 0 ∞ X an n+1 x . n=0 n + 1 Íàéä¼ì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1). Òàê êàê lim v u u n |an−1 | t n q q 1 n+1 = lim |an−1 | lim √ = lim |an | = n n n q q n = lim( n |an |) n+1 = lim n |an |, òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1) ñîâïàäàåò c ðàäèóñîì R ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1). . Òåîðåìà 8.5 (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà). Ïóñòü R(> 0) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà . Ðÿä âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü. Ðÿä, ïîëó÷åííûé ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä . Åñëè S(x) ñóììà ðÿäà , òî îíà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (−R; R) è ∞ (7.1) (7.1) (7.1) (7.1) S 0 (x) = X nan xn−1 . (8.2) n=1 /  ðåçóëüòàòå ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿäà (7.1) ïîëó÷èì ðÿä (8.2), ∞ P êîòîðûé ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ðÿäîì nan xn . Ïóñòü R1 n=1 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïîñëåäíåãî ñòåïåííîãî ðÿäà, à çíà÷èò è ðÿäà (8.2). Òàê êàê q n lim n|an | = lim √ n q q n n · lim |an | = lim n |an |, R1 = R. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåì 8.1 è 6.10 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü íà ëþáîì îòðåçêå [a; b] ⊂ (−R; R), ò.å. âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè, ïðè÷¼ì íà [a; b], à çíà÷èò â èíòåðâàëå (−R; R) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (8.2). Ó÷èòûâàÿ ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 8.2 ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ S(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (−R; R). . òî 34 Ïóñòü R > 0 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà . Ñòåïåííîé ðÿä âíóòðè åãî èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî ëþáîå ÷èñëî ðàç. Ðÿä, ïîëó÷åííûé n-êðàòíûì ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì èñõîäíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä . Ñóììà ðÿäà S(x) ∈ C ∞ (−R; R). Ñëåäñòâèå 8.5.1. (7.1) (7.1) (7.1) 9 (7.1) Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Ðÿä Òåéëîðà Îïðåäåëåíèå 9.1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â (x0 − h, x0 + h), ãäå h > 0 è x0 ∈ R, åñëè ñóùåñòâóåò an (x−x0 )n ñõîäÿùèéñÿ ê ôóíêöèè f íà óêàçàííîì èíòåðâàëå. ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå ñòåïåííîé ðÿä ∞ P n=0 Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f ìîãëà áûòü ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 − h, x0 + h), íåîáõîäèìî, ÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæàëà êëàññó C ∞(x0 − h, x0 + h). Òåîðåìà 9.1. Òåîðåìà 9.1 âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ ê òåîðåìå 8.5. ∞ P Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C ∞(Ux ) è f (x) = n=0 an (x − x0 )n , ∀x ∈ Ux = (x0 − h; x0 + h), ò.å. ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 − h, x0 + h), òî Òåîðåìà 9.2. 0 0 f (n) (x0 ) an = , n ∈ N0 . n! / Ïóñòü f (x) = ∞ P n=0 an (x − x0 )n , ∀x ∈ (x0 − h; x0 + h), Äèôôåðåíöèðóÿ ýòîò ðÿä ïî÷ëåííî k ðàç, òîãäà f (x0 ) = a0 . k ∈ N, ïîëó÷èì ∀x ∈ (x0 − h; x0 + h) f (k) (x) = ak k! + ak+1 (k + 1)k · . . . · 2(x − x0 ) + . . . . Îòñþäà f (k) (x0 ) = ak k!, ∀k ∈ N. Ñëåäîâàòåëüíî, f (k) (x0 ) , k ∈ N0 . ak = k! (9.1) . Êîýôôèöèåíòû ñòåïåííîãî ðÿäà, â êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà ôóíêöèÿ f ∈ C ∞(Ux ), îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé . Ñëåäñòâèå 9.2.1. 0 (9.1) 35 Îïðåäåëåíèå 9.2. Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (Ux0 ), òî ñòåïåííîé ðÿä f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0 ∞ X íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè ëîðà. Åñëè æå x0 = 0, f , à ÷èñëà (9.2) f (n) (x0 ) êîýôôèöèåíòàìè Òåén! òî ðÿä (9.2) íàçûâàþò ðÿäîì Ìàêëîðåíà ôóíêöèè f. Èç òåîðåìû 9.2 ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî ∞ P Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä n=0 an (x − x0 )n èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Òîãäà ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ñâîåé ñóììû. ∞ P Çàìå÷àíèå. f ∈ C ∞ (Ux ) an (x−x0 )n n=0 Òåîðåìà 9.3. Åñëè 0 è ñòåïåííîé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì f , ò.å. an îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (9.1), òî îí íå îáÿçàòåëüíî x 6= x0 è èìååò ñâîåé ñóììîé ôóíêöèþ f (x). Òåéëîðà ôóíêöèè ñõîäèòñÿ ïðè Ïðèìåð 9.1. Ïóñòü f (x) = / ßñíî, ÷òî f ∈ C(R) è äëÿ x 6= 0 1 e− x2 , x 6= 0, 0, x = 0. èìååì: f 0 (x) = 2 − 12 e x , x3 4 − 12 6 − 12 x + e e x , x4 x6 1 24 1 36 1 8 f (3) (x) = 5 e− x2 − 7 e− x2 + 9 e− x2 . x x x (n) Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ïðè x 6= 0 f (x) åñòü ñóììà êîíå÷1 A − x2 −k − x12 , k ∈ N. Òàê êàê lim x e = 0, ∀k ∈ N, òî íîãî ÷èñëà ôóíêöèé âèäà xk e f 00 (x) = − x→0 f (n) (0) = 0, ∀n ∈ N è ôóíêöèè ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè (âñå êîýôôèöèåíòû an f f (n) â íóëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé n=0 n=0 R = +∞, S(x) = 0, ∀x ∈ R è ðàâíû íóëþ). Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà ò.å. ðÿä ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå S(x) 6= f (x), ∀x 6= 0. x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ∞ ∞ P P ðÿä an x n = 0 · xn íåïðåðûâíû â òî÷êå x ∈ R, ñóììà åãî Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ñòåïåííûì ðÿäîì, ïðåäñòàâ- ëÿþùèì â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ôóíêöèþ Òåéëîðà ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 = 0, f, ìîæåò áûòü òîëüêî å¼ ðÿä òî, ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ ñòàâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì â îêðåñòíîñòè òî÷êè 36 x = 0. f íå ïðåä- . Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ äèòñÿ ëèøü â îäíîé òî÷êå x=0 f ∈ C ∞ (R), ðÿä Ìàêëîðåíà êîòîðîé ñõî- (ñì.[6], ïðèìåð 24, ñ.91). Òåîðåìà 9.4 (êðèòåðèé ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà). Ïóñòü f ∈ C ∞(x0 − h, x0 + h) è f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rn (x) k! k=0 n X å¼ ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì rn(x). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f ñõîäèëñÿ íà èíòåðâàëå (x0 −h, x0 +h) ê ôóíêöèè f, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ∃ n→∞ lim rn (x) = 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h). Óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Òåîðåìà 9.5. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà). f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)) A > 0, Ïóñòü B > 0 òàêèå, ÷òî |f (n) (x)| ≤ A · B n , è ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), ∀n ∈ N0 . Òîãäà f (n) (x0 ) (x − x0 )n , f (x) = n! n=0 ∞ X / Òàê ∀n ∈ N0 ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h). f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)), òî äëÿ ëþáîãî x ∈ (x0 − h, x0 + h) è ôóíêöèþ f (x) ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì êàê ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà f (x) = f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rn (x), k! k=0 n X ãäå f (n+1) (θx ) rn (x) = (x − x0 )n+1 , (n + 1)! θx = x0 + θ(x − x0 ), θ ∈ (0, 1).  