Документ 2028211

тичных поверхностей Ω1 , Ω 2 , ... , Ω n без общих внутренних
точек с площадями ∆S1 , ∆S 2 , ... , ∆S n и диаметрами d1 , d 2 , ... ,
d n . В каждой частичной поверхности Ω i , i = 1,2,..., n , возьмем
произвольную точку M i (ξ i ;ηi ; ζ i ) (рис.1).
Лекция 3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПЕРВОГО РОДА
1. Задача о массе изогнутой пластины.
2. Определение и свойства поверхностного интеграла первого
рода.
3. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
4. Приложения поверхностных интегралов первого рода.
1. Задача о массе изогнутой пластины.
Пусть на поверхности Ω непрерывно распределено вещество
с известной плотностью ρ (x; y; z ) . Требуется определить массу
материальной поверхности Ω .
Разобьем поверхность Ω на n частичных поверхностей Ω1 ,
Ω 2 , ... , Ω n без общих внутренних точек с площадями ∆S1 , ∆S 2 ,
... , ∆S n и диаметрами d1 , d 2 , ... , d n . Наибольший из диаметров
обозначим λ = max d (Ω i ) . Предположим, что в каждой части
1≤i ≤ n
Ω i , i = 1,2,..., n плотность постоянна и равна ρ (ξ i ;ηi ; ζ i ) , где
точка M i (ξ i ;ηi ; ζ i ) ∈ Ω i . Тогда масса i -ой части Ω i поверхности
Ω приблизительно равна
mi ≈ ρ (ξ i ;η i ; ζ i ) ⋅ ∆S i .
Для массы всей поверхности имеем
n
n
m ≈ ∑ mi = ∑ ρ (ξ i ;η i ; ζ i ) ⋅ ∆S i .
i =1
Рис.1.
О п р е д е л е н и е 1. Сумма
n
∑ f (ξ i ;ηi ;ζ i ) ⋅ ∆Si
(2)
i =1
называется интегральной суммой для функции f (x; y; z ) по поверхности Ω .
О п р е д е л е н и е 2. Поверхностным интегралом первого
рода от функции f (x; y; z ) называется предел (если он существует) интегральной суммы (2) при λ → 0 .
Обозначается:
n
∫∫ f (x; y; z )dS = lim ∑ f (ξi ;ηi ;ζ i ) ⋅ ∆Si ,
i =1
Переходя к пределу при λ → 0 , получим точное значение
массы
λ →0
Ω
(3)
i =1
2. Определение поверхностного интеграла первого рода.
Пусть в точках некоторой поверхности Ω ∈ R 3 , гладкой или
функция f (x; y; z ) называется интегрируемой по поверхности
Ω , поверхность Ω – поверхностью интегрирования, dS –
элемент поверхности.
Основными свойствами поверхностного интеграла первого
рода являются следующие.
1. ∫∫ dS = Ѕ , где S – площадь поверхности Ω .
кусочно-гладкой, с площадью S определена непрерывная ограниченная функция f (x; y; z ) . Разобьем поверхность Ω на n час-
2 (линейность). Если α и β — произвольные постоянные
числа, функции f (x; y; z ) и g (x; y; z ) интегрируемы на поверх-
205
206
n
m = lim ∑ ρ (ξ i ;ηi ; ζ i ) ⋅ ∆S i .
λ →0
(1)
i =1
Ω