ñèëó óñëîâèé òåîðåìû A · B n+1 n+1 h , |rn (x)| ≤ (n + 1)! Ïîñêîëüêó ðÿä ∞ P n=0 n+1 A (Bh) (n+1)! ñõîäèòñÿ, òî lim n→∞ à çíà÷èò, lim r (x) n→∞ n ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h). = 0. (Bh)n+1 = 0, (n + 1)! Òàêèì îáðàçîì âûïîëíåíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êðè- òåðèÿ ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà. 37 . Åñëè f ∈ C ∞((x0 − h, x0 + h)) è ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî A òàêîå, ÷òî ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), ∀n ∈ N0 Ñëåäñòâèå 9.5.1. |f (n) (x)| ≤ A, òî ôóíêöèÿ f ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0. Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Ìàêëîðåíà. Ëåììà 9.1. xn , e = n=0 n! x ∞ X ∀x ∈ R. / Ôóíêöèÿ f (x) = ex ∈ C ∞ (R), f (n) (x) = ex , ∀n ∈ N. f (n) (0) = 1, ∀n ∈ N0 , è ∞ xn X ex ∼ . n! n=0 Ñëåäîâàòåëüíî, h íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî |f (n) (x)| = |ex | ≤ eh , ∀x ∈ (−h; h) ∞ xn P x ñîãëàñíî òåîðåìå 9.5, e = n! , ∀x ∈ (−h; h). Ñëåäîâàòåëüíî, ∀x ∈ R Åñëè è, n=0 ex = Ëåììà 9.2. / Ôóíêöèÿ xn . . n=0 n! ∞ X (−1)n x2n+1 sin x = , n=0 (2n + 1)! ∞ X f (x) = sin x ∈ C ∞ (R), f (n) (x) = sin(x + òåëüíî, nπ 2 ), ∀n ∈ N. Ñëåäîâà- nπ 0, f (n) (0) = sin = (−1)k , 2 Êðîìå òîãî, ∀x ∈ R. |f (n) (x)| ≤ 1, ∀x ∈ R. åñëè åñëè n = 2k , k ∈ N0 . n = 2k + 1 f (x) = sin x (−h; h), h > 0. Ñëåäîâà- Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.5 ôóíêöèÿ ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà íà ëþáîì ïðîìåæóòêå òåëüíî, (−1)n x2n+1 sin x = , n=0 (2n + 1)! ∞ X Çàìå÷àíèå. ∀x ∈ R. . Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî (−1)n x2n , x ∈ R. cos x = (2n)! n=0 ∞ X α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn Ëåììà 9.3. (1 + x) = 1 + , n! n=1 ∀x ∈ (−1; 1). α ∞ X 38 ∀α ∈ R \ 0, / Åñëè f (x) = (1 + x)α , α ∈ R \ {0}, òî D(f ) = (−1; +∞), f ∈ C ∞ (D(f )) è f (n) (x) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)(1 + x)α−n , Ïîýòîìó ôóíêöèè f ∀n ∈ N. ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèé ðÿä Ìàêëîðåíà α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn . 1+ n! n=1 ∞ X Ýòîò ðÿä îáû÷íî íàçûâàþò áèíîìèàëüíûì. Çàìåòèì, ÷òî åñëè x , k ∈ N, ðàâíû íóëþ. rn (x) ôîðìóëû Òåéëîðà ôóíêöèè f. ìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïðè Èçó÷èì îñòàòî÷íûé ÷ëåí α ∈ N, òî áèíî- α+k Îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Êîøè èìååò âèä: rn (x) = f (n+1) (θx) (1 − θ)n n+1 x , n! ∀x ∈ (−1; 1), ãäå θ ∈ (0; 1). Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå ãäå α(α − 1) . . . (α − n)(1 + θx)α−n−1 (1 − θ)n xn+1 , rn (x) = n! θ ∈ (0; 1). Ïîëîæèì α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n) n x , n! γ2,n (x) = αx(1 + θx)α−1 , ! 1−θ n γ3,n (x) = . 1 + θx γ1,n (x) = Òîãäà rn (x) = γ1,n (x) · γ2,n (x) · γ3,n (x). ∞ X |γ1,n (x)| = n=1 Ðÿä ∞ X |α − 1| . . . |α − n| · |xn |, n! n=1 (−1; 1) ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà, ïîýòîìó lim γ (x) = 0, ∀x ∈ (−1; 1). n→∞ 1,n Äàëåå, òàê êàê 1 − |x| < 1 + θx < 1 + |x|, ∀x ∈ (−1; 1), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {γ2,n (x)} îãðàíè÷åíà íà èíòåðâàëå (−1; 1). Íàêîíåö, ∀x ∈ (−1; 1) ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå |γ3,n (x)| = Ñëåäîâàòåëüíî, lim r (x) n→∞ n 1 − θ n 1 + θx ≤ = 0, ∀x ∈ (−1; 1), 1−θ < 1. 1 − θ|x| è äëÿ ëþáîãî x ∈ (−1; 1) ëèâî ðàâåíñòâî α (1 + x) = 1 + ∞ X α(α − 1) . . . (α − n + 1) n ·x . . n! n=1 39 ñïðàâåä- (1 + x)−1 = Ñëåäñòâèå 9.5.2. ∞ X (−1)n xn , ∀x ∈ (−1; 1). n=0 Ëåììà 9.4. / (−1)n xn , ln(1 + x) = n n=1 ∞ X ∀x ∈ (−1; 1]. f (x) = ln(1 + x) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà 1 f (x) = 1+x . Ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ ëåììû 9.3 Ôóíêöèÿ ïðè÷¼ì íà (−1; +∞), 0 ∞ X f 0 (x) = (−1)n xn , ∀x ∈ (−1; 1). n=0 Ïðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâî íà îòðåçêå Zx 0 [0; x], åñëè (−1)n xn+1 , f (x)dx = n+1 n=0 ∞ X 0 Ïîñêîëüêó Zx x ∈ (−1; 1), ïîëó÷èì x ∈ (−1; 1). f 0 (x)dx = ln(1 + x), 0 òî (−1)k−1 xk ln(1 + x) = , k k=1 ∞ X ∀x ∈ (−1; 1). x = 1, òî åãî ñóììà S(x) S(1) = lim S(x). Íî ôóíêöèÿ ln(1 + x) Òàê êàê ïîñëåäíèé ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â òî÷êå íåïðåðûâíà â òî÷êå íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 1 ñëåâà, ò. x = 1, ïîýòîìó å. 1−0 S(1) = lim S(x) = lim ln(1 + x) = ln 2, x→1−0 è x→1−0 (−1)k−1 xk , ln(1 + x) = k k=1 ∞ X  ÷àñòíîñòè, ln 2 = ∀x ∈ (−1; 1]. ∞ (−1)k−1 P . k k=1 . (2n − 1)!! x2n+1 Ëåììà 9.5. arcsin x = x + , (2n)!! 2n + 1 k=1 ∞ X / Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = arcsin x (arcsin x)0 = √ ∀x ∈ [−1; 1]. äèôôåðåíöèðóåìà íà (−1; 1) 1 . 1 − x2  ñèëó ëåììû 9.3 (arcsin x)0 = √ ∞ (2n − 1)!! X 1 = 1 + x2n , n n! 2 2 1−x k=1 40 ∀x ∈ (−1; 1). è Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî íà îòðåçêå [0; x], x ∈ (−1; 1), (2n − 1)!! x2n+1 , arcsin x = x + (2n)!! 2n + 1 k=1 ∞ X  òî÷êå x=1 èìååì: ∀x ∈ (−1; 1). ïîëó÷åííûé ðÿä èìååò âèä ∞ X (2n − 1)!! 1 . (2n)!! 2n + 1 k=1 Îí ñõîäèòñÿ â ñèëó ïðèçíàêà Ðààáå ! ! an 6 3 6n + 5 Rn = n −→ = > 1 . −1 =n 2 an+1 4n + 2n + 1 4 2 ßñíî, ÷òî îí ñõîäèòñÿ è â òî÷êå x = −1, ò.å. ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå S(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−1; 1]. arcsin x íà îòðåçêå [−1; 1], ïîëó÷èì, ÷òî ýòîìó åãî ñóììà ôóíêöèè (2n − 1)!! x2n+1 arcsin x = x + , 2n!! 2n + 1 n=1 ∞ X [−1; 1]. Ïî- Ó÷èòûâàÿ íåïðåðûâíîñòü ∀x ∈ [−1; 1]. . ∞ (2n − 1)!! X 1 π = arcsin 1 = 1 + . 2 (2n)!! 2n + 1 n=1 Ñëåäñòâèå 9.5.3. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Èëüèí Â.À., Ñàäîâíè÷èé Â.À., Ñåíäîâ Áë.Õ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1979. [2] Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ò. 2. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1973. [3] ÒåðÊðèêîðîâ À.Ì., Øàáóíèí Ì.È. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Èçä-âî ÌÔÒÈ, 2000. [4] Àðõèïîâ Ã.È., Ñàäîâíè÷èé Â.À., ×óáàðèêîâ Â.Í. ÷åñêîìó àíàëèçó. [5] Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. ò. II. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè- Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2000. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, Ì.: Íàóêà, 1966. [6] Ãåëáàóì Á., Îëìñòåä Äæ. Êîíòðïðèìåðû â àíàëèçå. 41 Ì.: Ìèð, 1967. Ñîäåðæàíèå 1 2 3 Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 3 Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè 7 Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 8 4 Ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà 5 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà 12 6 Ñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè è ñóììû ðÿäà 17 7 Ñòåïåííîé ðÿä 29 8 Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñòåïåííîãî ðÿäà 33 9 Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Ðÿä Òåéëîðà 35 42 11